圓錐曲線利用點(diǎn)的坐標(biāo)解決圓錐曲線問題.doc

第九章 利用點(diǎn)的坐標(biāo)處理解析幾何問題 解析幾何利用點(diǎn)的坐標(biāo)處理解析幾何問題 有些解析幾何的題目，問題的求解不依賴于傳統(tǒng)的“設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，消元，韋達(dá)定理整體代入”步驟，而是能夠計算出交點(diǎn)的坐標(biāo)，且點(diǎn)的坐標(biāo)并不復(fù)雜，然后以點(diǎn)的坐標(biāo)作為核心去處理問題。一、基礎(chǔ)知識：1、韋達(dá)定理的實(shí)質(zhì)：在處理解析幾何的問題時，韋達(dá)定理的運(yùn)用最頻繁的，甚至有的學(xué)生將其視為“必備結(jié)構(gòu)”，無論此題是否有思路，都先聯(lián)立方程，韋達(dá)定理。然而使用“韋達(dá)定理”的實(shí)質(zhì)是什么？實(shí)質(zhì)是“整體代入”的一種方式，只是因?yàn)樵诮馕鰩缀沃?，一些問題的求解經(jīng)常與相關(guān)，利用“韋達(dá)定理”可進(jìn)行整體代入，可避免因?yàn)檫@幾個根的形式過于復(fù)雜導(dǎo)致運(yùn)算繁瑣。所以要理解“韋達(dá)定理”并不是解析幾何的必備工具，只是在需要進(jìn)行整體代入時，才運(yùn)用的一種手段。2、利用點(diǎn)坐標(biāo)解決問題的優(yōu)劣：（1）優(yōu)點(diǎn)：如果能得到點(diǎn)的坐標(biāo)，那么便可應(yīng)對更多的問題，且計算更為靈活，不受形式的約束（2）缺點(diǎn)：有些方程的根過于復(fù)雜（例如用求根公式解出的根），從而使得點(diǎn)的坐標(biāo)也變得復(fù)雜導(dǎo)致運(yùn)算繁瑣。那么此類問題則要考慮看能否有機(jī)會進(jìn)行整體的代入3、求點(diǎn)坐標(biāo)的幾種類型：（1）在聯(lián)立方程消元后，如果發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)并不復(fù)雜（不是求根公式的形式），則可考慮把點(diǎn)的坐標(biāo)解出來（用核心變量進(jìn)行表示）（2）直線與曲線相交，若其中一個交點(diǎn)的坐標(biāo)已知，則另一交點(diǎn)必然可求（可用韋達(dá)定理或因式分解求解）4、在利用點(diǎn)的坐標(biāo)處理問題時也要注意運(yùn)算的技巧，要將運(yùn)算的式子與條件緊密聯(lián)系，若能夠整體代入，也要考慮整體代入以簡化運(yùn)算。（整體代入是解析幾何運(yùn)算簡化的精髓）二、典型例題：例1：已知橢圓上的點(diǎn)到它的兩個焦點(diǎn)的距離之和為4，以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過這兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)（1）求圓和橢圓的方程（2）已知分別是橢圓和圓上的動點(diǎn)（位于軸的兩側(cè)），且直線與軸平行，直線分別與軸交于點(diǎn)，求證：為定值解：（1）依題意可得，過焦點(diǎn)，且 ，再由可得 橢圓方程為，圓方程為 （2）思路：條件主要圍繞著點(diǎn)展開，所以以為核心，設(shè)，由與軸平行，可得。若要證明為定值，可從的三角函數(shù)值下手，在解析中角的余弦值可以與向量的數(shù)量積找到聯(lián)系，從而能夠轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算。所以考慮，模長并不利于計算，所以先算，考慮利用條件設(shè)出方程，進(jìn)而坐標(biāo)可用核心變量表示，再進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，從而，即為定值解：設(shè) 與軸平行，設(shè)，由所在橢圓和圓方程可得：由橢圓可知： 令，可得：同理：可得，代入可得：，即為定值思路二：本題還可以以其中一條直線為入手點(diǎn)（例如），以斜率作為核心變量，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)利用韋達(dá)定理可解出點(diǎn)坐標(biāo)（用表示），從而可進(jìn)一步將涉及的點(diǎn)的坐標(biāo)都用來進(jìn)行表示，再計算也可以，計算步驟如下：解：設(shè)，由橢圓方程可得：所以設(shè)直線，聯(lián)立方程：，代入到直線方程可得：，由，令可得：設(shè)，則由在圓上可得：，再由代入可得：，即為定值例2：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，已知（1）求橢圓的離心率（2）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切，求直線的斜率解：（1）由橢圓方程可知：，即（2）由（1）可得橢圓方程為 設(shè)以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)聯(lián)立方程：，整理可得：，解得：，代入直線方程： 可知的中點(diǎn)為，圓方程為設(shè)直線：，整理可得：，解得：直線的斜率為或例3：（2014，重慶）如圖所示，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，的面積為 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個交點(diǎn)，且圓在這兩個交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)，求圓的半徑解：（1）設(shè)，由可得： ，解得 在中， 橢圓方程為： （2）如圖：設(shè)圓與橢圓相交，是兩個交點(diǎn)，是圓的切線，且，則由對稱性可得： 由（1）可得 ，聯(lián)立方程，解得（舍）或過且分別與垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心 由是圓的切線，且，可得：因?yàn)?