2019-2020學(xué)年荊州中學(xué)、宜昌一中兩校高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019-2020學(xué)年湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中兩校高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】，故復(fù)數(shù)的虛部為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.2，若/,則（ ）A6B7C8D9【答案】B【解析】根據(jù)向量共線定理即可求解.【詳解】由/,且，則存在非零實(shí)數(shù)使得，即，解得，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量共線定理，需掌握向量共線定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.3橢圓的焦距為4，則的值為（ ）A12B4C12或4D10或6【答案】C【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為，則，由，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)， 即，解得 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，即，解得. 故或.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需熟記之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4曲線在點(diǎn)（1，）處的切線的傾斜角為（ ）ABCD【答案】D【解析】首先對函數(shù)求導(dǎo)，求出的值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】由，則，所以，所以切線的斜率為，由，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5已知，是相異兩平面；是相異兩直線，則下列命題中假命題的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】C【解析】在A中，由直線與平面垂直的判定定理可得真假；在B中，由平面與平面平行的判定定理可得真假；在C中，與平行或異面；在D中，由平面與平面垂直的判定定理可得真假【詳解】解：在A中：若，則由直線與平面垂直的判定定理得，故A正確；在B中：若，則由平面與平面平行的判定定理得，故B正確；在C中：若，則與平行或異面，故C錯(cuò)誤；在D中：若，則由平面與平面垂直的判定定理得，故D正確故選C【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用6數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的值為（ ）A6B12C2020D6060【答案】D【解析】根據(jù)題意判斷數(shù)列為等差數(shù)列，由函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系可得，再由等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前和的公式即可求解.【詳解】數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，又是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即是方程的兩個(gè)根，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差中項(xiàng)、函數(shù)與方程的關(guān)系、等差數(shù)列的性質(zhì)以及前和的公式，屬于基本知識的考查，屬于基礎(chǔ)題.7平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)和直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是（ ）A直線B橢圓C雙曲線D拋物線【答案】A【解析】根據(jù)已知判斷點(diǎn)A是否在直線上，即可結(jié)合拋物線的定義判斷正確選項(xiàng)，據(jù)此解答此題，此題屬于基礎(chǔ)題.【詳解】由題意，點(diǎn)在直線，即動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離與動(dòng)點(diǎn)到直線的距離相等，點(diǎn)滿足直線方程，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條過A與直線垂直的直線.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，需注意拋物線定義中滿足的條件，屬于基礎(chǔ)題.8過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別,為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的外接圓方程為（ ）ABCD【答案】A【解析】由題意知，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，此圓的直徑是，外接圓就是四邊形的外接圓.【詳解】由題意知，四邊形有一組對角都等于，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，此圓的直徑是，的中點(diǎn)為，四邊形的外接圓方程為，外接圓的方程為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，屬于基礎(chǔ)題.9已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，與直線相切于點(diǎn)，且，則的半徑為（ ）ABCD【答案】C【解析】依據(jù)圖像運(yùn)用拋物線的定義及直線與圓相切，可得，求出，進(jìn)而得到的半徑【詳解】如圖所示，連接，依題意，過點(diǎn)作軸，垂足為，在中，由拋物線定義可得，則，解得，故的半徑為，故選C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與圓相切，考查邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題10如圖，正方形沿對角線折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為( )A2BCD【答案】C【解析】設(shè)正方形邊長為，和的交點(diǎn)為，過作的平行線交于,則二面角就是，由平面平面，在中即可求解.【詳解】設(shè)正方形邊長為，和的交點(diǎn)為，過作的平行線交于,則二面角的平面角就是，因，且平面平面，所以，所以，即，所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查面面角，解題的關(guān)鍵是作出二面角，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.11在中，角所對的邊分別為，滿足，則的周長的最小值為( )A3BC4D【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理邊化角求出角，從而可求出，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理可得，所以，所以，即，在中，故， ，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，綜上的周長的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理以及基本不等式求最值，注意在利用基本不等式時(shí)需驗(yàn)證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.12已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，為雙曲線漸近線上一點(diǎn)，均位于第一象限，且，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D【答案】A【解析】設(shè)，則，由題設(shè)可得，解之得，故，又由可知點(diǎn)是中點(diǎn)，則，代入雙曲線方程可得，即，所以，應(yīng)選答案A。點(diǎn)睛：本題將向量與圓錐曲線的幾何性質(zhì)有機(jī)整合在一起，旨在檢測雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)、漸近線、離心率等幾何性質(zhì)。求解時(shí)充分借助題設(shè)條件，探求三點(diǎn)之間的關(guān)系，運(yùn)用代點(diǎn)法將點(diǎn)代入雙曲線方程建立關(guān)于離心率的方程，通過解方程使得問題獲解。