2019-2020學(xué)年荊州中學(xué)、宜昌一中兩校高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁
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2019-2020學(xué)年湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中兩校高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的虛部為( )ABCD【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算以及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】,故復(fù)數(shù)的虛部為,故選:C【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.2,若/,則( )A6B7C8D9【答案】B【解析】根據(jù)向量共線定理即可求解.【詳解】由/,且,則存在非零實數(shù)使得,即,解得,所以.故選:B【點睛】本題考查了空間向量共線定理,需掌握向量共線定理的內(nèi)容,屬于基礎(chǔ)題.3橢圓的焦距為4,則的值為( )A12B4C12或4D10或6【答案】C【解析】由橢圓的標準方程即可求解.【詳解】因為雙曲線的焦距為,則,由,當(dāng)焦點在軸上時, 即,解得 當(dāng)焦點在軸上時,即,解得. 故或.故選:C【點睛】本題考查了橢圓的標準方程,需熟記之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.4曲線在點(1,)處的切線的傾斜角為( )ABCD【答案】D【解析】首先對函數(shù)求導(dǎo),求出的值,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】由,則,所以,所以切線的斜率為,由,所以,故選:D【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計算以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、傾斜角與斜率的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.5已知,是相異兩平面;是相異兩直線,則下列命題中假命題的是()A若,則B若,則C若,則D若,則【答案】C【解析】在A中,由直線與平面垂直的判定定理可得真假;在B中,由平面與平面平行的判定定理可得真假;在C中,與平行或異面;在D中,由平面與平面垂直的判定定理可得真假【詳解】解:在A中:若,則由直線與平面垂直的判定定理得,故A正確;在B中:若,則由平面與平面平行的判定定理得,故B正確;在C中:若,則與平行或異面,故C錯誤;在D中:若,則由平面與平面垂直的判定定理得,故D正確故選C【點睛】本題考查命題真假的判斷,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用6數(shù)列滿足,是數(shù)列的前項和,是函數(shù)的兩個零點,則的值為( )A6B12C2020D6060【答案】D【解析】根據(jù)題意判斷數(shù)列為等差數(shù)列,由函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系可得,再由等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前和的公式即可求解.【詳解】數(shù)列滿足,數(shù)列為等差數(shù)列,又是函數(shù)的兩個零點,即是方程的兩個根,故選:D【點睛】本題主要考查了等差中項、函數(shù)與方程的關(guān)系、等差數(shù)列的性質(zhì)以及前和的公式,屬于基本知識的考查,屬于基礎(chǔ)題.7平面直角坐標系內(nèi),到點和直線距離相等的點的軌跡是( )A直線B橢圓C雙曲線D拋物線【答案】A【解析】根據(jù)已知判斷點A是否在直線上,即可結(jié)合拋物線的定義判斷正確選項,據(jù)此解答此題,此題屬于基礎(chǔ)題.【詳解】由題意,點在直線,即動點到點A的距離與動點到直線的距離相等,點滿足直線方程,所以動點的軌跡是一條過A與直線垂直的直線.故選:A【點睛】本題考查了拋物線的定義,需注意拋物線定義中滿足的條件,屬于基礎(chǔ)題.8過點作圓的兩條切線,切點分別,為坐標原點,則的外接圓方程為( )ABCD【答案】A【解析】由題意知,四邊形的四個頂點在同一圓上,此圓的直徑是,外接圓就是四邊形的外接圓.【詳解】由題意知,四邊形有一組對角都等于,四邊形的四個頂點在同一圓上,此圓的直徑是,的中點為,四邊形的外接圓方程為,外接圓的方程為.故選:A【點睛】本題考查了圓的標準方程,需熟記圓的標準方程的形式,屬于基礎(chǔ)題.9已知拋物線的焦點為,準線為,點在拋物線上,與直線相切于點,且,則的半徑為( )ABCD【答案】C【解析】依據(jù)圖像運用拋物線的定義及直線與圓相切,可得,求出,進而得到的半徑【詳解】如圖所示,連接,依題意,過點作軸,垂足為,在中,由拋物線定義可得,則,解得,故的半徑為,故選C【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì),直線與圓相切,考查邏輯推理,數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng),屬于中檔題10如圖,正方形沿對角線折疊之后,使得平面平面,則二面角的余弦值為( )A2BCD【答案】C【解析】設(shè)正方形邊長為,和的交點為,過作的平行線交于,則二面角就是,由平面平面,在中即可求解.【詳解】設(shè)正方形邊長為,和的交點為,過作的平行線交于,則二面角的平面角就是,因,且平面平面,所以,所以,即,所以,故選:C【點睛】本題主要考查面面角,解題的關(guān)鍵是作出二面角,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.11在中,角所對的邊分別為,滿足,則的周長的最小值為( )A3BC4D【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理邊化角求出角,從而可求出,然后利用基本不等式即可求解.【詳解】因為,根據(jù)正弦定理可得,所以,所以,即,在中,故, ,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,綜上的周長的最小值為.故選:D【點睛】本題主要考查正弦定理以及基本不等式求最值,注意在利用基本不等式時需驗證等號成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.12已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上一點,為雙曲線漸近線上一點,均位于第一象限,且,則雙曲線的離心率為( )A B C D【答案】A【解析】設(shè),則,由題設(shè)可得,解之得,故,又由可知點是中點,則,代入雙曲線方程可得,即,所以,應(yīng)選答案A。點睛:本題將向量與圓錐曲線的幾何性質(zhì)有機整合在一起,旨在檢測雙曲線的標準方程與焦點、漸近線、離心率等幾何性質(zhì)。求解時充分借助題設(shè)條件,探求三點之間的關(guān)系,運用代點法將點代入雙曲線方程建立關(guān)于離心率的方程,通過解方程使得問題獲解。二、填空題13如圖,已知平行四邊形中,,平面,且,則_.【答案】7【解析】由向量的加減運算法則,可得,將其代入中計算;結(jié)合向量的數(shù)量積的運算,即可求出的值,進而得出的值.【詳解】因為,所以,因此,故答案為:【點睛】本題是一道有關(guān)向量的題目,解題的關(guān)鍵是掌握向量的數(shù)量積公式,屬于基礎(chǔ)題.14各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足,且,則的最小值為_.