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相似三角形“一線三等角型”一、 知識(shí)梳理:一線三等角:兩個(gè)等角的一邊在同一直線上,另一邊在該直線的同側(cè)。若有第三個(gè)與之相等的角、其頂點(diǎn)在該直線上,角的兩邊(或兩邊所在直線)分別與兩等角的非共線邊(或該邊所在直線)相交,此時(shí)通過證明,一般都可以得到一組相似三角形,該組相似三角形習(xí)慣上被稱為“一線三等角型”相似三角形 (圖1) (圖2)(1)如圖1,已知三角形ABC中,AB=AC,ADE=B,那么一定存在的相似三角形有 ;(2)如圖2,已知三角形ABC中,AB=AC,DEF=B,那么一定存在的相似三角形有 .二、【例題解析】【例1】如圖,等邊ABC中,邊長為4,D是BC上動(dòng)點(diǎn),EDF=60,(1)求證:BDECFD; (2)當(dāng)BD=1,F(xiàn)C=時(shí),求BE.【變式1】在邊長為4的等邊中,D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AB、AC上,且保持,連接EF.(1) 已知BE=1,DF=2,求DE的值; (2) 求證:BED=DEF. 【變式2】在邊長為4的等邊中,若BD=1時(shí),當(dāng)DEF與AEF相似,求BE的值. 【變式3】如圖,已知邊長為3的等邊,點(diǎn)F在邊BC上,CF=1,點(diǎn)E是射線BA上一動(dòng)點(diǎn),以線段EF為邊向右側(cè)作等邊,直線EG,F(xiàn)G交直線AC于點(diǎn)M,N,(1)寫出圖中與相似的三角形;(2)證明其中一對三角形相似;(3)設(shè)BE=x,MN=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍. 【例2】在中,是AB上的一點(diǎn),且,點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),交線段BC于點(diǎn)Q(不與點(diǎn)B,C重合),已知AP=2,求CQ.【變式1】 如圖,在ABC中,是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在邊上,且(1) 求證:ABDDCE;(2) 如果,求與的函數(shù)解析式,并寫出自變量的定義域;(3) 當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí),試說明ADE是什么三角形,并說明理由 【變式2】在直角三角形ABC中,是AB邊上的一點(diǎn),E是在AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與A,C不重合),與射線BC相交于點(diǎn)F.(1) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí),求證:;(2) 如圖2,當(dāng),求的值. 【例3】已知在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,且AD5,ABDC2,P為AD上的一點(diǎn),滿足BPCA 求證;ABPDPC; 求AP的長【變式1】如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合),且滿足BPEA,PE交直線BC于點(diǎn)E,同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q,那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí),設(shè)APx,CQy,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;當(dāng)CE1時(shí),寫出AP的長【變式2】在梯形中,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),以為頂點(diǎn)作,射線交腰于點(diǎn),射線交腰于點(diǎn),聯(lián)結(jié)(1)求證:;(2)若是以為腰的等腰三角形,求的長;(3)若,求的長 【作業(yè)】1、如圖,在中,是邊的中點(diǎn),為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作,交射線于點(diǎn)設(shè),的面積為(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;(2)如果以、為頂點(diǎn)的三角形與相似,求的面積. 2、如圖,已知在ABC中, AB=AC=6,BC=5,D是AB 上一點(diǎn),BD=2,E是BC 上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)DE,并作,射線EF交線段AC于F(1)求證:DBEECF; (2)當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時(shí),求線段BE的長;(3)聯(lián)結(jié)DF,如果DEF與DBE相似,求FC的長 3、已知在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,且BC =6,AB=DC=4,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) (1)如圖,P為BC上的一點(diǎn),且BP=2求證:BEPCPD; (2)如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)(點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合),且滿足EPF=C,PF交直線
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