平行線的證明

1、平行線的判斷公理：同位角相等，兩直線平行 定理：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 推理：平行于同一直線的兩直線平行； 垂直于同一直線的兩直線平行2、平行線的特征公理：兩直線平行，同位角相等 定理：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)典題精煉1、定義與命題【例 1 】下列語(yǔ)句是命題的是（）a 作直線 ab 的垂線b在線段ab 上取點(diǎn) cc 同旁內(nèi)角互補(bǔ)d 垂線段最短嗎？【變式練習(xí)1】下列語(yǔ)句不是命題的是（）a 相等的角不是對(duì)頂角b兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等c 兩點(diǎn)之間線段最短d 過(guò)點(diǎn) o 作線段 mn 的垂線【變式練習(xí)2】下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）a 所有的定義都是命題b所有的定理都是命題c 所有的公理都是命題d 所有的命題都是定理【例 2 】下列命題中，屬于假命題的是（）a 若 a c ，b c ，則 ab b 若 ab ，bc，則 a c c 若 a c，b c ，則 abd 若 ac， ba ，則 b c【變式練習(xí)1】“一次函數(shù)y=kx-2 ，當(dāng) k0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大”是一個(gè) 命題（填“真”或“假）”【變式練習(xí)2】下列命題為假命題的是（）a 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180 b 三角形兩邊之和大于第三邊c 三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方d 三角形的面積等于一條邊的長(zhǎng)與該邊上的高的乘積的一半【例 3 】命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的題設(shè)是（）a 垂直b兩條直線c 同一條直線d兩條直線垂直于同一條直線【變式練習(xí)1】把“同旁內(nèi)角互補(bǔ)， 兩直線平行”寫(xiě)成“如果，那么”【變式練習(xí)2】在abc 和def 中，a= d，cm 、fn 分別是 ab 、de 邊上的中線，再?gòu)囊韵氯齻€(gè)條件 ab=de ， ac=df ， cm=fn中任取兩個(gè)條件做為條件，另一個(gè)條件做為結(jié)論，能構(gòu)成一個(gè)真命題， 那么題設(shè)可以是，結(jié)論是（只填序號(hào)）【例 4 】對(duì)于命題“如果1+2=90 ，那么1 2 ”，能說(shuō)明它是假命題的反例是（）a 1=50 ，2=40 b1=50 ，2=50 c 1= 2=45 d 1=40 ，2=40 【變式練習(xí)1】證明命題“若 x（ 1-x ） =0 ，則 x=0 ”是假命題的反例是【變式練習(xí)2】用反證法證明命題：如果ab cd ，ab ef ，那么 cd ef 證明的第一步應(yīng)是（）a 假設(shè) cd efb 假設(shè) cd 不平行于 efc 假設(shè) ab efd假設(shè) ab 不平行于ef【例 5 】下列說(shuō)法正確的是（）a 命題一定是正確的b 不正確 的判斷就不是命題c 真命題都是公理d定理都是真命題【變式練習(xí)1】“兩點(diǎn)之間線段最短”是（填“定義”或“公理”或“定）理”【變式練習(xí)2】“兩條直線相交成直角，就叫做兩條直線相互垂直”這句子是（）a 定義b 命題c公理d定理2、平行線的判定和性質(zhì)【例 1 】（ 2013 年遼寧撫順） 如圖， 直線 l1、l 2 被直線 l3、l 4 所截， 下列條件， 不能判斷直線l1 l 2 的是（）a 1= 3b5= 4c5+ 3=180 d 4+ 2=180 【變式練習(xí)1】（ 2013 年貴州銅仁）如圖，在下列條件中，能判斷ad bc 的是（）a dac= bcab dcb+ abc=180 cabd= bdcdbac= acd【變式練習(xí)2】如圖，給出了過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線的方法，其依據(jù)是（）a 同位角相等，兩直線平行b 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行c 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行d 兩直線平行，同位角相等【變式練習(xí)3】學(xué)習(xí)了平行線后，小敏想出了過(guò)己知直線外一點(diǎn)畫(huà)這條直線的平行線的新方法，她是通過(guò)折一張半透明的紙得到的（如圖（1 ）（ 4 ） ，從圖中可知，小敏畫(huà)平行線的依據(jù)有（）兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行a b cd【例 2 】（ 2013 年貴州遵義）如圖，直線l1l 2，若1=140 ，2=70 ，則3 的度數(shù)是（）a 60 b 65 c 70 d 80 【變式練習(xí)1】如圖，把矩形abcd 沿直線 ef 折疊，若 1=20 ，則2= （）a 20 b 40 c 70 d 80 【變式練習(xí)2】如圖， 將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合， 含 30 角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45 角的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則1 的度數(shù)是（）a 14 b 15 c 20 d 30 【例 3 】如圖，已知直線l1l2l3l4 ，相鄰兩條平行直線間的距離都是1 ，如果正方形abcd 的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則正方形abcd 的面積是【變式練習(xí)1】如圖，若ab cd ef gh ，oab= aog=108 ，ao oe， co og ，則ocd+ oef=（這里ocd ，oef 均小于 180 ）【變式練習(xí)2】已知射線ab 射線cd ，點(diǎn) e、f 分別在射線ab 、cd 上（ 1）如圖 1 ，點(diǎn) p 在線段 ef 上，若a=25 ，apc=70 時(shí)，則c=；（ 2）如圖 1 ，若點(diǎn) p 在線段 ef 上運(yùn)動(dòng)（不包括e 、f 兩點(diǎn)），則 a、apc 、c 之間的等量關(guān)系是，證明你的結(jié)論；（ 3）如圖2 ，若點(diǎn) p 在射線 fe 上運(yùn)動(dòng)（不包括線段ef ），則a 、apc 、c 之間的等量關(guān)系是；如圖3，若點(diǎn) p 在射線 ef 上運(yùn)動(dòng)（不包括線段ef ），則a 、apc 、c 之間的等量關(guān)系是【變式練習(xí)3】如圖，直線ac bd ，連接 ab ，直線 ac ，bd 及線段 ab 把平面分成、四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p 落在某個(gè)部分時(shí)，連接pa ， pb ，構(gòu)成pac ，apb ，pbd 三個(gè)角（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0角）（ 1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p 落在第部分時(shí)，求證：apb= pac+ pbd ；（ 2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p 落在第部分時(shí)， apb= pac+ pbd 是否成立？（直接回答成立或不成立）（ 3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p 落在第部分時(shí)，全面探究pac ，apb ，pbd 之間的關(guān)系，并寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)p 的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論選擇其中一種結(jié)論加以證明【變式練習(xí)2】如圖， ab ac ， cd 、be 分別是abc的角平分線， ag bc ， ag bg ，下列結(jié)論： bag=2 abf ； ba 平分cbg ；abg= acb ；cfb=135 其中正確的結(jié)論是（）ab cd 【變式練習(xí)3】如圖所示是d， e，f，g 四點(diǎn)在abc 邊上的位置根據(jù)圖中的符號(hào)和數(shù)據(jù)，求x+y 的值（）a 110b 120c 160d 165【例 2 】一副三角板有兩個(gè)直角三角形，如圖疊放在一起，則的度數(shù)是（）a 165 b 120 c 150 d 135 【變式練習(xí)1】如圖所示，l1 l 2，則下列式子中值為180 的是（）a bcd 【變式練習(xí)2】如圖，已知 abc 中，b= e=40 ，bae=60 ，且ad 平分bae （ 1）求證： bd=de ；（ 2）若 ab=cd ，求acd 的大小【 例 3 】如 圖 ：abc與 acg的 平 分 線 交 于 f 1 ；f 1bc與 f 1 cg的 平 分 線 交 于 f 2 ；f 2 bc與 f 2cg的 平 分 線 交 于 f 3 ； 如 此 下 去 ，探 究 fn與 a 的 關(guān) 系 （ n 為 自 然 數(shù) ） 【變式練習(xí)1】已知abc 中，bac=100 （ 1）若abc 和acb 的角平分線交于點(diǎn)o ，如圖 1 所示，試求 boc 的大??