【答案】【解析】根據(jù),且,求得,從而可得,然后利用基本不等式即可求解.【詳解】,且, ,所以,數(shù)列的各項均為正數(shù), 當(dāng)且僅當(dāng)時,即,取等號,故的最小值為.故答案為:【點睛】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、基本不等式求最值,注意在利用基本不等式時需驗證等號成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.15已知、為圓:上的兩個動點,且,點為線段的中點,對于直線:上任-點,都有,則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】由題意可求得,設(shè)到直線:的距離為,由已知可知,利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得,解得,其中,設(shè)到直線:的距離為,則,即,解得 故答案為:【點睛】本題考查了點到直線的距離公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.16若點是橢圓上任意一點,點分別為橢圓的上下頂點,若直線、的傾斜角分別為、,則_.【答案】【解析】首先利用兩角和與差的公式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系將化簡成,然后設(shè)出點,求出直線、斜率,再將橢圓方程代入化簡即可求解.【詳解】由,設(shè)點,由,直線、的傾斜角分別為、,所以,所以,又可得,代入上式可得 ,故答案為:【點睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)、直線的斜率、兩角和與差的公式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系,綜合性比較強,屬于中檔題.三、解答題17若圓的方程為,中,已知, ,點為圓上的動點(1)求中點的軌跡方程; (2)求面積的最小值【答案】(1);(2)4【解析】(1)設(shè),根據(jù)中點坐標公式得出,由相關(guān)點法即可求出點的軌跡方程; (2)利用兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式即可求解.【詳解】(1)設(shè)有,由得,即點的軌跡方程為.(2)計算得, 直線為,點到直線的距離,點到直線的最小距離為 .【點睛】本題考查了相關(guān)點法求點的軌跡方程、點斜式方程、兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.18設(shè)向量,其中為銳角.(1)若,求的值;(2)若,求的值.【答案】(1);(2)1【解析】(1)利用向量數(shù)量積的坐標運算以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,結(jié)合為銳角即可求解.(2)根據(jù)向量共線的坐標表示可得,再由同角三角函數(shù)的商的關(guān)系以及齊次式即可求解.【詳解】(1)由, 得, .(2)由得,即,原式=.【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算以及向量共線的坐標表示,考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.19已知橢圓:的左右焦點分別是,點在橢圓上,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓相交于、兩點,求實數(shù),使得以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點【答案】(1);(2)【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義以及點到直線的距離公式即可求出,從而求得橢圓的方程;(2)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理求出兩根之和、兩根之積,再由題意可得,將兩根之和、兩根之積代入即可求解.【詳解】(1)點到直線的距離為,得,由得,橢圓的方程為.(2)聯(lián)立,設(shè),得, ,由題意可知:,即,即,得,代入解得即為所求.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及標準方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查了學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.20如圖,在四棱錐中,平面平面,,,分別為的中點.()證明:平面平面;()若,(1)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;(2)求點到平面的距離.【答案】()見解析;()(1);(2)【解析】()證出,利用面面平行的判斷定理即可證明.()(1)以為坐標原點,分別為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標系,分別求出平面的一個法向量、平面的一個法向量,利用法向量的數(shù)量積求出二面角的夾角.(2)由平面的法向量,根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】()連接為等邊三角形,為的中點,,平面,,又平面,平面,平面,分別為的中點,,又平面平面,平面.又平面,平面平面.()(1)連接,平面平面,平面平面,平面,平面.又兩兩互相垂直.以為坐標原點,分別為軸,軸,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.,則,設(shè)平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,由,得,取,,由,得,取,平面與平面成銳二的余弦值為(2)面的法向量為,.【點睛】本題考查了面面平行的判定定理、空間向量在求二面角、點到面的距離中的應(yīng)用,屬于中檔題.21已知數(shù)列的前項和為,,.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;(2)是否存在實數(shù),對任意,不等式恒成立?若存在,求出的取值范圍,若不存在請說明理由【答案】(1)證明見解析,;(2)存在,【解析】(1)根據(jù)與的關(guān)系可得,再由等比數(shù)列的定義即可證出,利用為等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式求出,進而可求得. (2)利用等比數(shù)列的前項和公式,求出,進而求出的最小值,根據(jù)的通項公式求出的最小值,由即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時, , ,.數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列.當(dāng)時,, , .(2),假設(shè)存在實數(shù),對任意函數(shù),有, , ,即為所求【點睛】本題考查了與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的前項和公式,考查了分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.22已知拋物線,過點分別作斜率為,的拋物線的動弦、,設(shè)、分別為線段、的中點(1)若為線段的中點,求直線的方程;(2)若,求證直線恒過定點,并求出定點坐標【答案】(1);(2)證明見解析,定點【解析】(1)設(shè),利用“點

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