遞推數(shù)列特征方程法

遞推數(shù)列特征方程一、問題的提出遞推(迭代)是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念和方法，遞推數(shù)列問題能力要求高，內(nèi)在聯(lián)系密切，蘊(yùn)含著不少精妙的數(shù)學(xué)思想和方法。在遞推數(shù)列中占有重要一席的斐波那契數(shù)列，又稱兔子數(shù)列，是學(xué)生非常樂意探討的遞推問題，許多學(xué)生都會(huì)不約而同地向教師提出，這個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式嗎？如有，怎樣求它的通項(xiàng)公式？筆者就曾碰到過一位喜愛鉆研的學(xué)生，帶著參考書上的解法而向我請(qǐng)教：已知斐波那契數(shù)列)，求通項(xiàng)公式。參考書上的解法是這樣的：解 此數(shù)列對(duì)應(yīng)特征方程為即，解得， 設(shè)此數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由初始條件可知， ，解之得，所以。這位學(xué)生坦率地表示，盡管參考書上介紹了利用特征方程求通項(xiàng)公式的一些結(jié)論，用上述方法得到的通項(xiàng)公式也是正確的，但他還是“看不懂”。換句話說，這種解法的依據(jù)是什么？特征方程是怎樣來的？我雖然深知這是特征方程惹的禍，但由于現(xiàn)行教材只字未提特征方程，我也從未在課堂上作過補(bǔ)充，如果將有關(guān)利用特征方程求遞推數(shù)列通項(xiàng)的一些結(jié)論直接呈現(xiàn)出來，或者以“高考不作要求”為由來搪塞，學(xué)生是難以接受的，也是不負(fù)責(zé)任的。面對(duì)一頭霧水的數(shù)學(xué)尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可貴品質(zhì)的同時(shí)，也在苦苦尋覓解答這一問題的良策。其后不久，一次偶然的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，竟使這一長(zhǎng)期困惑我們教學(xué)活動(dòng)的尷尬問題迎刃而解。二、研究與探索問題的解決源于對(duì)一階線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的探求：若數(shù)列滿足其通項(xiàng)公式的求法一般采用如下的參數(shù)法，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列：設(shè) ，令，即，當(dāng)時(shí)可得，知數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，將代入并整理，得.將上述參數(shù)法類比到二階線性遞推數(shù)列能得到什么結(jié)論？仿上，我們來探求數(shù)列的特征：不妨設(shè)，則, 令 （1） 若方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解,則, ,即、分別是公比為、的等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得, ,由上兩式消去可得.（2） 若方程組有兩組相等的解，易證此時(shí)，則，,即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，所以（限于學(xué)生知識(shí)水平，若方程組有一對(duì)共軛虛根的情況略）這樣，我們通過參數(shù)方法，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列，從而求得二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)，若將方程組消去即得，顯然、就是方程的兩根，我們不妨稱此方程為二階線性遞推數(shù)列的特征方程，于是我們就得到了散見于各種數(shù)學(xué)參考資料的如下結(jié)論：設(shè)遞推公式為其特征方程為，1、 若方程有兩相異根、，則；2、 若方程有兩等根，則.其中、可由初始條件確定。這正是特征方程法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的根源所在，令，就可求得斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)，真是“踏破鐵蹄無覓處，得來全不費(fèi)工夫”！將上述方法繼續(xù)類比到分式線性遞推數(shù)列（），看看又會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？仿照前面方法，等式兩邊同加參數(shù)，則 令，即 記此方程的兩根為，（1） 若，將分別代入式可得 以上兩式相除得，于是得到為等比數(shù)列，其公比為，數(shù)列的通項(xiàng)可由求得；（2）若，將代入式可得,考慮到上式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，兩邊取倒數(shù)得 由于時(shí)方程的兩根滿足，于是式可變形為為等差數(shù)列，其公差為，數(shù)列的通項(xiàng)可由求得這樣，利用上述方法，我們可以把分式線性遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列，從而求得其通項(xiàng)。如果我們引入分式線性遞推數(shù)列（）的特征方程為，即，此特征方程的兩根恰好是方程兩根的相反數(shù)，于是我們又有如下結(jié)論：分式線性遞推數(shù)列（），其特征方程為，即，1、若方程有兩相異根、，則成等比數(shù)列，其公比為；2、若方程有兩等根，則成等差數(shù)列，其公差為.值得指出的是，上述結(jié)論在求相應(yīng)數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)固然有用，但將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（等差）數(shù)列的思想方法更為重要。如對(duì)于其它形式的遞推數(shù)列，我們也可借鑒前面的參數(shù)法，求得通項(xiàng)公式，其結(jié)論與特征方程法完全一致，有興趣的讀者不妨一試。三、應(yīng)用舉例例1、 已知數(shù)列且，求通項(xiàng)公式。解 設(shè)， 令 可得于是，即是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列，從而.例2、設(shè)數(shù)列滿足. 解： 對(duì)等式兩端同加參數(shù)得令，解之得，代入上式得兩式相除得即的等比數(shù)列，四、收獲與反思 隨著普通高中課程改革的逐步深入，要求廣大教師在新課標(biāo)理念指導(dǎo)下，大膽實(shí)施課堂教學(xué)改革。如何創(chuàng)造性地處理教學(xué)內(nèi)容，無疑是一項(xiàng)十分現(xiàn)實(shí)的課題。由于數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)方式的多樣性、解決問題策略的多選擇性和數(shù)學(xué)思維的開放性，教師既要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，不斷充實(shí)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，做到高屋建瓴而游刃有余，還要不斷提高駕馭教材的能力，“用好教材”、“超越教材”而不拘泥于教材，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，因