材料力學(xué)研究的內(nèi)容.docx

這篇文章對材料力學(xué)做一個小結(jié)，其目的一方面是為同學(xué)們學(xué)習(xí)材料力學(xué)提供一個參考，更主要的目的，是為進(jìn)入CAE提供一個入口。 每門學(xué)科，都以某一類實(shí)際的物體為研究對象，考察他們某一個方面的性質(zhì)及其規(guī)律。材料力學(xué)也是如此。材料力學(xué)面對的是實(shí)際生活中的桿件受力問題。桿件，是指這樣一種對象，它的一個尺寸遠(yuǎn)大于另外兩個尺寸。我們身體上的胳膊，腿，我們的5個手指頭，我們頭上的根根秀發(fā)，我們坐下的凳子腿，桌子腿，我們床架的橫梁，立柱，我們寫字用的鉛筆，吃飯用的筷子，家里面的水管，煤氣管道只要是在幾何里面可以用線段來描述的實(shí)物，都可以看成是桿件。而在機(jī)械里面，桿件也廣泛存在。安裝軸系的軸是最明顯的桿件，其次，連桿機(jī)構(gòu)中的連桿，凸輪機(jī)構(gòu)中的推桿，氣缸中的活塞桿，油缸中的活塞桿，起連接作用的螺釘，螺栓，螺柱，銷子，以及構(gòu)成床身機(jī)架的方管，方鋼，圓管，圓鋼，工字鋼，角鋼，槽鋼，等等，均為桿件。無論是日常生活中的桿件，還是機(jī)械中常見的桿件，只要它們受力，就存在變形和斷裂的問題。研究單根桿件的變形或斷裂問題，考察如何設(shè)計(jì)這些桿件對象，使得它們在受力的時候，不要發(fā)生過大的變形，不要斷裂，不要失去穩(wěn)定，而又希望用最少的材料能夠滿足要求，這就是材料力學(xué)的任務(wù)。簡單的說，研究單根桿件的強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性問題，這就是材料力學(xué)的研究內(nèi)容。上面描述了桿件的概念，下面說明四種變形。 有兩種最重要的獨(dú)立的力學(xué)要素：力和力偶。力偶是由大小相等，方向相反，不在一條直線上的兩個力構(gòu)成的，它的作用是使得物體加速旋轉(zhuǎn)。材料力學(xué)就考察一根桿件在力，力偶的作用下，它會如何變形，在內(nèi)部分子之間會產(chǎn)生多大的力，從而最終可能會導(dǎo)致桿件斷裂而失效。每根桿件都有一根軸線。如果在桿件的兩端，沿著軸線施加一對平衡力，這兩個力或者相對，或者相反。如果這兩個力相對，那么桿件會被壓縮，變得短而粗。如果這兩個力相反，那么桿件會被拉伸，變得長而細(xì)。這種變形稱為拉壓變形。桌子腿，椅子腿，都是發(fā)生壓縮變形的代表。而我們的大小腿，在行走奔跑時也是處于受壓縮狀態(tài)。而系在我們腰間的皮帶或者腰帶，則處于受拉伸的狀態(tài)。如果在桿件的兩端，施加一對平衡力偶，這兩個力偶的矢量方向沿著軸線。那么這根桿件會被扭轉(zhuǎn)。這個時候，桿件上的任何一個橫截面都會相對原來的方向發(fā)生一個轉(zhuǎn)動。這種變形稱為扭轉(zhuǎn)變形。扭轉(zhuǎn)的最主要代表是我們擰螺釘，或者我們旋緊飲料瓶上的蓋子。如果在桿件的某一個橫截面的上下兩側(cè)，施加一對平衡力，這對平衡力垂直于軸線。那么這根桿件會在這個截面的兩邊發(fā)生上下錯動，這種變形稱為剪切。我們用指甲剪剪掉我們珍愛的手指甲，或者用菜刀切斷無辜的黃瓜，都是這類例子。如果一個桿件的某幾處被固定，而在桿件的某一處施加一個與軸線垂直的力，那么這根桿件的軸線會變彎，這種變形稱為彎曲。彎曲是最廣泛存在的一種變形。我們在陽臺上懸掛著濕衣服的曬衣桿，就發(fā)生著彎曲變形，如果曬的衣服沒有擰干，而且多是厚重的衣物，我們可能觀察到曬衣桿不勝負(fù)荷，發(fā)生了嚴(yán)重的彎曲。