圓錐曲線利用點的坐標解決圓錐曲線問題.doc

第九章 利用點的坐標處理解析幾何問題 解析幾何利用點的坐標處理解析幾何問題 有些解析幾何的題目，問題的求解不依賴于傳統(tǒng)的“設點，聯(lián)立，消元，韋達定理整體代入”步驟，而是能夠計算出交點的坐標，且點的坐標并不復雜，然后以點的坐標作為核心去處理問題。一、基礎知識：1、韋達定理的實質：在處理解析幾何的問題時，韋達定理的運用最頻繁的，甚至有的學生將其視為“必備結構”，無論此題是否有思路，都先聯(lián)立方程，韋達定理。然而使用“韋達定理”的實質是什么？實質是“整體代入”的一種方式，只是因為在解析幾何中，一些問題的求解經常與相關，利用“韋達定理”可進行整體代入，可避免因為這幾個根的形式過于復雜導致運算繁瑣。所以要理解“韋達定理”并不是解析幾何的必備工具，只是在需要進行整體代入時，才運用的一種手段。2、利用點坐標解決問題的優(yōu)劣：（1）優(yōu)點：如果能得到點的坐標，那么便可應對更多的問題，且計算更為靈活，不受形式的約束（2）缺點：有些方程的根過于復雜（例如用求根公式解出的根），從而使得點的坐標也變得復雜導致運算繁瑣。那么此類問題則要考慮看能否有機會進行整體的代入3、求點坐標的幾種類型：（1）在聯(lián)立方程消元后，如果發(fā)現(xiàn)交點的坐標并不復雜（不是求根公式的形式），則可考慮把點的坐標解出來（用核心變量進行表示）（2）直線與曲線相交，若其中一個交點的坐標已知，則另一交點必然可求（可用韋達定理或因式分解求解）4、在利用點的坐標處理問題時也要注意運算的技巧，要將運算的式子與條件緊密聯(lián)系，若能夠整體代入，也要考慮整體代入以簡化運算。（整體代入是解析幾何運算簡化的精髓）二、典型例題：例1：已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為4，以橢圓的短軸為直徑的圓經過這兩個焦點，點分別是橢圓的左右頂點（1）求圓和橢圓的方程（2）已知分別是橢圓和圓上的動點（位于軸的兩側），且直線與軸平行，直線分別與軸交于點，求證：為定值解：（1）依題意可得，過焦點，且 ，再由可得 橢圓方程為，圓方程為 （2）思路：條件主要圍繞著點展開，所以以為核心，設，由與軸平行，可得。若要證明為定值，可從的三角函數(shù)值下手，在解析中角的余弦值可以與向量的數(shù)量積找到聯(lián)系，從而能夠轉化為坐標運算。所以考慮，模長并不利于計算，所以先算，考慮利用條件設出方程，進而坐標可用核心變量表示，再進行數(shù)量積的坐標運算可得，從而，即為定值解：設 與軸平行，設，由所在橢圓和圓方程可得：由橢圓可知： 令，可得：同理：可得，代入可得：，即為定值思路二：本題還可以以其中一條直線為入手點（例如），以斜率作為核心變量，直線與橢圓交于兩點，已知點坐標利用韋達定理可解出點坐標（用表示），從而可進一步將涉及的點的坐標都用來進行表示，再計算也可以，計算步驟如下：解：設，由橢圓方程可得：所以設直線，聯(lián)立方程：，代入到直線方程可得：，由，令可得：設，則由在圓上可得：，再由代入可得：，即為定值例2：設橢圓的左右焦點分別為，右頂點為，上頂點為，已知（1）求橢圓的離心率（2）設為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經過點，經過原點的直線與該圓相切，求直線的斜率解：（1）由橢圓方程可知：，即（2）由（1）可得橢圓方程為 設以線段為直徑的圓經過點聯(lián)立方程：，整理可得：，解得：，代入直線方程： 可知的中點為，圓方程為設直線：，整理可得：，解得：直線的斜率為或例3：（2014，重慶）如圖所示，設橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，的面積為 （1）求橢圓的標準方程（2）設圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑解：（1）設，由可得： ，解得 在中， 橢圓方程為： （2）如圖：設圓與橢圓相交，是兩個交點，是圓的切線，且，則由對稱性可得： 由（1）可得 ，聯(lián)立方程，解得（舍）或過且分別與垂直的直線的交點即為圓心 由是圓的切線，且，可得：因為 為等腰直角三角形 例4：已知橢圓的焦距為，設右焦點為，離心率為 （1）若 ，求橢圓的方程（2）設為橢圓上關于原點對稱的兩點，的中點為，的中點為，若原點在以線段為直徑的圓上 證明：點在定圓上 設直線的斜率為，若，求的取值范圍解：（1）依題意可得： 所以橢圓方程為： （2）思路：設，則，由此可得坐標（用進行表示），而在以為直徑的圓上可得：，所以得到關于的方程，由方程便可判定出點的軌跡解：設，則。