菱形的性質(zhì)及判定

菱形的性質(zhì)及判定中考要求知識(shí)點(diǎn)菱形a要求會(huì)識(shí)別菱形b要求掌握菱形的概念、性質(zhì)和判定，會(huì)用菱形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題要求會(huì)用菱形的知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)睛1. 菱形的定義：2. 菱形的性質(zhì)菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形?還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)：邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且四邊相等角的性質(zhì)：鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)：對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角 對(duì)稱(chēng)性：菱形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形菱形的面積等于底乘以高，等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半點(diǎn)評(píng)：其實(shí)只要四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，其面積就等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半3菱形的判定判定 ：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 判定 ：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形 判定 ：四邊相等的四邊形是菱形-可編輯修改 -重、難點(diǎn)重點(diǎn)是菱形的性質(zhì)和判定定理。菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先她是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法。菱形的這些性質(zhì)和判定定理即是平行四邊形性質(zhì)與判定的延續(xù)，又是以后要學(xué)習(xí)的正方形的基礎(chǔ)。難點(diǎn)是菱形性質(zhì)的靈活應(yīng)用。由于菱形是特殊的平行四邊形，所以它不但具有平行四邊形的性質(zhì)， 同時(shí)還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)。如果得到一個(gè)平行四邊形是菱形，就可以得到許多關(guān)于邊、角、對(duì)角線(xiàn)的條件，在實(shí)際解題中， 應(yīng)該應(yīng)用哪些條件，怎樣應(yīng)用這些條件，常常讓許多學(xué)生手足無(wú)措，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)給予足夠重視。例題精講板塊一、菱形的性質(zhì)【例 1】 菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)將菱形分成全等三角形的對(duì)數(shù)為在平面上，一個(gè)菱形繞它的中心旋轉(zhuǎn)，使它和原來(lái)的菱形重合，那么旋轉(zhuǎn)的角度至少是【例 2】如圖 2，一活動(dòng)菱形衣架中，菱形的邊長(zhǎng)均為16cm 若墻上釘子間的距離1度abbc16cm ，則abc1圖2如圖，在菱形abcd 中， 的邊長(zhǎng)是 a60， e 、 f 分別是 ab 、 ad 的中點(diǎn)，若 efa2 ，則菱形 abcdefbdc【例 3】如圖， e 是菱形 abcd 的邊 ad 的中點(diǎn)， efac 于 h ，交 cb 的延長(zhǎng)線(xiàn)于f ，交 ab 于 p ， 證明： ab 與 ef 互相平分dehacpbf【例 4】 如圖 1 所示，菱形abcd 中，對(duì)角線(xiàn)ac 、 bd 相交于點(diǎn) o ， h 為 ad 邊中點(diǎn)，菱形abcd 的周長(zhǎng)為 24，則 oh 的長(zhǎng)等于ahbodc圖1【鞏固】 如圖，已知菱形abcd 的對(duì)角線(xiàn) ac8cm ，bd4cm ，debc 于點(diǎn) e ，則 de 的長(zhǎng)為【例 5】 菱形的周長(zhǎng)為20cm ，兩鄰角度數(shù)之比為2:1 ，則菱形較短的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為【鞏固】 如圖 2，在菱形abcd 中， ac6 ， bd8 ，則菱形的邊長(zhǎng)為（）a 5b 10c 6d 8adb圖2c【鞏固】 如圖 3，在菱形 abcd 中，fpc（）a110， e 、 f 分別是邊ab 和 bc 的中點(diǎn)， epcd 于點(diǎn) p ，則a 35b 45c 50d 55daepcbf圖3【例 6】如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，為了得到一個(gè)銳角為60 的菱形，剪口與折痕所成的角的度數(shù)應(yīng)為（）a 15 或 30b 30 或 45c 45 或 60d 30 或 60【鞏固】 菱形 abcd 中，e 、f 分別是 bc 、cd 的中點(diǎn)，且 aebc ，afcd ，那么eaf 等于222【鞏固】 如圖，將一個(gè)長(zhǎng)為10cm ，寬為 8cm 的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線(xiàn)（虛線(xiàn)）剪下，再打開(kāi)，得到的菱形的面積為（）a. 10cm 2b. 20cmc. 40cmd 80cmdac圖1b【例 7】已知菱形abcd 的兩條對(duì)角線(xiàn)ac ，bd 的乘積等于菱形的一條邊長(zhǎng)的平方，則菱形的一個(gè)鈍角的大小是【例 8】如圖，菱形花壇abcd 的周長(zhǎng)為 20m ， bd ，求兩條小路的長(zhǎng)和花壇的面積abc60 ，?