五年級奧數(shù)春季班第1講-勾股定理.docx

第一講 勾股定理模塊1、常見勾股數(shù)及輔助線例1（1）如圖，下列未知邊的長度分別是 、 、 。（2）如圖，下列圖形的面積分別是 、 、 。 解：（1）應(yīng)用勾股定理：第1個直角三角形中兩條直角邊分別是3和4，所以斜邊長為5；第2個直角三角形中斜邊長為13，一條直角邊長為5，所以另一條直角邊的長為12；第3個直角三角形中，斜邊長為25，一條直角邊長為24，所以另一條直角邊的長為7。（2）第1個直角三角形的斜邊長為10，一條直角邊長為8，另一條直角邊長為6，所以三角形的面積是；第2個直角三角形的斜邊長為1.3，一條直角邊長為1.2，另一條直角邊長為0.5，所以三角形的面積是；第3的圖形中，小直角三角形的兩條直角邊分別為2和1.5，它的面積是S1=1.5，斜邊長為2.5，大直角三角形的斜邊是6.5，一條直角邊長為2.5，所以另一條直角邊長為6，面積S2=，于是面積等于S1+S2=9.例2（1）如左圖，梯形的周長為 ，面積為 ；如右圖，梯形的周長為 ，面積為 ； （2）下圖的梯形ABCD的對角線AC和BD相互垂直，已知AD=3，AC=9，BD=12，則BC的長度為 。解：（1）如圖，平移得到直角三角形，斜邊為20，一條直角邊長為12，所以另一條直角邊長為16，于是周長=20+10+16+22=68，面積=；第2個圖中，做出兩條高線，得到兩個直角三角形，求得兩條直角邊長分別為0.5，0.9，于是梯形的下底長為0.5+0.6+0.9=2，梯形的周長=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面積=。（2）如圖平移AC到DE，連結(jié)CE，CE=AD=3，DE=AC=9，在直角三角形BDE中，BD=12，DE=9，所以斜邊BE=15，解得BC=BECE=153=12。模塊2、勾股定理及其重要模型例3（1）以直角三角形ABC的三邊向外做三個正方形，正方形內(nèi)的數(shù)代表正方形的面積，求未知正方形的面積為 。（2）下面的圖形是以直角三角形ABC的三邊為直徑向外做半圓得到，半圓內(nèi)的數(shù)表示所在半圓的面積，求未知半圓的面積為 。解：（1）AB2=3，BC2=14，所以AC2=3+14=17；（2）最小的半圓面積等于r12=7，第二個半圓面積等于r22=15， 所以最大的半圓的面積等于(r12+r22)=7+15=22.例4（1）下圖是由兩個直角三角形構(gòu)成，求問號處的邊長是 。（2）下圖是由一個兩條直角邊長都是1的直角三角形向外做直角三角形得到的，形成一共一個美麗的螺旋圖案，第8個直角三角形的斜邊長是 ；如果一直螺旋下去，第 個直角三角形的斜邊長是10.解：（1）由勾股定理，下面的直角三角形的兩條直角邊長分別為1、2，斜邊的平方=1+4=5，這樣上面的直角三角形的兩條直角邊的平方分別是5、4，它們的和等于9，所以問號處的邊長等于3.（2）最小的直角三角形的斜邊長的平方,等于2，第2個直角三角形的斜邊的平方等于3，第3個直角三角形的斜邊的平方等于4，第8個直角三角形的斜邊的平方等于9，斜邊長等于3，第n個直角三角形的斜邊的平方等于102=100，所以這是第99個直角三角形。例5（1）某直角三角形三條邊長都是整數(shù)，其中一條直角邊長是8，求另外兩條邊的長度分別為 和 。（2）某直角三角形的一條直角邊長為6，周長是15，求它的面積為 。（3）如圖，長方形ABCD的長是5，寬是1，現(xiàn)將長方形的右下角折到左上角，三角形ABM的面積是 。解：（1）設(shè)斜邊長為a，另一條直角邊的長為b，所以a2b2=64，得64=(a+b)(ab)，64=26，又a+b、ab都是整數(shù)，且a+b與ab同奇同偶，所以可以是，或，解得或。（2）直角三角形的一條直角邊長為6，周長是15，設(shè)斜邊為a，則另一條直角邊是9a，得，解得a=6.5，9a=2.5，所以三角形的面積=；（3）設(shè)BM=a，MC=5a，AM=MC=5a，在直角三角形ABM中，有勾股定理得AM2=AB2+BM2，得，解得a=2.4，所以三角形ABM的面積=。模塊3 有趣的路徑問題例6（1）如圖是一個鐵絲圍成的長方體鐵架，長、寬、高分別為7厘米、2厘米、3厘米，一只螞蟻在A點，螞蟻需要爬到B點處，如果只能沿著長方體的棱爬，最短路徑是 厘米。（2）如圖是一個長方體木塊，長、寬、高分別為9厘米、7厘米、5厘米，一只蜘蛛在A點蜘蛛需要爬到B點，如果只能沿著長方體木塊的表面爬，最短路徑為 厘米。解：（1）7+3+2=12厘米；（2）有三種路線，分別是7+=10.6；2+=2+9.6；3+=3+10.28；所以最短路徑為9.6厘米。隨 堂 測 試1下圖是一個長方形點陣，相鄰兩點距離為1厘米，求圖中多邊形的周長為 厘米。解：如圖，連結(jié)兩條輔助線，把圖形分成一個小正方形和兩個直角三角形，小正方形的邊長為1，小直角三角形的斜邊長是5，大直角三角形的斜邊長是13，所以圖形的周長為5+2+1+13+13=34。2如圖是一個直角梯形ABCD，其中AD=4，AB=12，BC=9，求陰影三角形的周長為 。解：過D做DE垂直于BC，交BC于點E，則BE=4，EC=5，DE=AB=12，在直角三角形DEC中，斜邊DC=13，在直角三角形ABC中，AB=12，BC=9，所以斜邊AC=15，所以三角形ACD的周長是4+13+15=32。3下圖是由三個直角三角形組成的，求問號處的邊長為 。解：最下面的直角三角形的兩條直角邊長分別為1和6，所以它的斜邊長的平方等于1+36=37，中間的直角三角形的兩條直角邊的平方分別為16和37，它的斜邊的平方等于53，最上面的直角三角形的斜邊的平方是53，一條直角邊的平方等于4，所以另一條直角邊的平方等于534=49，于是這條直角邊的長度是7。4三角形ABC中，AD是一條高，分別以AB、BD、DC、CA為邊向外做正方形，一些正方形的面積已知，正方形內(nèi)的數(shù)代表正方形的面積，求問號處正方形的面積為 。解：由圖知AC的平方等于10，CD的平方等于6，所以AD的平方等于106=4， 問號處的正方形的面積等于BD2，BD2=AB2AD2=274=235如圖，一個直角三角形ABC的直角邊AB長為5，BC長為12，將直角折到斜邊上，即三角形ABD折到三角形AED的位置，求三角形DEC的面積為