高中數(shù)學第二章推理與證明2.3數(shù)學歸納法2學案含解析新人教A版.docx

2.3數(shù)學歸納法(二)學習目標1進一步掌握數(shù)學歸納法的實質(zhì)與步驟，掌握用數(shù)學歸納法證明等式、不等式、整除問題、幾何問題等數(shù)學命題2掌握證明nk1成立的常見變形技巧：提公因式、添項、拆項、合并項、配方等知識鏈接1數(shù)學歸納法的兩個步驟有何關(guān)系？答案使用數(shù)學歸納法時，兩個步驟缺一不可，步驟(1)是遞推的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)2用數(shù)學歸納法證明的問題通常具備怎樣的特點？答案與正整數(shù)n有關(guān)的命題 預習導引1歸納法歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學歸納法進行嚴格證明2數(shù)學歸納法(1)應用范圍：作為一種證明方法，用于證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題；(2)基本要求：它的證明過程必須是兩步，最后還有結(jié)論，缺一不可；(3)注意點：在第二步遞推歸納時，從nk到nk1必須用上歸納假設(shè)要點一用數(shù)學歸納法證明不等式問題例1用數(shù)學歸納法證明：1(n2，nN*)證明(1)當n2時，左式，右式1.因為，所以不等式成立(2)假設(shè)nk(k2，kN*)時，不等式成立，即1，則當nk1時，111成立證明(1)當n2時，左1，右，左右，不等式成立(2)假設(shè)nk(k2且kN*)時，不等式成立，即，那么當nk1時，nk1時，不等式也成立由(1)(2)知，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立要點二用數(shù)學歸納法證明整除性問題例2用數(shù)學歸納法證明：f(n)(2n7)3n9能被36整除證明當n1時，f(1)(217)3936，能被36整除假設(shè)nk(kN*)時，f(k)能被36整除，即(2k7)3k9能被36整除，則當nk1時，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11)，由歸納假設(shè)3(2k7)3k9能被36整除，而3k11是偶數(shù)，所以18(3k11)能被36整除，所以f(k1)能被36整除由可知，對任意的nN*，f(n)能被36整除規(guī)律方法應用數(shù)學歸納法證明整除性問題時，關(guān)鍵是“湊項”，采用增項、減項、拆項和因式分解等方法，也可以說將式子“硬提公因式”，即將nk時的項從nk1時的項中“硬提出來”，構(gòu)成nk的項，后面的式子相對變形，使之與nk1時的項相同，從而達到利用假設(shè)的目的跟蹤演練2用數(shù)學歸納法證明62n11(nN*)能被7整除證明(1)當n1時，62117能被7整除(2)假設(shè)當nk(kN*，且k1)時，62k11能被7整除那么當nk1時，62(k1)1162k12136(62k11)35.62k11能被7整除，35也能被7整除，當nk1時，62(k1)11能被7整除由(1)，(2)知命題成立要點三用數(shù)學歸納法證明幾何問題例3用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線有n(n3)條證明當n3時，n(n3)0，這就說明三角形沒有對角線，故結(jié)論正確假設(shè)當nk(k3，kN*)時結(jié)論正確，即凸k邊形的對角線有k(k3)條，當nk1時，凸(k1)邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個頂點，設(shè)為Ak1，增加的對角線是頂點Ak1與不相鄰頂點的連線再加上原k邊形一邊A1Ak，共增加了對角線的條數(shù)為k21k1.f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3故當nk1時命題成立由(1)(2)知，對任意n3，nN*，命題成立規(guī)律方法用數(shù)學歸納法證明幾何問題，關(guān)鍵在于分析由nk到nk1的變化情況，即分點(或頂點)增加了多少，直線的條數(shù)(或劃分區(qū)域)增加了幾部分等，或先用f(k1)f(k)得出結(jié)果，再結(jié)合圖形給予嚴謹?shù)恼f明，幾何問題的證明：一要注意數(shù)形結(jié)合；二要注意要有必要的文字說明跟蹤演練3平面內(nèi)有n(nN*，n2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，求證交點的個數(shù)f(n).證明(1)當n2時，兩條直線的交點只有一個，又f(2)2(21)1，當n2時，命題成立(2)假設(shè)當nk(kN*，k2)時命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點個數(shù)f(k)k(k1)，那么，當nk1時，任取一條直線l，除l以外其他k條直線的交點個數(shù)為f(k)k(k1)，l與其他k條直線交點個數(shù)為k，從而k1條直線共有f(k)k個交點，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，當nk1時，命題成立由(1)，(2)可知，對任意nN*(n2)命題都成立要點四歸納猜想證明例4在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測an，bn的通項公式，并證明你的結(jié)論；(2)證明：.(1)解由條件得2bnanan1，abnbn1.由此可以得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測ann(n1)，bn(n1)2.用數(shù)學歸納法證明：當n1時，由上可得結(jié)論成立假設(shè)當nk(kN*)時，結(jié)論成立即akk(k1)，bk(k1)2，那么當nk1時，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)(k1)(k1)1，bk1(k2)2(k1)12，所以當nk1時，結(jié)論也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2對一切正整數(shù)都成立(2)證明.n2時，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.故.綜上，原不等式成立規(guī)律方法探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此種問題未給出問題的結(jié)論，往往需要由特殊情況入手，歸納、猜想、探索出結(jié)論，然后再對探索出的結(jié)論進行證明，而證明往往用到數(shù)學歸納法這類題型是高考的熱點之一，它對培養(yǎng)創(chuàng)造性思維具有很好的訓練作用跟蹤演練4已知數(shù)列，計算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計算結(jié)果，猜想Sn的表達式，并用數(shù)學歸納法進行證明解S1；S2；S3；S4.