沿著菱形的對(duì)角線(xiàn)修建了兩條小路ac 和abodc圖2【例 9】已知，菱形abcd 中， e 、 f 分別是 bc 、 cd 上的點(diǎn)，若aeafefab ，求c 的度數(shù)abdefc板塊二、菱形的判定【例 10】 如圖，如果要使平行四邊形abcd 成為一個(gè)菱形，需要添加一個(gè)條件，那么你添加的條件是adbc【例 11】 如圖，在abc 中， bd 平分abc ， bd 的中垂線(xiàn)交ab 于點(diǎn) e ，交 bc 于點(diǎn) f ，求證：四邊形 bedf 是菱形aedbfc【鞏固】 已知：如圖，平行四邊形abcd 的對(duì)角線(xiàn)ac 的垂直平分線(xiàn)與邊ad 、 bc 分別相交于e、 f .求證：四邊形afce 是菱形 .aed ob【例 12】 如圖，在梯形紙片abcd 中，fcad / / bc ， adcd ，將紙片沿過(guò)點(diǎn)d的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)c 落在ad 上的點(diǎn) c 處，折痕 de 交 bc于點(diǎn) e ，連結(jié) c e .求證：四邊形cdc e 是菱形acdbec【例 13】 如圖， e 是菱形 abcd 的邊 ad 的中點(diǎn)， efac 于 h ，交 cb 的延長(zhǎng)線(xiàn)于f ，交 ab 于 p ， 證明： ab 與 ef 互相平分aedaedppfbcfbc【鞏固】 已知：如圖，在平行四邊形abcd 中， ae 是 bc邊上的高，將abe 沿 bc 方向平移，使點(diǎn)e與點(diǎn) c 重合， 得gfc 若b證明你的結(jié)論60 ，當(dāng) ab 與 bc 滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形 abfg 是菱形？agdbefc【例 14】 如圖，在abc 中，abac ，m 是 bc 的中點(diǎn)分別作 mdab 于 d ，meac 于 e ，dfac于 f ， egab于 g df 、eg 相交于點(diǎn) p 求證：四邊形dmep 是菱形agpfdebmc【例 15】 如圖，abc 中，acb90，ad 是bac 的平分線(xiàn)， 交 bc 于 d ，ch 是 ab 邊上的高， 交 ad于 f ， deab于 e ，求證：四邊形cdef 是菱形cdfaheb【鞏固】 如圖， m 是矩形 abcd 內(nèi)的任意一點(diǎn)，將mab 沿 ad 方向平移，使ab 與 dc 重合，點(diǎn) m 移動(dòng)到點(diǎn) m 的位置畫(huà)出平移后的三角形；連結(jié)長(zhǎng)；md ，mc ，mm ，試說(shuō)明四邊形mdmc 的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，且長(zhǎng)度分別等于ab，ad 的當(dāng) m 在矩形內(nèi)的什么位置時(shí)，在上述變換下，四邊形mdmc 是菱形？為什么？admmbc三、與菱形相關(guān)的幾何綜合題【例 16】 已知等腰 abc 中， abac ， ad 平分bac 交 bc 于 d 點(diǎn)，在線(xiàn)段ad 上任取一點(diǎn)p （ a 點(diǎn)除外），過(guò)p 點(diǎn)作 ef ab ，分別交ac 、 bc 于 e 、 f 點(diǎn)，作 pm ac ，交 ab 于 m 點(diǎn)，連結(jié) me . 求證四邊形aepm 為菱形當(dāng) p 點(diǎn)在何處時(shí)，菱形aepm 的面積為四邊形efbm 面積的一半？cdepfabm課后練習(xí)1. 菱形周長(zhǎng)為52cm ，一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為10cm ，則其面積為2. 如圖，在菱形 abcd 中， ab的最小值為4a ，e 在 bc 上， be2a，bad120，p 點(diǎn)在 bd 上，則 pepcadpbec3. 已知菱形的一個(gè)內(nèi)角為60 ，一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為23 ，則另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為 4. 已知，菱形abcd中， e 、 f 分別是 bc、 cd 上的點(diǎn)，且cef 的度數(shù)beaf60 ，bae18求：adfbec5. 如圖，在abc 中， abac ，d 是 bc的中點(diǎn)， 連結(jié) ad ，在 ad 的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)e ，連結(jié) be ， ce 當(dāng) ae 與 ad 滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形abec 是菱形？并說(shuō)明理由badec6. 如圖，acd 、abe、bcf 均為直線(xiàn) bc 同側(cè)的等邊三角形已知abac 順次連結(jié) a 、 d 、