重慶市北碚區(qū)2020屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)試題 Word版含答案

絕密啟用前（2020年1月15日15：00-17：00）北碚區(qū)高2020屆普通高等學(xué)校招生第一次診斷性考試數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘；分?jǐn)?shù)：150分注意：本試卷包含、兩卷。第卷為選擇題，所有答案必須用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無(wú)效，不予記分。一、選擇題1. 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn) A. 橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)8個(gè)單位長(zhǎng)度B. 橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度C. 橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度D. 橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)8個(gè)單位長(zhǎng)度2. 已知集合A=0,1，B=z|z=x+y,xA,yA，則B的子集個(gè)數(shù)為A. 3B. 4C. 7D. 83. 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,12)，則sin(32+)的值等于 A. -513B. -1213C. 513D. 12134. 函數(shù)f(x)=2x+log2|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A. 0B. 1C. 2D. 35. 若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在區(qū)間(-,1上遞減，則a的取值范圍為()A. 1,2)B. 1,2C. 1,+)D. 2,+)6. 若cos=45，是第三象限的角，則1+tan21tan2=()A. 12B. 12C. 2D. 27. 已知函數(shù)f(x)=exxmx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若f(x)0在(0,+)上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. (,2)B. (,e24)C. (,e)D. (e24,+)8. 非零向量a，b滿足；|ab|=|a|，a(ab)=0，則ab與b夾角的大小為()A. 135B. 120C. 60D. 459. 古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問(wèn)題：將一線段AB分為兩線段AC，CB，使得其中較長(zhǎng)的一段AC是全長(zhǎng)AB與另一段CB的比例中項(xiàng)，即滿足ACAB=BCAC=5120.618.后人把這個(gè)數(shù)稱為黃金分割數(shù)，把點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn)在ABC中，若點(diǎn)P，Q為線段BC的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在APQ內(nèi)的概率為()A. 512B. 52C. 514D. 52210. 在ABC中，AB=3AC=6，tanA=3，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE=3，記ADE，四邊形BCED的面積分別為S1，S2，則S1S2的最大值為()A. 14B. 38C. 13D. 51211. 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若 1/，f(0)=2018，則不等式exf(x)ex+2017(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)的解集為()A. (,0)(0,+)B. (,0)(2017,+)C. (2017,+)D. (0,+)12. 已知ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且|CP|=3，則PC(PA+PB)的取值范圍是()A. 0,12B. 0,32C. 0,6D. 0,3二、填空題13. 已知實(shí)數(shù)a0，b0，2是8a與2b的等比中項(xiàng)，則1a+2b的最小值是_14. 已知函數(shù)，關(guān)于x的方程fx=mmR有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1,x2,x3,x4，則x1x2x3x4的取值范圍為_15. 如圖，AB是圓O的直徑，C、D是圓O上的點(diǎn)，CBA=60，ABD=45，CD=xOA+yBC，則x+y=_16. 已知點(diǎn)A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的動(dòng)點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，且平面PBC平面ABC，BC=3，PB=22，PC=5，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為_三、解答題17. 等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，2a5，a4，4a6成等差數(shù)列，且滿足a4=4a32求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn=an+1(1an)(1an+1)，nN，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn18. 如圖，四棱錐PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn)，且PA=AD(1)求證：AF/平面PEC；(2)求證：平面PEC平面PCD19. 已知直線l的參數(shù)方程為x=1+ty=3+2t(t為參數(shù)，曲線C的極坐標(biāo)方程為sin216cos=0，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1,3)，(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)求1PA+1PB的值20. 已知函數(shù)f(x)=3sin2x+2sin2x.求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；將函數(shù)f(x)的圖象向左平移12個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)x6,3時(shí)，求函數(shù)g(x)的值域21. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距為2，離心率為22，橢圓的右頂點(diǎn)為A(1)求該橢圓的方程：(2)過(guò)點(diǎn)D(2,2)作直線PQ交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，求證：直線AP，AQ的斜率之和為定值22. 如圖所示，直角梯形ABCD中，AD/BC，ADAB，AB=BC=2AD=2，四邊形EDCF為矩形，CF=3，平面EDCF平面ABCD求證：DF/平面ABE；求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值；在線段DF上是否存在點(diǎn)P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為34，若存在，求出線段BP的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和函數(shù)y=Asin(x+)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題由可得解【解答】解：將函數(shù)y=2cos(2x4)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到，再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到的圖象故選B2.