；（ 2）若abc 和acb 的三等分線（即將一個(gè)角平均分成三等分的射線）相交于o ，o 1，如圖 2 所示， 試求boc 的大小；（ 3）如此類(lèi)推，若 abc 和acb 的 n 等分線自下而上依次相交于o，o1 ，o2，如圖 3 所示，試探求boc 的大小與n 的關(guān)系，并判斷當(dāng) boc=170 時(shí)，是幾等分線的交線所成的角【變式練習(xí)2】如圖，在 abc 中， ad 平分bac ，p 為線段 ad 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，pe ad 交直線 bc 于點(diǎn)e（ 1）若b=35 ，acb=85 ，求e 的度數(shù)；（ 2）當(dāng) p 點(diǎn)在線段ad 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想 e 與b、acb 的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論無(wú)需證明4、培優(yōu)訓(xùn)練【例 1 】認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問(wèn)題1探究 1 ：如圖 1 ，在abc 中，o 是abc 與acb 的平分線bo 和 co 的交點(diǎn)， 分析發(fā)現(xiàn) boc=90 +2a，理由如下：bo 和 co 分別是abc ，acb 的角平分線1+ 2=11（abc+ acb ） =221（ 180 - a） =90 -a211boc=180 -（1+ 2）=180 - （90 -2a ） =90 +a2（ 1）探究 2 ：如圖 2 中， o 是abc 與外角acd 的平分線bo 和 co 的交點(diǎn)，試分析 boc 與a 有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由（ 2）探究 3 ：如圖 3 中， o 是外角dbc 與外角ecb 的平分線bo 和 co 的交點(diǎn)，則 boc 與a 有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論）（ 3）拓展：如圖4，在四邊形abcd 中， o 是abc 與dcb 的平分線bo 和 co 的交點(diǎn)，則 boc 與a+ d 有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論）（ 4）運(yùn)用：如圖5，五邊形abcde中，bcd 、edc 的外角分別是 fcd 、gdc ，cp 、dp 分別平分fcd 和gdc 且相交于點(diǎn)p ，若a=140 ，b=120 ，e=90 ，則cpd=度【例 2 】如圖，aob=90 ，點(diǎn)c、d 分別在射線oa、ob 上， ce 是acd 的平分線， ce 的反向延長(zhǎng)線與cdo 的平分線交于點(diǎn)f（ 1）當(dāng)ocd=50 （圖1 ），試求f （ 2）當(dāng) c 、d 在射線 oa 、ob 上任意移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)o 重合）（圖 2 ），f 的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，求出f【例 3 】如圖 1，直線 mn 與直線 ab 、cd 分別交于點(diǎn)e、f，1 與2 互補(bǔ)（ 1）試判斷直線ab 與直線 cd 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（ 2）如圖 2 ，bef 與efd 的角平分線交于點(diǎn)p ，ep 與 cd 交于點(diǎn) g，點(diǎn) h 是 mn 上一點(diǎn)， 且 gh eg ， 求證： pf gh ；（ 3）如圖 3 ，在（ 2 ）的條件下，連接ph ，k 是 gh 上一點(diǎn)使 phk= hpk ，作 pq 平分epk ，問(wèn)hpq 的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，說(shuō)明理由【例 4 】如圖， a 、b 兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)o 出發(fā)，點(diǎn)a 以每秒 x 個(gè)單位長(zhǎng)度沿x 軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)b 以每秒 y 個(gè)單位長(zhǎng)度沿y 軸的正方向運(yùn)動(dòng)（ 1）若 |x+2y 5|