為等腰直角三角形 例4：已知橢圓的焦距為，設(shè)右焦點(diǎn)為，離心率為 （1）若 ，求橢圓的方程（2）設(shè)為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓上 證明：點(diǎn)在定圓上 設(shè)直線的斜率為，若，求的取值范圍解：（1）依題意可得： 所以橢圓方程為： （2）思路：設(shè)，則，由此可得坐標(biāo)（用進(jìn)行表示），而在以為直徑的圓上可得：，所以得到關(guān)于的方程，由方程便可判定出點(diǎn)的軌跡解：設(shè)，則。因?yàn)?，且為的中點(diǎn)所以有 在以為直徑的圓上 點(diǎn)在定圓上 消去可得：（*）而， 代入（*）可得： 所以解得： 例5：已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率為（1）求直線的斜率（2）設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），過點(diǎn)且垂直于的直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸交于點(diǎn)， 求的值 若，求橢圓方程解：（1）由可知設(shè)，（2） 設(shè) 橢圓方程為：聯(lián)立方程：，整理后可得：可解得： 因?yàn)?設(shè)聯(lián)立方程：，整理后可得：，解得，即設(shè)，斜率為，由弦長公式可知： 由可得： 由可得：橢圓方程為例6：已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為，（1）求直線的斜率（2）求橢圓的方程（3）設(shè)動點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點(diǎn)）斜率的取值范圍解：（1）由已知可得 橢圓方程為設(shè)直線，其中 由可得：解得：（2）由（1）可得：解得：或在第一象限，即可得：橢圓方程為：（3）由（2）可知，設(shè)，設(shè)的斜率為聯(lián)立方程： 可解得：設(shè)直線的斜率為，即當(dāng)時， 可知 ，由可得：當(dāng)時，可知 ，由可得：綜上所述：例7：已知橢圓的離心率為，其短軸的兩端點(diǎn)分別為.（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩個不同點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn).試判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如經(jīng)過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如不過定點(diǎn)，請說明理由.解：（1） 由短軸頂點(diǎn)可得： 橢圓方程為 （2）設(shè)，則對稱點(diǎn) 從而直線的方程為：，令解得：，設(shè)中點(diǎn)為則 半徑 以為直徑的圓方程為： 代入可得：，代入可得：即 時，無論為何值等式均成立圓恒過 例8：如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為，以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的交點(diǎn)為，延長交拋物線于點(diǎn)，是拋物線上一動點(diǎn)，且在之間運(yùn)動（1）當(dāng)時，求橢圓的方程（2）當(dāng)?shù)倪呴L恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時，求面積的最大值 解：（1）時，焦點(diǎn)坐標(biāo) 橢圓的方程為： （2）由可得：，即 橢圓方程為： 代入解得： 邊長為3個連續(xù)的自然數(shù) 拋物線方程為， 即，代入拋物線方程可得：解得 設(shè)， 由可得： 例9：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動點(diǎn)，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，已知為等腰三角形（1）求橢圓的離心率 （2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程解：（1）設(shè)，由圖可知，為等腰三角形即 ,代入可得：，解得：（舍）或 （2）思路：由（1）可將橢圓方程化簡為：，與直線的方程聯(lián)立，即消元后發(fā)現(xiàn)方程形式為，形式極其簡單，所以直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)可得：，進(jìn)而設(shè)所求點(diǎn)。將坐標(biāo)化后，再利用即可得到關(guān)于的方程：，方程中含有，所以考慮利用直線方程將消掉：，代入即可得到軌跡方程解： 橢圓方程轉(zhuǎn)化為：即即 的方程為：，設(shè)，聯(lián)立方程可得：，消去，方程轉(zhuǎn)化為： 解得： 設(shè)，則 由可得：，化簡可得： 因?yàn)?，所以，代入式化簡可得?將代入，可得： 的軌跡方程為：例10：如圖，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到距離的最大值為5，離心率為，是橢圓上位