我們釣魚時候的釣魚竿，當(dāng)一條大魚上鉤而我們焦急的往上拉魚時，魚竿就發(fā)生了更為嚴(yán)重的彎曲變形，幾乎要折斷。彎曲變形對于機(jī)械而言至關(guān)重要，這是因?yàn)闄C(jī)械中的軸發(fā)生的主要就是彎曲變形，而軸上支撐著齒輪，鏈輪，帶輪，凸輪，槽輪這樣一堆最重要的傳動件，這些傳動件幾乎是機(jī)械傳動的核心。如果軸受力過大而發(fā)生了斷裂，對于機(jī)械而言，簡直就是災(zāi)難性的影響。所以軸的設(shè)計(jì)計(jì)算向來就是機(jī)械設(shè)計(jì)的一個重頭戲?？傊牧狭W(xué)研究四種變形：拉壓，扭轉(zhuǎn)，彎曲，剪切。其中彎曲的低位最重要，所有的材料力學(xué)書籍，都不惜重墨，在這里花費(fèi)了很多的力氣來講解。除了這四種最基本的變形外，拉壓可以與彎曲相組合，扭轉(zhuǎn)也可以與彎曲相組合而發(fā)生復(fù)雜的變形，我們稱之為組合變形。在弄清楚基本變形的強(qiáng)度和剛度問題以后，組合變形就變得相對簡單了。本文說明材料力學(xué)的一個重要概念，內(nèi)力。并給出四種變形下內(nèi)力的計(jì)算方法。以拉伸變形為例來說明問題。如圖1-1所示，一根桿件在其兩端點(diǎn)受到沿著軸線相反的一對平衡力作用，它將被拉長?？梢韵胂?，該桿件內(nèi)部的每根纖維都被拉伸。為了考慮其內(nèi)部相互作用力的情況，假想的用一個垂直于軸線的橫截面將該軸切斷（如圖1-2），然后取出左半段來研究（如圖1-3），則在切斷面上應(yīng)該受到右半段給它的力的作用，這些作用本來是右邊截面上的每個微元給左邊截面上每個微元的，本質(zhì)上是一個分布力系。這里考慮這個分布力系的總體作用效果，顯然這個分布力系可以被該截面上一個力FN所取代，這個力稱為內(nèi)力。（對于拉伸而言，這個力有一個更加特殊的名字，稱為軸力。）這樣，左半段（圖1-3）就只受到兩個力的作用，這兩個力應(yīng)該相等，從而可以知道，該內(nèi)力與外力F是等大的。這樣就得到了內(nèi)力的大小。上圖實(shí)際上就是拉伸變形時內(nèi)力的計(jì)算方法。該方法是在適當(dāng)?shù)牡胤饺∫粋€橫截面，然后切斷整根桿件，任意取一邊來研究。而這一邊在切斷面上受到的分布力系用一個總的力或者力偶來取代。根據(jù)這一邊的力系平衡，從而推出切斷面上的力的大小，這種方法稱為截面法。截面法是材料力學(xué)中求解內(nèi)力的基本方法。下面考慮扭轉(zhuǎn)變形。如圖2-1所示的軸，兩端受到兩個相等力偶的作用，為了考察內(nèi)部的受力情況，用一個假想的平面切斷這根軸（如圖2-2），然后任取一邊來研究（這里取右半段，如圖2-3），同樣，該切斷面會受到被舍棄的左段的切斷面上微元給它的力的作用。這些作用本質(zhì)上仍舊是分布力系。為便于研究，同樣將該力系簡化。根據(jù)其受力情況，可以推測，簡化的結(jié)果會是一個力偶（如圖2-3），該力偶稱為扭矩。根據(jù)該段的受力情況及力系平衡，可以知道，該扭矩與外加的力偶等大。這就是扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的計(jì)算方法。下面考慮剪切變形。如圖3-1所示的軸，在一個截面很近的兩邊分別受到兩個等大的力F的作用，為了考察內(nèi)部的受力情況，在該截面處切斷這根軸，然后任取一邊來研究（這里左半段，如圖3-2），同樣，該切斷面會受到被舍棄的左段的切斷面上微元給它的力的作用。