微分方程穩(wěn)定性PPT課件

數(shù)學(xué)建模 微分方程專題 part1 微分方程 在研究實(shí)際問題時(shí) 我們常常不能直接得出變量之間的關(guān)系 但卻能容易得出包含變量導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式 這就是微分方程 在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中 又有許多變量是離散變化的 如人口數(shù) 生產(chǎn)周期與商品價(jià)格等 而且離散的運(yùn)算具有可操作性 差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁 不管是微分方程還是差分方程模型 有時(shí)無法得到其解析解 必要時(shí) 可以利用計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解 既使得到其解析解 尚有未知參數(shù)需要估計(jì) 這時(shí)可利用第二章參數(shù)估計(jì)方法 而在實(shí)際問題中 討論問題的解的變化趨勢很重要 因此 以下只對(duì)其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性加以討論 一維微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 一階微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 易知x0也是方程 4 2 的平衡點(diǎn) 4 2 的通解為 關(guān)于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論 這個(gè)結(jié)論對(duì)于 4 1 也是成立的 一階微分方程模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 如果 則稱平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的 微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 下面給出判別平衡點(diǎn)P0是否穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則 設(shè) 則當(dāng)p 0且q 0時(shí) 平衡點(diǎn)P0是穩(wěn)定的 當(dāng)p 0或q 0時(shí) 平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的 微分方程組的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 穩(wěn)定性模型 建模目的是研究時(shí)間充分長以后過程的變化趨勢 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定 不求解微分方程 而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 再生資源 漁業(yè) 林業(yè)等 與非再生資源 礦業(yè)等 再生資源應(yīng)適度開發(fā) 在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益 問題及分析 在捕撈量穩(wěn)定的條件下 如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳 如果使捕撈量等于自然增長量 漁場魚量將保持不變 則捕撈量穩(wěn)定 背景 實(shí)例 捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 假設(shè) 無捕撈時(shí)魚的自然增長服從Logistic規(guī)律 單位時(shí)間捕撈量與漁場魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 r 固有增長率 N 最大魚量 h x Ex E 捕撈強(qiáng)度 x t 漁場魚量 產(chǎn)量模型 穩(wěn)定性判斷 x0穩(wěn)定 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1穩(wěn)定 漁場干枯 E 捕撈強(qiáng)度 r 固有增長率 產(chǎn)量模型 圖解法 P的橫坐標(biāo)x0 平衡點(diǎn) P的縱坐標(biāo)h 產(chǎn)量 產(chǎn)量最大 控制漁場魚量為最大魚量的一半 產(chǎn)量模型 最大產(chǎn)量 效益模型 假設(shè) 魚銷售價(jià)格p 單位捕撈強(qiáng)度費(fèi)用c 單位時(shí)間利潤 穩(wěn)定平衡點(diǎn) 求E使R E 最大 漁場魚量 收入T ph x pEx 支出S cE 對(duì)于k階差分方程 F n xn xn 1 xn k 0 4 6 若有xn x n 滿足 F n x n x n 1 x n k 0 則稱xn x n 是差分方程 4 6 的解 包含k個(gè)任意常數(shù)的解稱為 4 6 的通解 x0 x1 xk 1為已知時(shí)稱為 4 6 的初始條件 通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為 4 6 的特解 差分方程模型 若x0 x1 xk 1已知 則形如xn k g n xn xn 1 xn k 1 的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn) 若有常數(shù)a是差分方程 4 6 的解 即 F n a a a 0 則稱a是差分方程 4 6 的平衡點(diǎn) 又對(duì)差分方程 4 6 的任意由初始條件確定的解xn x n 都有xn a n 則稱這個(gè)平衡點(diǎn)a是穩(wěn)定的 差分方程模型 一階常系數(shù)線性差分方程xn 1 axn b 其中a b為常數(shù) 且a 1 0 的通解為xn C a n b a 1 易知b a 1 是其平衡點(diǎn) 由上式知 當(dāng)且僅當(dāng) a 1時(shí) b a 1 是穩(wěn)定的平衡點(diǎn) 差分方程模型 二階常系數(shù)線性差分方程xn 2 axn 1 bxn r 其中a b r為常數(shù) 當(dāng)r 0時(shí) 它有一特解x 0 當(dāng)r 0 且a b 1 0時(shí) 它有一特解x r a b 1 不管是哪種情形 x 是其平衡點(diǎn) 設(shè)其特征方程 2 a b 0的兩個(gè)根分別為 1 2 差分方程模型 當(dāng) 1 2是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí) 二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn x C1 1 n C2 2 n 當(dāng) 1 2 是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí) 二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn x C1 C2n n 則 差分方程模型 當(dāng) 1 2 cos isin 是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí) 二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn x n C1cosn C2sinn 易知 當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任一特征根 i 1時(shí) 平衡點(diǎn)x 是穩(wěn)定的 差分方程模型 對(duì)于一階非線性差分方程xn 1 f xn 其平衡點(diǎn)x 由代數(shù)方程x f x 解出 為分析平衡點(diǎn)x 的穩(wěn)定性 將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程 差分方程模型 問題 供大于求 現(xiàn)象 商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定 當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定 描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律 數(shù)量與價(jià)格在振蕩 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 xk 第k時(shí)段商品數(shù)量 yk 第k時(shí)段商品價(jià)格 消費(fèi)者的需求關(guān)系 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系 f與g的交點(diǎn)P0 x0 y0 平衡點(diǎn) 一旦xk x0 則yk y0 xk 1 xk 2 x0 yk 1 yk 2 y0 模型建立 設(shè)x1偏離x0 P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn) P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn) 蛛網(wǎng)模型 穩(wěn)定性分析 x1 曲線斜率 穩(wěn)定性分析 在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線 P0穩(wěn)定 P0不穩(wěn)定 方程模型 方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致 穩(wěn)定性分析 商品數(shù)量減少1單位 價(jià)格上漲幅度 價(jià)格上漲1單位 下時(shí)段 供應(yīng)的增量 消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度 生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度 小 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 xk 第k時(shí)段商品數(shù)量 yk 第k時(shí)段商品價(jià)格 結(jié)果解釋 1 使 盡量小 如 0 以行政手段控制價(jià)格不變 2 使 盡量小 如 0 靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變 結(jié)果解釋 政府干預(yù) 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量 生產(chǎn)者管理水平提高 設(shè)供應(yīng)函數(shù)為 需求函數(shù)不變 二階線性常系數(shù)差分方程 模型的推廣 方程通解 c1