2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章坐標(biāo)系3柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系學(xué)案北師大版選修4_4.docx

3柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫空間中點(diǎn)的位置的方法(重點(diǎn))2.理解柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)的互化關(guān)系與公式(重點(diǎn))3.體會(huì)空間直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置的方法的區(qū)別(易錯(cuò)易混點(diǎn))教材整理1柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系1柱坐標(biāo)系如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)M(x，y，z)為空間一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)M在xOy平面上的投影點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(r，)，則這樣的三個(gè)數(shù)r，z構(gòu)成的有序數(shù)組(r，z)就叫作點(diǎn)M的柱坐標(biāo)，這里規(guī)定r，z的變化范圍為0r，02，z.特別地，r常數(shù)，表示的是以z軸為軸的圓柱面；常數(shù)，表示的是過z軸的半平面；z常數(shù)，表示的是與xOy平面平行的平面2球坐標(biāo)系設(shè)M(x，y，z)為空間一點(diǎn)，點(diǎn)M可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r，來確定，其中r為原點(diǎn)O到點(diǎn)M間的距離，為有向線段O與z軸正方向所夾的角，為從z軸正半軸看，x軸正半軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到有向線段O的角，這里P為點(diǎn)M在xOy平面上的投影(如圖)這樣的三個(gè)數(shù)r，構(gòu)成的有序數(shù)組(r，)叫作點(diǎn)M的球坐標(biāo)，這里r，的變化范圍為0r，0，02.特別地，r常數(shù)，表示的是以原點(diǎn)為球心的球面；常數(shù)，表示的是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，z軸為軸的圓錐面；常數(shù)，表示的是過z軸的半平面判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)都是有序數(shù)組，但意義不同()(2)在柱坐標(biāo)系M(r，z)中，表示OM與y軸所成的角()(3)球坐標(biāo)中，r表示OM的長度()解析(1)柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)都是有序數(shù)組，但意義不同(2)表示OM與x軸所成的角(3)球坐標(biāo)中r表示OM的長度答案(1)(2)(3)教材整理2空間中點(diǎn)的坐標(biāo)之間的變換公式設(shè)空間一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，柱坐標(biāo)為(r，z)，球坐標(biāo)為(r，)，則空間直角坐標(biāo)柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系(x，y，z)填空：(1)柱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)是_(2)球坐標(biāo)的直角坐標(biāo)是_解析(1)x2cos 1，y2sin ，z1.所以的直角坐標(biāo)是(1，1)(2)x4sin cos ，y4sin sin ，z4cos 2.的直角坐標(biāo)是(，2)答案(1)(1, ，1)(2)(， ，2)把點(diǎn)的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)【例1】根據(jù)下列點(diǎn)的柱坐標(biāo)，分別求直角坐標(biāo)(1)；(2).精彩點(diǎn)撥嘗試解答設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y，z)(1)(r，z)，(，1,3)為所求(2)(r，z)，(1,1,5)為所求點(diǎn)(r，z)是三維空間坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面xOy內(nèi)實(shí)際為極坐標(biāo)系，且r0,02，在豎直方向上，z為任意實(shí)數(shù)化點(diǎn)的柱坐標(biāo)(r，z)為直角坐標(biāo)(x，y，z)，需要運(yùn)用公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的求值與運(yùn)算即得1將下列各點(diǎn)的柱坐標(biāo)分別化為直角坐標(biāo)(1)；(2)(1，0)解設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，(1)(r，z)，(，1,1)為所求(2)(r，z)(1，0)，(1,0,0)為所求.把點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)【例2】把下列各點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)(1)；(2).精彩點(diǎn)撥嘗試解答設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，(1)(r，)，(1，1，)為所求(2)(r，)，為所求首先要明確點(diǎn)的球坐標(biāo)(r，)中角，的邊與數(shù)軸Oz，Ox的關(guān)系，注意各自的限定范圍，即0，02.化點(diǎn)的球坐標(biāo)(r，)為直角坐標(biāo)(x，y，z)，需要運(yùn)用公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的求值與運(yùn)算2將下列各點(diǎn)的球坐標(biāo)分別化為直角坐標(biāo)(1)；(2)(3，)解設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y，z)(1)(r，)，為所求(2)(r，)(3，)，(0,0，3)為所求.化點(diǎn)的坐標(biāo)為柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)探究問題1空間中點(diǎn)的坐標(biāo)有三種形式：直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)，它們各有何特點(diǎn)？提示設(shè)空間中點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，柱坐標(biāo)為(r，z)，球坐標(biāo)為(r，)，它們都是有序數(shù)組，但意義不同直角坐標(biāo)為三個(gè)實(shí)數(shù)；柱坐標(biāo)分別表示距離、角、實(shí)數(shù)；球坐標(biāo)分別表示距離、角、角2在空間的柱坐標(biāo)系中，方程rr0(r0為不等于0的常數(shù))，0，zz0分別表示什么圖形？提示在空間的柱坐標(biāo)系中，方程rr0表示中心軸為z軸，底半徑為r0的圓柱面，它是上述圓周沿z軸方向平行移動(dòng)而成的方程0表示與zOx坐標(biāo)面成0角的半平面方程zz0表示平行于xOy坐標(biāo)面的平面，如圖所示常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱坐標(biāo)系的三族坐標(biāo)面【例3】已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，以Ax為極軸，求點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)以及球坐標(biāo)精彩點(diǎn)撥先求C1的直角坐標(biāo)，再根據(jù)柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，求得其柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)嘗試解答點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1)設(shè)點(diǎn)C1的柱坐標(biāo)為(r，z)，球坐標(biāo)為(r，)，其中r0，r0,0，02.由公式及得及得及結(jié)合圖形，得，由cos 得tan .所以點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，柱坐標(biāo)為，球坐標(biāo)為，其中tan ，0.化點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x，y，z)為柱坐標(biāo)(r，z)或球坐標(biāo)(r，)，需要對(duì)公式以及進(jìn)行逆向變換，得到以及提醒：在由三角函數(shù)值求角時(shí)，要結(jié)合圖形確定角的范圍再求值3已知點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為，求M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的柱坐標(biāo)解M的直角坐標(biāo)為M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，1，1)(1，1，1)的柱坐標(biāo)為：2(1)2(1)22，.tan 1，又x0，y0，y0，柱坐標(biāo)為.答案5已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為，點(diǎn)B的球坐標(biāo)為，求這