江蘇專用2018_2019學年高中數(shù)學圓錐曲線與方程2.4拋物線2.4.1拋物線的標準方程學案蘇教版.docx

2.4.1拋物線的標準方程學習目標：1.掌握拋物線的標準方程(重點)2.掌握求拋物線標準方程的基本方法自 主 預 習探 新 知拋物線的標準方程標準方程y22pxy22pxx22pyx22py圖形焦點坐標準線方程xxyy開口方向向右向左向上向下基礎自測1判斷正誤：(1)標準方程y22px(p0)中p的幾何意義是焦點到準線的距離()(2)拋物線的焦點位置由一次項及一次項系數(shù)的正負決定()(3)x22y表示的拋物線開口向左()【解析】(1).拋物線y22px(p0)的焦點為，準線為x，故焦點到準線的距離是p.(2).一次項決定焦點所在的坐標軸，一次項系數(shù)的正負決定焦點是在正半軸或負半軸上，故該說法正確(3).x22y表示的拋物線開口向下【答案】(1)(2)(3)2焦點坐標為(0,2)的拋物線的標準方程為_【解析】由題意知p224，焦點在y軸正半軸上，方程為x224y，即x28y.【答案】x28y合 作 探 究攻 重 難求拋物線的標準方程分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程： (1)準線方程為2y40；(2)過點(3，4)；(3)焦點在直線x3y150上. 【導學號：95902128】思路探究【自主解答】(1)準線方程為2y40，即y2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設其方程為x22py(p0)又2，所以2p8，故拋物線的標準方程為x28y.(2)點(3，4)在第四象限，設拋物線的標準方程為y22px(p0)或x22p1y(p10)把點(3，4)的坐標分別代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求拋物線的標準方程為y2x或x2y.(3)令x0得y5；令y0得x15.拋物線的焦點為(0，5)或(15,0)所求拋物線的標準方程為x220y或y260x.規(guī)律方法求拋物線方程的主要方法是待定系數(shù)法(1)若已知拋物線的焦點位置，則可設出拋物線的標準方程，求出p值即可；(2)若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論.注意：焦點在x軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設成y2ax(a0)，焦點在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設成x2ay(a0).跟蹤訓練1(1)焦點在x軸上，且焦點在雙曲線1上的拋物線的標準方程為_(2)拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x216y2144的短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，則拋物線的標準方程為_【解析】(1)由題意可設拋物線方程為y22mx(m0)，則焦點為.焦點在雙曲線1上，1，求得m4，所求拋物線方程為y28x或y28x.(2)橢圓的方程可化為1，其短軸在y軸上，拋物線的對稱軸為y軸，設拋物線的標準方程為x22py或x22py(p0)，由拋物線焦點到頂點的距離為3得3，p6，拋物線的標準方程為x212y或x212y.【答案】(1)y28x或y28xx212y或x212y由拋物線的標準方程求焦點坐標和準線方程求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：(1)yx2；(2)xy2(a0). 【導學號：95902129】思路探究【自主解答】(1)拋物線yx2的標準形式為x24y，所以p2，所以焦點坐標是(0,1)，準線方程是y1.(2)拋物線xy2的標準形式為y2ax，所以p，故焦點在x軸上，坐標為，準線方程為x.規(guī)律方法求拋物線焦點坐標和準線方程的步驟：跟蹤訓練2求拋物線ay2x(a0)的焦點坐標與準線方程【解析】把拋物線ay2x(a0)方程化為標準形式為y2x，所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為x.拋物線的定義及標準方程的應用探究問題1拋物線定義是什么？能否用數(shù)學式表示拋物線的定義？【提示】平面內到一定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線設拋物線上任意一點P，點P到直線l的距離為PD，則拋物線的定義可表示為PFPD.2拋物線y22px(p0)上一點P的橫坐標為x0，那么點P到其焦點F的距離是什么？【提示】拋物線y22px(p0)的準線方程為x，根據(jù)拋物線的定義可知拋物線上的點到焦點的距離等于其到準線的距離，所以點P到其焦點F的距離為PFx0x0.3探究2中得到的用點P的橫坐標表示其到焦點的距離的公式稱為拋物線的焦半徑公式，對于其它三種形式的方程的焦半徑公式是什么？【提示】設拋物線上一點P的橫坐標為x0，對于拋物線y22px(p0)，PFx0；設拋物線上一點P的縱坐標為y0，對于拋物線x22py(p0)，PFy0y0；設拋物線上一點P的縱坐標為y0，對于拋物線x22py(p0)，PFy0.4通過以上探究，你得到了什么啟示？【提示】當題目中涉及拋物線上的點到焦點的距離時，一般轉化為拋物線上的點到準線的距離較為簡單，這樣就將兩點間的距離轉化為點到直線的距離，將二次問題轉化為一次問題已知拋物線的方程為y22x，F(xiàn)是其焦點，點A(4,2)，在拋物線上是否存在點M，使MAMF取得最小值？若存在，求此時點M的坐標；若不存在，請說明理由思路探究【自主解答】如圖，由于點M在拋物線上，所以MF等于點M到其準線l的距離MN，于是MAMFMAMN，所以當A，M，N三點共線時，MAMN取最小值，亦即MAMF取最小值，這時M的縱坐標為2，可設M(x0,2)代入拋物線方程得x02，即M(2,2)規(guī)律方法1此類題目的實質是拋物線定義的應用，將拋物線上的點到焦點的距離轉化成到準線的距離，從而化曲為直，利用點到直線的距離求最小值2涉及拋物線上任意一點P與平面上的定點A以及拋物線焦點F的距離和PAPF的最小值問題，有以下處理思路：(1)若點A在拋物線外部，則直線FA與拋物線的交點P使得PAPF最小，其最小值為AF；(2)若點A在拋物線內部，則過A點作與準線l垂直的直線，它與拋物線的交點為P，則PAPF最小，其最小值為點A到準線l的距離跟蹤訓練3已知點P是拋物線y22x上的一個動點，則點P到點A(0，2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為_. 【導學號：95902130】【解析】如圖，由拋物線定義知PAPQPAPF，則所求距離之和的最小值轉化為求PAPF的最小值，則當A、P、F三點共線時，PAPF取得最小值又A(0,2)，F(xiàn)，(PAPF)minAF.【答案】構建體系 當 堂 達 標固 雙 基1拋物線x216y的焦點坐標是_. 【導學號：95902131】【解析】4，焦點在y軸上，開口向下，焦點坐標應為，即(0，4)【答案】(0，4)2拋物線yx2的準線方程是_【解析】由yx2得x24y，所以拋物線的準線方程是y1.【答案】y1 3.拋物線y24x的焦點到雙曲線1漸近線的距離為_【解析】拋物線焦點F(1,0)，雙曲線漸近線為3x4y0，點F到直線3x4y0的距離為d.【答案】4頂點在坐標原點，對稱軸為坐標軸，過點(2,3)的拋物線方程是_【解析】點(2,3)在第二象限，設拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0)，又點(2,3)在拋物線上，p，p，拋物線方程為y2x或x2y.【答案】y2x或x