【答案】D【解析】【分析】本題考查了集合的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，若集合有n個(gè)元素，其子集有2n個(gè)先求出集合B中的元素，從而求出其子集的個(gè)數(shù)【解答】解：由題意可知，集合B=z|z=x+y,xA,yA=0,1，2，則B的子集個(gè)數(shù)為：23=8個(gè)故選D3.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，求得sin(32+)的值【解答】解：角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,12)，則sin(32+)=cos=(513)=513故選C4.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題由題意可得，本題即求函數(shù)y=2x的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論【解答】解：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)y=2x的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)如圖所示：數(shù)形結(jié)合可得，函數(shù)y=2x的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選C5.【答案】A【解析】解：令u=x22ax+1+a，則f(u)=lgu，配方得u=x22ax+1+a=(xa)2a2+a+1，故對(duì)稱軸為x=a，如圖所示：由圖象可知，當(dāng)對(duì)稱軸a1時(shí)，u=x22ax+1+a在區(qū)間(,1上單調(diào)遞減，又真數(shù)x22ax+1+a0，二次函數(shù)u=x22ax+1+a在(,1上單調(diào)遞減，故只需當(dāng)x=1時(shí)，若x22ax+1+a0，則x(,1時(shí)，真數(shù)x22ax+1+a0，代入x=1解得a0，且函數(shù)u=x22ax+1+a在區(qū)間(,1上應(yīng)單調(diào)遞減，這樣復(fù)合函數(shù)才能單調(diào)遞減本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性遵從同增異減的原則6.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查三角恒等變換中的倍角公式的靈活運(yùn)用、同角的三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)以及相應(yīng)的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題將欲求式1+tan21tan2中的正切化成正余弦，還要注意條件中的角與待求式中角的差別，注意消除它們之間的不同【解答】解：由cos=45，是第三象限的角，可得sin=35，則1+tan21tan2=cos2+sin2cos2sin2=1+sincos=13545=12，故選A7.【答案】B【解析】解：若f(x)0在(0,+)上恒成立，則m0)，h(x)=ex(x2)x3，令h(x)0，解得：x2，令h(x)0，解得：0x2，故h(x)在(0,2)遞減，在(2,+)遞增，故h(x)min=h(2)=e24，故me24，故選：B問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m0)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題8.【答案】A【解析】【分析】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握向量數(shù)量積的計(jì)算公式根據(jù)題意，設(shè)a=OA，b=OB，則ab=OAOB=BA，結(jié)合題意分析可得OAB為等腰直角三角形，結(jié)合向量夾角的定義分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)a=OA，b=OB，則ab=OAOB=BA，若|ab|=|a|，a(ab)=0，即|BA|=|OA|，且OABA，則OAB為等腰直角三角形，則ab與b的夾角為18045=135，故選：A9.【答案】B【解析】【分析】本題考查了閱讀能力及幾何概型中的面積型，屬中檔題先閱讀題意，理解“黃金分割”，再結(jié)合幾何概型中的面積型可得：BQ=512a，CP=512a，所以PQ=BQ+CPBC=(52)a，SAPQ：SABC=PQ：BC=(52)a：a=52，則在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在APQ內(nèi)的概率為SAPQSABC=52，得解【解答】解：設(shè)BC=a，由點(diǎn)P，Q為線段BC的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，所以BQ=512a，CP=512a，所以PQ=BQ+CPBC=(52)a，SAPQ：SABC=PQ：BC=(52)a：a=52，由幾何概型中的面積型可得：在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在APQ內(nèi)的概率為，故選B10.【答案】C【解析】【分析】本題考查三角形的面積計(jì)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題可設(shè)AD=x，AE=y，利用余弦定理與基本不等式求解【解答】解：由題意可知A=120，SABC=1226sin120=33設(shè)AD=x(0x6)，AE=y(0g(0)可解得【解答】解：令g(x)=exf(x)ex，則g(x)=exf(x)+exf(x)ex=ex(f(x)+f(x)1)，f(x)+f(x)1，f(x)+f(x)10，g(x)0，g(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，g(0)=f(0)1=20181=2017原不等式可化為g(x)g(0)，根據(jù)g(x)的單調(diào)性得x0故選D12.【答案】A【解析】【分析】本題考查向量的數(shù)量積，輔助角公式，三角函數(shù)圖像與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題根據(jù)要求畫出草圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)出P的坐標(biāo)，顯然P在以C為圓心，半徑為3的圓上，用三角函數(shù)表示P點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出PB,PA,PC的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算，借助輔助角公式，三角函數(shù)圖像與性質(zhì)寫出范圍【解答】解：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，故A(1,3)，C(2,0)，設(shè)P(x,y)，因?yàn)閨CP|=3，所以x22+y2=3，令則，所以PC(PA+PB)，因?yàn)?，所以，即PC(PA+PB)的取值范圍為0,12，故選A13.【答案】5+26【解析】【分析】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、乘1法與基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題實(shí)數(shù)a0，b0，2是8a與2b的等比中項(xiàng)，8a2b=2，可得3a+b=1.再利用乘法與基本不等式的性質(zhì)即可得出【解答】解：實(shí)數(shù)a0，b0，2是8a與2b的等比中項(xiàng)，8a2b=2，23a+b=2，解得3a+b=1，則1a+2b=(3a+b)(1a+2b)=5+ba+6ab5+2ba6ab=5+26，當(dāng)且僅當(dāng)b=6a=62，a=363時(shí)取等號(hào)故答案為：5+2614.