這些作用本質(zhì)上仍舊是分布力系。為便于研究，同樣將該力系簡化。根據(jù)其受力情況，可以推測，簡化的結(jié)果會是一個力（如圖3-2），該力稱為剪力。根據(jù)該段的受力情況及力系平衡，可以知道，該剪力與外加的力等大。這就是剪切內(nèi)力的計(jì)算方法。最后考慮彎曲變形。如圖4-1所示的桿，兩端支撐，而在中間某處受到一個豎直向下的集中力，為了考察內(nèi)部的受力情況，用一個假想的平面切斷這根桿，然后取右半段來研究（如圖4-2），同樣，該切斷面會受到被舍棄的左段的切斷面上微元給它的力的作用。這些作用本質(zhì)上仍舊是分布力系。為便于研究，同樣將該力系簡化。根據(jù)其受力情況，可以推測，簡化的結(jié)果會是一個力和一個力偶（如圖4-2），該力稱為剪力，該力偶稱為彎矩。根據(jù)該段的受力情況及力系平衡，可以推出這兩個內(nèi)力的大小（如圖4-2）。這就是彎曲內(nèi)力的計(jì)算方法?？梢姡姆N基本變形的內(nèi)力計(jì)算方法都是一樣的?？梢韵胂螅趶?fù)雜的受力狀態(tài)下，桿件不同的截面上其內(nèi)力是不同的。如圖4-1所示，在集中力F的左右兩邊取截面，截面上的剪力和彎矩都會變化，而且是隨著距支座的距離的變化而變化。此即，內(nèi)力是隨著截面位置的變化而變化的。這種變化與其到某一個支座的距離有關(guān)（如圖4-1中的X），是它的函數(shù)。把該內(nèi)力與X的關(guān)系用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來，稱為內(nèi)力方程（如圖4-2左邊的兩個方程），而依據(jù)該方程可以在二維笛卡爾坐標(biāo)系中繪制出該內(nèi)力方程，它會是一個曲線圖，該曲線稱為內(nèi)力圖。下面的圖形說明了上述思想。圖5圖5是一個繪制彎曲的內(nèi)力圖的例子。該圖的最上面一個圖是實(shí)際的受力圖，這是一個A,B兩點(diǎn)簡單支撐的簡支梁，在其上受到一個豎直向下的分布力系作用。可以想象，AB之間的任意一個截面的內(nèi)力都是不一樣的。根據(jù)截面法，任意取一個截面，由其平衡，列出平衡方程，可以分別得到剪力方程和彎矩方程，然后根據(jù)它們分別繪制出中間的剪力圖和下面的彎矩圖。從圖中可以知道，A,B截面的剪力最大，而中間截面的彎矩最大。這些內(nèi)力大的截面就是危險截面。一根桿件的斷裂就是從這些危險截面開始的。材料力學(xué)分析強(qiáng)度問題，就是首先繪制內(nèi)力圖，找到危險截面，然后在該危險截面上進(jìn)一步找到危險點(diǎn)，計(jì)算該危險點(diǎn)的力是多少，并把該力與該材料所能夠承受的極限相比較，從而判斷它有沒有超過允許值。這樣來判斷桿件的安全性?，F(xiàn)在說明應(yīng)力的概念。應(yīng)力是材料力學(xué)最核心的概念，它也是變形固體力學(xué)中最重要的概念?？梢哉f，材料力學(xué)這門課程就是以應(yīng)力為中心而展開的，所以，理解應(yīng)力至關(guān)重要。我們從簡單的拉伸試驗(yàn)開始考察斷裂現(xiàn)象,從而闡述應(yīng)力的概念。我們試著在粉筆的兩端用力拉它，一根粉筆粗（圖1-1），而另外一根粉筆細(xì)（圖1-2），我們可以看到，在這兩種情況下，這兩根粉筆的內(nèi)力是一樣的（圖1-3，圖1-4），但是毫無疑問，較細(xì)的粉筆更容易被拉斷。這意味著，粉筆斷裂的原因不能簡單的歸于內(nèi)力（這里相同的內(nèi)力，較細(xì)的更容易斷裂），而需要進(jìn)一步去考察內(nèi)力在截面上的分布。