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6.2 不等式的證明(一)知識(shí)梳理1.均值定理:a+b2;ab()2(a、bR+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2.比較法:ab0ab,ab0ab.3.作商法:a0,b0,1ab.特別提示1.比較法證明不等式是不等式證明的最基本的方法.作差后需要判斷差的符號(hào),作差變形的方向常常是因式分解后,把差寫成積的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用條件,若1不能推出ab.這里要注意a、b兩數(shù)的符號(hào).點(diǎn)擊雙基1.若a、b是正數(shù),則、這四個(gè)數(shù)的大小順序是A.B.C.D.解析:可設(shè)a=1,b=2,則=,=,=,=.答案:C2.設(shè)0x1,則a=x,b=1+x,c=中最大的一個(gè)是A.aB.bC.cD.不能確定解析:0x1,1+x2=.只需比較1+x與的大小.1+x=0,1+x.答案:C3.若a、b、c是常數(shù),則“a0且b24ac0”是“對(duì)任意xR,有ax2+bx+c0”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件必要條件解析:當(dāng)a0,b24ac0時(shí),ax2+bx+c0.反之,ax2+bx+c0對(duì)xR成立不能推出a0,b24ac0.反例:a=b=0,c=2.故選A.答案:A4.(理)已知|a+b|c(a、b、cR),給出下列不等式:abc;ab+c;abc;|a|b|c;|a|b|c.其中一定成立的不等式是_.(把成立的不等式的序號(hào)都填上)解析:|a+b|c,ca+bc.b+cabc.故成立,不成立.|a+b|c,|a+b|a|b|,|a|b|c.|a|b|c.故成立,不成立.答案:(文)若a、bR,有下列不等式:a2+32a;a2+b22(ab1);a5+b5a3b2+a2b3;a+2.其中一定成立的是_.解析:a2+32a=(a1)2+20,a2+32a;a2+b22a+2b+2=(a1)2+(b+1)20,a2+b22(ab1);a5+b5a3b2a2b3=a3(a2b2)+b3(b2a2)=(a2b2)(a3b3)=(a+b)(ab)2(a2+ab+b2).(ab)20,a2+ab+b20,但a+b符號(hào)不確定,a5+b5a3b2+a2b3不正確;aR時(shí),a+2不正確.答案:5.船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的平均速度v1和在靜水中的速度v2的大小關(guān)系為_.解析:設(shè)甲地至乙地的距離為s,船在靜水中的速度為v2,水流速度為v(v2v0),則船在流水中在甲乙間來回行駛一次的時(shí)間t=+=,平均速度v1=.v1v2=v2=0,v1v2.答案:v1v2典例剖析【例1】 設(shè)a0,b0,求證:()()a+b.剖析:不等式兩端都是多項(xiàng)式的形式,故可用比差法證明或比商法證明.證法一:左邊右邊()0.原不等式成立.證法二:左邊0,右邊0,1.原不等式成立.評(píng)述:用比較法證不等式,一般要經(jīng)歷作差(或商)、變形、判斷三個(gè)步驟.變形的主要手段是通分、因式分解或配方.在變形過程中,也可利用基本不等式放縮,如證法二.下面的例3則是公式法與配方法的綜合應(yīng)用.【例2】 已知a、b、x、yR+且,xy.求證:.剖析:觀察待證不等式的特征,用比較法或分析法較適合.證法一:(作差比較法)=,又且a、bR+,ba0.又xy0,bxay.0,即.證法二:(分析法)x、y、a、bR+,要證,只需證明x(y+b)y(x+a),即證xbya.而由0,ba0.又xy0,知xbya顯然成立.故原不等式成立.思考討論該例若用函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)如何構(gòu)造函數(shù)?解法一:令f(x)=,易證f(x)在(0,+)上為增函數(shù),從而.再令g(x)=,易證g(x)在(0,+)上單調(diào)遞減.,a、bR+.ab.g(a)g(b),即,命題得證.解法二:原不等式即為,為此構(gòu)造函數(shù)f(x)=,x(0,+).易證f(x)在(0,+)上為單調(diào)增函數(shù),而,即.【例3】 某食品廠定期購(gòu)買面粉.已知該廠每天需用面粉6 t,每噸面粉的價(jià)格為1800元,面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元,購(gòu)面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.(1)求該廠多少天購(gòu)買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少?(2)若提供面粉的公司規(guī)定:當(dāng)一次購(gòu)買面粉不少于210 t時(shí),其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠(即原價(jià)的90%),問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件?請(qǐng)說明理由.解:(1)設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購(gòu)買一次面粉,其購(gòu)買量為6x t,由題意知,面粉的保管等其他費(fèi)用為36x+6(x1)+62+61=9x(x+1).設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1元,則y1=9x(x+1)+900+61800=+9x+108092+10809=10989.當(dāng)且僅當(dāng)9x=,即x=10時(shí)取等號(hào),即該廠應(yīng)每隔10天購(gòu)買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少.(2)若廠家利用此優(yōu)惠條件,則至少每隔35天,購(gòu)買一次面粉,平均每天支付的總費(fèi)用為y2元,則y2=9x(x+1)+900+618000.90=+9x+9729(x35).令f(x)=x+(x35),x2x135,則f(x1)f(x2)=(x1+)(x2+)=x2x135,x2x10,x1x20,100x1x20.f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2),即f(x)=x+,當(dāng)x35時(shí)為增函數(shù).