二、填空題13如圖，已知平行四邊形中，,平面，且，則_.【答案】7【解析】由向量的加減運(yùn)算法則，可得，將其代入中計(jì)算；結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求出的值，進(jìn)而得出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，故答案為：【點(diǎn)睛】本題是一道有關(guān)向量的題目，解題的關(guān)鍵是掌握向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.14各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且，則的最小值為_.【答案】【解析】根據(jù)，且，求得，從而可得，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】，且， ，所以，數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，取等號，故的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、基本不等式求最值，注意在利用基本不等式時(shí)需驗(yàn)證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.15已知、為圓:上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，對于直線:上任-點(diǎn)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】由題意可求得，設(shè)到直線:的距離為，由已知可知，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，解得，其中，設(shè)到直線:的距離為，則，即，解得 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.16若點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，若直線、的傾斜角分別為、，則_.【答案】【解析】首先利用兩角和與差的公式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系將化簡成，然后設(shè)出點(diǎn)，求出直線、斜率，再將橢圓方程代入化簡即可求解.【詳解】由，設(shè)點(diǎn)，由，直線、的傾斜角分別為、，所以，所以，又可得，代入上式可得 ，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)、直線的斜率、兩角和與差的公式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題.三、解答題17若圓的方程為，中，已知, ,點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)（1）求中點(diǎn)的軌跡方程； （2）求面積的最小值【答案】（1）；（2）4【解析】（1）設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出，由相關(guān)點(diǎn)法即可求出點(diǎn)的軌跡方程； （2）利用兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)有，由得，即點(diǎn)的軌跡方程為.（2）計(jì)算得, 直線為,點(diǎn)到直線的距離,點(diǎn)到直線的最小距離為 .【點(diǎn)睛】本題考查了相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)的軌跡方程、點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.18設(shè)向量，其中為銳角.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）1【解析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合為銳角即可求解.（2）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可得，再由同角三角函數(shù)的商的關(guān)系以及齊次式即可求解.【詳解】（1）由, 得, .（2）由得，即,原式=.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量共線的坐標(biāo)表示，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.19已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)在橢圓上，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及點(diǎn)到直線的距離公式即可求出，從而求得橢圓的方程；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出兩根之和、兩根之積，再由題意可得，將兩根之和、兩根之積代入即可求解.【詳解】（1）點(diǎn)到直線的距離為,得，由得,橢圓的方程為.（2）聯(lián)立，設(shè),得, ,由題意可知：，即,即,得,代入解得即為所求.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.20如圖，在四棱錐中，平面平面，,，分別為的中點(diǎn).（）證明：平面平面；（）若，（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（）見解析；（）（1）；（2）【解析】（）證出，利用面面平行的判斷定理即可證明.（）（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸,軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法向量、平面的一個(gè)法向量，利用法向量的數(shù)量積求出二面角的夾角.（2）由平面的法向量，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】（）連接為等邊三角形，為的中點(diǎn)，,平面，,又平面，平面，平面,分別為的中點(diǎn)，,又平面平面，平面.又平面，平面平面.（）（1）連接，平面平面，平面平面，平面，平面.又兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸,軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，由，得，取,，由，得，取，平面與平面成銳二的余弦值為（2）面的法向量為,.【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的判定定理、空間向量在求二面角、點(diǎn)到面的距離中的應(yīng)用，屬于中檔題.21已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，,.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，對任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在請說明理由【答案】（1）證明見解析，；（2）存在，【解析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可得，再由等比數(shù)列的定義即可證出，利用為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而可求得. （2）利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求出，進(jìn)而求出的最小值，根據(jù)的通項(xiàng)公式求出的最小值，由即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí), , ，.數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列.當(dāng)時(shí)，, , .（2）,假設(shè)存在實(shí)數(shù)，對任意函數(shù)，有， , ，即為所求【點(diǎn)睛】本題考查了與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.22已知拋物線，過點(diǎn)分別作斜率為，的拋物線的動(dòng)弦、，設(shè)、分別為線段、的中點(diǎn)（1）若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）若，求證直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)【答案】（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)【解析】（1）設(shè)，利用“點(diǎn)