實(shí)際上，我們需要過渡到截面上更細(xì)微的元素，比如說一個點(diǎn)。如圖2-1所示，為了描述截面上一個點(diǎn)受到的力的集中程度，我們在該截面上選取一個微小的面積，則這個微小的面積上可以認(rèn)為只受到一個集中力的作用。用該力除以面積并取極限，這就意味著一個點(diǎn)受力的緊張程度，這個極限稱為應(yīng)力（圖2-1）。顯然，應(yīng)力表達(dá)了當(dāng)桿件受力以后，一個點(diǎn)的緊張程度。當(dāng)這個應(yīng)力達(dá)到某種程度，而超過了材料所允許的程度后，構(gòu)件就會首先從這個點(diǎn)開始斷裂，然后裂紋產(chǎn)生，并向周圍擴(kuò)展，直到整個構(gòu)件被破壞。上面定義的應(yīng)力顯然是一個矢量，它的方向由P決定，而P可以取空間的任意方向。為了便于研究，我們把這個應(yīng)力向垂直于截面和在平面內(nèi)兩個方向分解，得到兩個應(yīng)力分量。垂直于截面的那個應(yīng)力分量我們稱為正應(yīng)力，記做；而在截面內(nèi)的那個應(yīng)力分量我們稱為切應(yīng)力，記做（圖2-2）。下面我們會發(fā)現(xiàn)，對于不同的變形而言，有的截面上只有正應(yīng)力，而有的只有切應(yīng)力，而有的同時有二者。首先考慮拉伸的應(yīng)力。如圖3所示，圖3中的上圖是用截面法后的圖形，右邊截面上的內(nèi)力是FN,該內(nèi)力是由很多正應(yīng)力合成的?？梢酝茢?，在該截面上，正應(yīng)力均勻分布（見圖3-中圖），這樣，正應(yīng)力乘以面積就得到內(nèi)力，從而可以得出應(yīng)力的公式（見圖3-下圖）。從該公式可以知道，截面上內(nèi)力越大，而截面積越小，則正應(yīng)力越大，而且正應(yīng)力在面上是均勻分布的。接下來考慮扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力。由圖4的右上方扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力圖，知道截面上只有一個扭矩存在。該截面的右視圖見圖4-中圖。該截面的扭矩顯然是由截面內(nèi)的應(yīng)力合成的。而截面內(nèi)的應(yīng)力只能是切應(yīng)力。那么這些切應(yīng)力在截面內(nèi)還是均勻分布的嗎？經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)并非如此。實(shí)際上，從中心往外走，應(yīng)力越來越大，到外圓處達(dá)到最大，而且切應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。經(jīng)過比較復(fù)雜的推導(dǎo)，得到切應(yīng)力的公式見圖3-右下公式。從該公式可以看到，截面上每點(diǎn)的切應(yīng)力與該截面的扭矩MT成正比。扭矩越大，則分布在該截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力越大；是該點(diǎn)到圓心的距離。距離越遠(yuǎn)，則應(yīng)力越大；Ip-是極慣性矩，它是表達(dá)截面的慣性的一個幾何量，純粹由截面的幾何形狀和尺寸所決定。該量越大，就意味著截面的慣性越大，越是不容易變形。對于圓形截面而言，極慣性矩完全由圓的直徑D所確定（圖3-右下公式）。