當(dāng)x=35時(shí),f(x)有最小值,此時(shí)y210989.該廠應(yīng)該接受此優(yōu)惠條件.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.設(shè)x0,y0,且xy(x+y)=1,則A.x+y2+2B.x+y2+2C.x+y(+1)2D.x+y(+1)2解析:x0,y0,xy()2.由xy(x+y)=1得()2(x+y)1.x+y2+2.答案:B2.已知x、yR,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,則M與N的大小關(guān)系是A.MNB.MNC.M=ND.不能確定解析:MN=x2+y2+1(x+y+xy)=(x2+y22xy)+(x22x+1)+(y22y+1)=(xy)2+(x1)2+(y1)20.答案:A3.設(shè)a0,b0,a2+=1,則a的最大值是_.解析:a2+=1a2+=.a=a=.答案:4.若記號(hào)“”表示求兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算,即ab=,則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“”和“+”,且對(duì)于任意3個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c都能成立的一個(gè)等式可以是_.解析:ab=,ba=,ab+c=ba+c.答案:ab+c=ba+c.思考:對(duì)于運(yùn)算“”分配律成立嗎?即a(b+c)=ab+ac.答案:不成立5.當(dāng)mn時(shí),求證:m3m2n3mn22m2n6mn2n3證明:(m3m2n3mn2)(2m2n6mn2n3)m33m2n3mn2n3(mn)3,又mn,mn0.(mn)30,即(m3m2n3mn2)(2m2n6mn2n3)0.故m3m2n3mn22m2n6mn2n36.已知a1,0,求證:loga(a+)loga+(a+2).證明:loga(a+)log(a+)(a+2)=a1,0,lga0,lg(a+2)0,且lgalg(a+2).lgalg(a+2)()2=22=lg2(a+).0.loga(a+)log(a+)(a+2).培養(yǎng)能力7.已知x0,y0,若不等式+m恒成立,求實(shí)數(shù)m的最小值.分析:+m恒成立,m恒成立.m的最小值就是的最大值.解:+m恒成立,m恒成立.x0,y0,=.=.m的最小值為.評(píng)述:分離參數(shù)法是求參數(shù)的范圍問題常用的方法,化歸是解這類問題常用的手段.8.有點(diǎn)難度喲!求證:在非RtABC中,若ab,ha、hb分別表示a、b邊上的高,則必有a+hab+hb.證明:設(shè)S表示ABC的面積,則S=aha=bhb=absinC.ha=bsinC,hb=asinC.(a+ha)(b+hb)=a+bsinCbasinC=(ab)(1sinC).C,1sinC0.(ab)(1sinC)0.a+hab+hb.探究創(chuàng)新9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)x=0的兩根x1、x2滿足1x1x2.(1)當(dāng)x(0,x1)時(shí),證明xf(x)x1;(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱,求證x0.證明:(1)令F(x)=f(x)x,x1、x2是方程f(x)x=0的根,F(xiàn)(x)=a(xx1)(xx2).當(dāng)x(0,x1)時(shí),由于x1x2,(xx1)(xx2)0.又a0,得F(x)=a(xx1)(xx2)0,即xf(x).又x1f(x)=x1x+F(x)=x1x+a(x1x)(xx2)=(x1x)1+a(xx2),0xx1x2,x1x0,1+a(xx2)=1+axax21ax20,x1f(x)0,即f(x)x1.綜上,可知xf(x)x1.(2)由題意知x0=.x1、x2是方程f(x)x=0的根,即x1、x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根,x1+x2=.x0=.又ax21,x0=.思悟小結(jié)1.比較法有兩種形式:一是作差,二是作商.用作差法證明不等式是證明不等式中最基本、最常用的方法.它的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì).2.步驟是:作差(商)變形判斷.變形的目的是為了判斷.若是作差,就判斷與0的大小關(guān)系,為了便于判斷,往往把形式變?yōu)榉e或完全平方式.若是作商,兩邊為正,就判斷與1的大小關(guān)系.3.有時(shí)要先對(duì)不等式作等價(jià)變形再進(jìn)行證明,有時(shí)幾種證明方法綜合使用.4.在應(yīng)用均值定理求最值時(shí),要把握定理成立的三個(gè)條件,就是“一正各項(xiàng)均為正;二定積或和為定值;三相等等號(hào)能否取得”.若忽略了某個(gè)條件,就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.在證明不等式的各種方法中,作差比較法是一種最基本、最重要的方法,它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來證明不等式,其應(yīng)用非常廣泛,一定要熟練掌握.2.對(duì)于公式a+b2,ab()2要講清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系,兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和a+b的轉(zhuǎn)化關(guān)系.拓展題例【例1】設(shè)a、bR,關(guān)于x的方程x2axb0的實(shí)根為、.若ab1,求證:1,1.證法一:a,b,ab1.1,(1)(1)0.1.同理,1.證法二:設(shè)f(x)=x2axb,則有f(1)1ab1(ab)110,f(1)1ab1(ab)0.0a1,1a1.方程f(x)0的兩實(shí)根在(1,1)內(nèi),即1,1.評(píng)述:證法一先利用韋達(dá)定理,再用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)恰好
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