可以看到，上面表示四個結(jié)果的分數(shù)中，分子與項數(shù)n一致，分母可用項數(shù)n表示為3n1.于是可以猜想Sn(nN*)下面我們用數(shù)學歸納法證明這個猜想(1)當n1時，左邊S1，右邊，猜想成立(2)假設(shè)當nk(kN*)時猜想成立，即，那么，所以，當nk1時猜想也成立根據(jù)(1)和(2)，可知猜想對任何nN*都成立1某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，若nk(kN*)時命題成立，那么可推得當nk1時該命題也成立，現(xiàn)已知n5時，該命題不成立，那么可以推得()An6時該命題不成立Bn6時該命題成立Cn4時該命題不成立Dn4時該命題成立答案C解析nk(kN*)時命題成立，那么可推得當nk1時該命題成立若n5時，該命題不成立，則n4時該命題不成立2用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”時，第一步驗證n1時，命題成立，第二步歸納假設(shè)應寫成()A假設(shè)n2k1(kN*)時命題正確，再推證n2k3時命題正確B假設(shè)n2k1(kN*)時命題正確，再推證n2k1時命題正確C假設(shè)nk(kN*)時命題正確，再推證nk2時命題正確D假設(shè)nk(kN*)時命題正確，再推證nk2時命題正確答案B解析因n為正奇數(shù)，所以否定C、D項；當k1時，2k11,2k13，故選B.3用數(shù)學歸納法證明3nn3(n3，nN*)第一步應驗證_答案n3時是否成立解析n的最小值為3，所以第一步驗證n3時是否成立4用數(shù)學歸納法證明123(2n1)(n1)(2n1)時，從“nk”到“nk1”，左邊需增添的代數(shù)式是_答案(2k2)(2k3)解析當nk時，左邊是共有2k1個連續(xù)自然數(shù)相加，即123(2k1)，所以當nk1時，左邊共有2k3個連續(xù)自然數(shù)相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k2)(2k3)1數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，包括等式、不等式、數(shù)列問題、整除問題、幾何問題等2證明問題的初始值n0不一定，可根據(jù)題目要求和問題實際確定n0.3從nk到nk1要搞清“項”的變化，不論是幾何元素，還是式子，一定要用到歸納假設(shè)一、基礎(chǔ)達標1用數(shù)學歸納法證明等式123(n3)(nN*)，驗證n1時，左邊應取的項是()A1 B12 C123 D1234答案D解析等式左邊的數(shù)是從1加到n3.當n1時，n34，故此時左邊的數(shù)為從1加到4.2用數(shù)學歸納法證明“2nn21對于nn0的自然數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取()A2 B3 C5 D6答案C解析當n取1、2、3、4時2nn21不成立，當n5時，253252126，第一個能使2nn21的n值為5，故選C.3用數(shù)學歸納法證明不等式1(nN*)成立，其初始值至少應取()A7 B8 C9 D10答案B解析左邊12，代入驗證可知n的最小值是8.4用數(shù)學歸納法證明不等式(nN*)的過程中，由nk遞推到nk1時，下列說法正確的是()A增加了一項B增加了兩項和C增加了B中的兩項，但又減少了一項D增加了A中的一項，但又減少了一項答案C解析當nk時，不等式左邊為，當nk1時，不等式左邊為，故選C.5用數(shù)學歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證nk1時的情況，只需展開_答案(k3)3解析假設(shè)當nk時，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除當nk1時，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可6已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，Snn2an(nN*)依次計算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達式為_答案Sn解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.7已知正數(shù)數(shù)列an(nN*)中，前n項和為Sn，且2Snan，用數(shù)學歸納法證明：an.證明(1)當n1時a1S1，a1(an0)，a11，又1，n1時，結(jié)論成立(2)假設(shè)nk(kN*)時，結(jié)論成立，即ak.當nk1時，ak1Sk1Sk.a2ak110，解得ak1(an0)，nk1時，結(jié)論成立由(1)(2)可知，對nN*都有an.二、能力提升8k(k3，kN*)棱柱有f(k)個對角面，則(k1)棱柱的對角面?zhèn)€數(shù)f(k1)為()Af(k)k1 Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)k2答案A解析三棱柱有0個對角面，四棱柱有2個對角面020(31)；五棱柱有5個對角面232(41)；六棱柱有9個對角面545(51)；.猜想：若k棱柱有f(k)個對角面，則(k1)棱柱有f(k)k1個對角面9對于不等式n1(nN*)，某學生的證明過程如下：當n1時，11，不等式成立假設(shè)nk(nN*)時，不等式成立，即k1，則nk1時，.假設(shè)nk時，不等式成立則當nk1時，應推證的目標不等式是_答案解析觀察不等式中的分母變化知，.11求證：(n2，nN*)證明(1)當n2時，左邊，不等式成立(2)假設(shè)當nk(k2，kN*)時命題成立，即.則當nk1時，所以當nk1時不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式對一切n2，nN*均成立12已知數(shù)列an中，a1，其前n項和Sn滿足anSn2(n2)，計算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明解當n2時，anSnSn1Sn2.Sn(n2)則有：S1a1，S2，S3，S4，由此猜想：Sn(nN*)用數(shù)學歸納法證明：(1)當n1時，S1a1，猜想成立(2)假設(shè)nk(kN*)猜想成立，即Sk成立，那么nk1時，Sk1.即nk1時猜想成立由(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n，猜想結(jié)論均成立三、探究與創(chuàng)新13已知遞增等差數(shù)列an滿足：a11，且a1，a2，a4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)若不等式對任