接下來的剪切應(yīng)力比較簡單。圖5-右上圖是其內(nèi)力圖。該截面投影的右視圖見圖5-中圖。這是一個圓形，截面內(nèi)存在一個合力FQ.同樣，這個合力一定是截面內(nèi)分布的切應(yīng)力的合作用效果。那么，在該截面內(nèi)部，切應(yīng)力是怎么分布的呢？經(jīng)過研究，可以認(rèn)為，該截面內(nèi)部，切應(yīng)力是均勻分布的。其公式件圖5-右下公式?？梢?，切應(yīng)力與該截面內(nèi)的剪力成正比，而與截面積成反比。最后來到彎曲。圖6-上圖是用截面法求一個截面的內(nèi)力（左面是截面）。該截面上本來是有一個剪力和彎矩的。經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，剪力所起的作用很小，所以這里忽略，只考慮彎矩。顯然，該彎矩是由很多垂直于截面的正應(yīng)力合成的。那么，這些正應(yīng)力在該截面上是均勻分布的嗎？經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，并非如此。實(shí)際上，該桿的中間有一個平面，截面上沒有正應(yīng)力。而往上走，應(yīng)力越來越大，而且所有的正應(yīng)力方向都指向截面內(nèi)部，這種正應(yīng)力是壓應(yīng)力。而從中面往下走，應(yīng)力也越來越大，而所有的應(yīng)力都離開截面向外，稱為拉應(yīng)力。而且還發(fā)現(xiàn)，每個點(diǎn)的應(yīng)力與距中面的距離成正比。經(jīng)過一系列復(fù)雜的推導(dǎo)，最后得到圖6-正下的彎曲正應(yīng)力公式。該公式中的M就是截面內(nèi)的彎矩，而Y是某點(diǎn)到中面的距離，IZ是截面的慣性矩。該慣性矩也是由截面的幾何性質(zhì)唯一的確定的，對于矩形截面，其公式見圖6-右下公式?？梢姡搼T性矩與截面的寬度成正比，而與高度的三次方成正比。所以，截面的高度對慣性矩影響很大。從彎曲正應(yīng)力公式（圖6-正下公式）可以知道，截面上的彎矩越大，則正應(yīng)力越大；而某點(diǎn)到中面的距離越遠(yuǎn)，則應(yīng)力越大；截面的慣性矩越大，則相應(yīng)的各個點(diǎn)的正應(yīng)力越小?？傊覀兛梢钥吹?，應(yīng)力表達(dá)了受力桿件內(nèi)某一個點(diǎn)的力集中程度。為便于研究，我們把應(yīng)力分為正應(yīng)力和切應(yīng)力。對于拉伸和彎曲而言，截面上是正應(yīng)力；對扭轉(zhuǎn)和剪切而言，截面上是切應(yīng)力。就分布而言，拉伸和剪切時，截面上應(yīng)力均勻分布；對于扭轉(zhuǎn)和彎曲而言，越往外，應(yīng)力越大?？梢?，在任何一種情況下，桿件的表面都是最危險的。所以，為了增加桿件的強(qiáng)度，我們都會進(jìn)行表面改性，例如淬火，正火，滲碳，滲氮等，以加強(qiáng)表面的強(qiáng)度。這篇文章舉一個強(qiáng)度問題的例子，說明在設(shè)計(jì)實(shí)踐中，材料力學(xué)如何用來求解強(qiáng)度問題。如圖1所示的外伸梁，長 6米，截面為正方形，其寬度和高度都是200毫米。外伸梁上作用一個10KN/m的分布載荷和20KN的集中載荷如圖。該梁的許用應(yīng)力是20MPa.試確定該梁的強(qiáng)度是否合格。首先計(jì)算支座B和D處的反作用力。這樣繪制受力圖如圖2所示。