2018高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.4直線平面垂直的判定與性質(zhì)撬題理.DOC

2018高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)考案 第八章 立體幾何 8.4 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)撬題 理1.若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是()Al1l4Bl1l4Cl1與l4既不垂直也不平行Dl1與l4的位置關(guān)系不確定答案D解析由l1l2，l2l3可知l1與l3的位置不確定，若l1l3，則結(jié)合l3l4，得l1l4，所以排除選項(xiàng)B、C，若l1l3，則結(jié)合l3l4，知l1與l4可能不垂直，所以排除選項(xiàng)A.故選D.2如下圖，三棱錐PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB.D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，且CDDE，CE2EB2.(1)證明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值解(1)證明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE.由CE2，CDDE，得CDE為等腰直角三角形，故CDDE.由PCCDC，DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，故DE平面PCD.(2)由(1)知，CDE為等腰直角三角形，DCE.如下圖，過(guò)D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又已知EB1，故FB2.由ACB得DFAC，故ACDF.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，P(0,0,3)，A，E(0,2,0)，D(1,1,0)，(1，1,0)，(1，1,3)，.設(shè)平面PAD的法向量為n1(x1，y1，z1)，由n10，n10，得故可取n1(2,1,1)由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取為，即n2(1，1,0)，從而法向量n1，n2的夾角的余弦值為cosn1，n2，故所求二面角APDC的余弦值為.3如圖，在四棱錐AEFCB中，AEF為等邊三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O為EF的中點(diǎn)(1)求證：AOBE；(2)求二面角FAEB的余弦值；(3)若BE平面AOC，求a的值解(1)證明：因?yàn)锳EF是等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，所以AOEF.又因?yàn)槠矫鍭EF平面EFCB，AO平面AEF，所以AO平面EFCB.所以AOBE.(2)取BC中點(diǎn)G，連接OG.由題設(shè)知EFCB是等腰梯形，所以O(shè)GEF.由(1)知AO平面EFCB，又OG平面EFCB，所以O(shè)AOG.如右圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則E(a,0,0)，A(0,0，a)，B(2，(2a)，0)，(a,0，a)，(a2，(a2)，0)設(shè)平面AEB的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，則x，y1.于是n(，1,1)平面AEF的法向量為p(0,1,0)所以cosn，p.由題知二面角FAEB為鈍角，所以它的余弦值為.(3)因?yàn)锽E平面AOC，所以BEOC，即0.因?yàn)?a2，(a2)，0)，(2，(2a)，0)，所以2(a2)3(a2)2.由0及0a2，解得a.4如圖1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖2.(1)證明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值解(1)證明：在圖1中，因?yàn)锳BBC1，AD2，E是AD的中點(diǎn)，BAD，所以BEAC.即在圖2中，BEOA1，BEOC，從而B(niǎo)E平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC為二面角A1BEC的平面角，所以A1OC.如下圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0,0)設(shè)平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC與平面A1CD夾角為，則得取n1(1,1,1)；得取n2(0,1,1)，從而cos|cosn1，n2|，即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為.5九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽(yáng)馬PABCD中，側(cè)棱PD底面ABCD，且PDCD，過(guò)棱PC的中點(diǎn)E，作EFPB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE.(1)證明：PB平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說(shuō)明理由；(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，求的值解(1)證明：因?yàn)镻D底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD為長(zhǎng)方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因?yàn)镻DCD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.而PB平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為DEB，DEF，EFB，DFB.(2)如圖，在面PBC內(nèi)，延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線由(1)知，PB平面DEF，所以PBDG.又因?yàn)镻D底面ABCD，所以PDDG.而PDPBP，所以DG平面PBD.故BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設(shè)PDDC1，BC，有BD，在RtPDB中，由DFPB，得DPFFDB，則tantanDPF，解得.所以.故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為時(shí)，.6.如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2，AD1，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值解(1)證明：因?yàn)镈AB60，AB2AD2，由余弦定理得BD.從而B(niǎo)D2AD2AB2，BDAD.PD平面ABCD，BD平面ABCD，PDBD.又ADPDD，所以BD平面PAD，所以PABD.(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DP分別為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)，(1，0)，(0，1)，(1,0,0)，設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則即因此，令y1，則n(，1，)設(shè)平面PBC的法向量為m(x0，y0，z0)，則即可取m(0,1，)，則cosm，n，由圖知二面角APBC為鈍角，故二面角APBC的余弦值為.7如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于點(diǎn)F，F(xiàn)ECD，交PD于點(diǎn)E.(1)證明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值解(1)證明：PD平面ABCD，PDAD，又CDAD，PDCDD，AD平面PCD，ADPC，又AFPC，AFADA，PC平面ADF，即CF平面ADF.(2)設(shè)AB1，則RtPDC中，CD1，DPC30，PC2，PD，由(1)知CFDF，DF， CF，又FECD，DE，同理，EF，如圖所示，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,1)，E，F(xiàn)，P(，0,0)，C(0,1,0)設(shè)m(x，y，z)是平面AEF的法向量，則又令x4，得z，故m(4,0，)，由(1)知平面ADF的一個(gè)法向量為(，1,0)，設(shè)二面角DAFE的平面角為，可知為銳角，cos|cosm，|，故二面角DAFE的余弦值為.8.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACBC2，ACBC，點(diǎn)S是AA1延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EF是平面SBC與平面A1B1C1的交線(1)求證：EFAC1；(2)求直線A1C與平面A1ABB1所成角的正弦值解(1)證明：在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面A1B1C1，又平面ABC平面SBCBC，平面A1B1C1平面SBCEF，EFBC.平面AA1C1C平面ABC，且ACBC，BC平面ACC1A1.又AC1平面ACC1A1，BCAC1，EFAC1.(2)取A1C1的中點(diǎn)D1，連CD1，AA1A1CAC2，CC1A1CA1C12，CD1A1C1.由(1)知BC平面ACC1A1.以點(diǎn)C為原點(diǎn)