【答案】(0,1)【解析】【分析】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程的根，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題作函數(shù)的圖象，從而可得x3x4=1，推出x1x2的范圍即可求解結(jié)果【解答】解：作函數(shù)的圖象如下，設(shè)直線y=m與f(x)的圖象的從左到右的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x4，則x1x20x3x4結(jié)合圖象可知，log2x3=log2x4，所以x3x4=1，令x22x=0得，x=0或x=2，令x22x=1得，x=1，所以x1+x2=2,x1x20，2a5，a4，4a6成等差數(shù)列，2a4=2a5+4a6，2a4=2a4(q+2q2)，化為：2q2+q1=0，q0，解得q=12，又滿足a4=4a32，a1q3=4(a1q2)2，化為：1=4a1q，解得a1=12，an=(12)n(nN*)；)bn=an+1(1an)(1an+1)=2n(2n1)(2n+11)=12n112n+11，nN*，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn=(1211221)+(12211231)+(12n112n+11)=112n+11，nN*【解析】本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題設(shè)等比數(shù)列an的公比為q0，由2a5，a4，4a6成等差數(shù)列，可得2a4=2a5+4a6，化為：2q2+q1=0，q0，解得q.又滿足a4=4a32，化為：1=4a1q，解得a1，可得an；)bn=an+1(1an)(1an+1)=2n(2n1)(2n+11)=12n112n+11，nN*，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出18.【答案】證明：(1)取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG，F(xiàn)G為CDP的中位線，F(xiàn)G/CD，F(xiàn)G=12CD四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，AE/CD，AE=12CDFG=AE，F(xiàn)G/AE，四邊形AEGF是平行四邊形，AF/EG又EG平面PEC，AF平面PEC，AF/平面PEC；(2)PA=AD，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，AFPD，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又因?yàn)镃DAD，APAD=A，AP，AD平面APD，CD平面APD，AF平面APD，CDAF，又AFPD，且PDCD=D，PD，CD平面PDC，AF平面PDC，由(1)得EG/AF，EG平面PDC，又EG平面PEC，平面PEC平面PCD【解析】本題主要考查了空間線面平行、面面垂直的判定，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題(1)取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG，AF/EG又EG平面PEC，AF平面PEC，AF/平面PEC；(2)由(1)得EG/AF，只需證明AF平面PDC，即可得到平面PEC平面PCD19.【答案】解：(1)直線l的參數(shù)方程為x=1+ty=3+2t(t為參數(shù)，消去參數(shù)，可得直線l的普通方程y=2x+1，曲線C的極坐標(biāo)方程為sin216cos=0，即2sin2=16cos，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=16x；(2)直線l的參數(shù)方程改寫為為參數(shù)，代入y2=16x，得，設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則【解析】本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題(1)利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程即可；(2)直線的參數(shù)方程改寫為為參數(shù)，代入y2=16x，利用參數(shù)的幾何意義求1|PA|+1|PB|的值20.【答案】解：f(x)=3sin2x+2sin2x=3sin2x+1cos2x=2(32sin2x12cos2x)+1=2sin(2x6)+1由2+2k2x62+2k，kZ，解得6+kx3+k,kZ函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為6+k,3+k，kZ；將函數(shù)f(x)的圖象向左平移12個(gè)單位，得y=2sin2(x+12)6+1=2sin2x+1，再向下平移1個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)=2sin2x，由x6,3，得2x3,23，sin2x32,1，則函數(shù)g(x)的值域?yàn)?,2.【解析】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin(x+)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬中檔題利用倍角公式降冪后再由兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求得x的取值范圍，可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；由函數(shù)的伸縮和平移變換求得g(x)的解析式，結(jié)合x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)g(x)的值域21.【答案】解：(1)由題意可知：橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)，焦點(diǎn)在x軸上，2c=2，c=1，橢圓的離心率e=ca=22，則a=2，b2=a2c2=1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x22+y2=1；(2)證明：設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，A(2,0)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=2與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意由題意PQ的方程：y=k(x2)2，則聯(lián)立方程y=k(x2)2x22+y2=1,整理得：(2k2+1)x2(42k2+42k)x+4k2+8k+2=0，由韋達(dá)定理可知：x1+x2=42k2+42k2k2+1，x1x2=4k2+8k+22k2+1，則y1+y2=k(x1+x2)22k22=2222k2k2+1，則kAP+kAQ=y1x12+y2x22=y1x2+y2x12(y1+y2)x1x22(x1+x2)+2，由y1x2+y2x1=k(x12)2x2+k(x22)2x1=2kx1x2(2k+2)(x1+x2)=4k2k2+1，kAP+kAQ=y1x2+y2x12(y1+y2)x1x22(x1+x2)+2=4k2k2+122222k2k2+14k2+8k+22k2+1242k2+42k2k2+1+2=1，直線AP，AQ的斜率之和為定值1【解析】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓位置關(guān)系，韋達(dá)定理及直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題(1)由題意可知2c=2，c=1，離心率e=ca，求得a=2，則b2=a2c2=1，即可求得橢圓的方程；(2)則直線PQ的方程：y=k(x2)2，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，分別求得直線AP，AQ的斜率，即可證明直線AP，AQ的斜率之和為定值22.【答案】解：證明：四邊形EDCF為矩形，DECD，平面EDCF平面ABCD，平面EDCF平面ABCD=CD，DE平面ABCD由題意，以D為原點(diǎn)