由于該梁處于平衡狀態(tài)，因此它應(yīng)該滿足一個物體的三個平衡方程：水平方向上所有力相加為零；豎直方向上所有力相加為零；以及所有力對任何一個點(diǎn)取矩之和為零。由于圖2中只有兩個未知數(shù)，這里根據(jù)實(shí)際情況，只列出兩個方程。求解上面兩個方程，得到如下結(jié)果把這兩個結(jié)果替代圖2中的兩個未知力，得到圖3.現(xiàn)在，需要根據(jù)進(jìn)行梁內(nèi)部截面的內(nèi)力分析。根據(jù)前面內(nèi)力篇中的截面法，對各個截面列出方程，然后繪制出內(nèi)力圖如圖4所示。圖4 的最上面圖來自于圖3的拷貝，根據(jù)這張圖，得到的中間圖是彎曲內(nèi)力的剪力圖，最下面這張是彎矩圖。我們最關(guān)心的是彎矩圖。對于這張圖，我們可以看到，從A到B截面，彎矩的絕對值在逐漸的增加到20KNM，而后從B到C ,彎矩的絕對值首先減小到零，然后又增加到10KN.M,到C截面后，接著彎矩又開始減小，到D截面時，彎矩減小到零。這樣，我們可以明白，這根梁最危險的截面是B截面，其上的彎矩是20KNM，這就是我們關(guān)注的焦點(diǎn)，稱之為危險截面。現(xiàn)在我們來到這個危險截面，從前面的彎曲應(yīng)力公式我們知道，這個截面上不同的點(diǎn)，其應(yīng)力是不一樣的，越往中面的上下走，應(yīng)力越大，到表面達(dá)到最大。我們要考察最外面應(yīng)力到底有多大。根據(jù)公式代入這的具體數(shù)據(jù)，即最大彎矩是20KNM，YMAX是截面高度的一半，而IZ由截面的幾何性質(zhì)完全確定，得到從而我們可以知道因此，該最危險點(diǎn)的應(yīng)力是小于許用應(yīng)力的。所以該梁的強(qiáng)度是安全的。所謂安全，就是說，這根梁是不會斷裂，或者不會發(fā)生很大的塑性變形。上述例子是材料力學(xué)理論最重要的應(yīng)用。它是用來計(jì)算該梁是否安全，是強(qiáng)度問題的一種類型。實(shí)際上，有三種常見的強(qiáng)度問題。第一種，強(qiáng)度的校核。已知梁的尺寸及受力，要考察它是否安全，上述例子就是如此。第二種，截面的設(shè)計(jì)。給定了梁的長度及受力，要設(shè)計(jì)一下它的截面尺寸。對于該問題，方法與上面的求解過程類似，只不過截面尺寸成為未知數(shù)。第三種，計(jì)算許用載荷。給定了梁的長度截面，要考察它上面可以承受多大的力，才不至于發(fā)生斷裂或者過大的塑性變形。計(jì)算方法也與上面的過程類似。實(shí)際上，三種強(qiáng)度問題的求解步驟都是四步：第一步，外力分析。根據(jù)受力平衡把支座的反作用力求出來。第二部，內(nèi)力分析。計(jì)算截面的內(nèi)力把內(nèi)力圖繪制出來，從而找到危險截面。第三步，應(yīng)力分析。把危險截面上最危險點(diǎn)的應(yīng)力求出來，這步只需要代入應(yīng)力公式。第四步，強(qiáng)度的校核或計(jì)算。根據(jù)得到的危險應(yīng)力，與許用應(yīng)力相比較；如果沒有超過許用應(yīng)力，就算合格。如果超過了，則梁很危險，需要重新設(shè)計(jì)。材料力學(xué)研究三大問題：強(qiáng)度問題，剛度問題和穩(wěn)定性問題。上篇對強(qiáng)度問題做了一個簡要的小結(jié)，而本篇則對剛度問題做個迅速的小結(jié)。所謂剛度，是指物體抵抗變形的一種能力。而剛度問題，是說希望某結(jié)構(gòu)在受力以后變形不要超過某個許可值。比如下圖所示的鉆床，在鉆孔時