因為，且為的中點所以有 在以為直徑的圓上 點在定圓上 消去可得：（*）而， 代入（*）可得： 所以解得： 例5：已知橢圓的上頂點為，左焦點為，離心率為（1）求直線的斜率（2）設直線與橢圓交于點（異于點），過點且垂直于的直線與橢圓交于點（異于點），直線與軸交于點， 求的值 若，求橢圓方程解：（1）由可知設，（2） 設 橢圓方程為：聯(lián)立方程：，整理后可得：可解得： 因為 設聯(lián)立方程：，整理后可得：，解得，即設，斜率為，由弦長公式可知： 由可得： 由可得：橢圓方程為例6：已知橢圓的左焦點為，離心率為，點在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為，（1）求直線的斜率（2）求橢圓的方程（3）設動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）斜率的取值范圍解：（1）由已知可得 橢圓方程為設直線，其中 由可得：解得：（2）由（1）可得：解得：或在第一象限，即可得：橢圓方程為：（3）由（2）可知，設，設的斜率為聯(lián)立方程： 可解得：設直線的斜率為，即當時， 可知 ，由可得：當時，可知 ，由可得：綜上所述：例7：已知橢圓的離心率為，其短軸的兩端點分別為.（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上關于軸對稱的兩個不同點，直線與軸分別交于點.試判斷以為直徑的圓是否過定點，如經過，求出定點坐標；如不過定點，請說明理由.解：（1） 由短軸頂點可得： 橢圓方程為 （2）設，則對稱點 從而直線的方程為：，令解得：，設中點為則 半徑 以為直徑的圓方程為： 代入可得：，代入可得：即 時，無論為何值等式均成立圓恒過 例8：如圖，設拋物線的準線與軸交于，焦點為，以為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的交點為，延長交拋物線于點，是拋物線上一動點，且在之間運動（1）當時，求橢圓的方程（2）當?shù)倪呴L恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時，求面積的最大值 解：（1）時，焦點坐標 橢圓的方程為： （2）由可得：，即 橢圓方程為： 代入解得： 邊長為3個連續(xù)的自然數(shù) 拋物線方程為， 即，代入拋物線方程可得：解得 設， 由可得： 例9：在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左，右焦點，已知為等腰三角形（1）求橢圓的離心率 （2）設直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程解：（1）設，由圖可知，為等腰三角形即 ,代入可得：，解得：（舍）或 （2）思路：由（1）可將橢圓方程化簡為：，與直線的方程聯(lián)立，即消元后發(fā)現(xiàn)方程形式為，形式極其簡單，所以直接求出點的坐標可得：，進而設所求點。將坐標化后，再利用即可得到關于的方程：，方程中含有，所以考慮利用直線方程將消掉：，代入即可得到軌跡方程解： 橢圓方程轉化為：即即 的方程為：，設，聯(lián)立方程可得：，消去，方程轉化為： 解得： 設，則 由可得：，化簡可得： 因為，所以，代入式化簡可得： 將代入，可得： 的軌跡方程為：例10：如圖，分別為橢圓的左右焦點，橢圓上的點到距離的最大值為5，離心率為，是橢圓上位