2015年天津市高考數學試卷(理科).doc

.2015年天津市高考數學試卷（理科）一.選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（5分）（2015天津）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=2，3，5，6，集合B=1，3，4，6，7，則集合AUB=（）A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6，82（5分）（2015天津）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=x+6y的最大值為（）A3B4C18D403（5分）（2015天津）閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，則輸出S的值為（）A10B6C14D184（5分）（2015天津）設xR，則“|x2|1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5（5分）（2015天津）如圖，在圓O中，M、N是弦AB的三等分點，弦CD，CE分別經過點M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，則線段NE的長為（）AB3CD6（5分）（2015天津）已知雙曲線=1 （a0，b0）的一條漸近線過點（2，），且雙曲線的一個焦點在拋物線y2=4x的準線上，則雙曲線的方程為（）A=1B=1C=1D=17（5分）（2015天津）已知定義在R上的函數f（x）=2|xm|1（m為實數）為偶函數，記a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），則a，b，c的大小關系為（）AabcBacbCcabDcba8（5分）（2015天津）已知函數f（x）=，函數g（x）=bf（2x），其中bR，若函數y=f（x）g（x）恰有4個零點，則b的取值范圍是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）二.填空題（每小題5分，共30分）9（5分）（2015天津）i是虛數單位，若復數（12i）（a+i）是純虛數，則實數a的值為10（5分）（2015天津）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為m311（5分）（2015天津）曲線y=x2與y=x所圍成的封閉圖形的面積為12（5分）（2015天津）在（x）6的展開式中，x2的系數為13（5分）（2015天津）在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知ABC的面積為3，bc=2，cosA=，則a的值為14（5分）（2015天津）在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60動點E和F分別在線段BC和DC上，且=，=，則的最小值為三.解答題（本大題共6小題，共80分）15（13分）（2015天津）已知函數f（x）=sin2xsin2（x），xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在區(qū)間，內的最大值和最小值16（13分）（2015天津）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加，現有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名，乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名，從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽（）設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；（）設X為選出的4人中種子選手的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望17（13分）（2015天津）如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側棱AA1底面ABCD，ABAC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且點M和N分別為B1C和D1D的中點（）求證：MN平面ABCD（）求二面角D1ACB1的正弦值；（）設E為棱A1B1上的點，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段A1E的長18（13分）（2015天津）已知數列an滿足an+2=qan（q為實數，且q1），nN*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數列（1）求q的值和an的通項公式；（2）設bn=，nN*，求數列bn的前n項和19（14分）（2015天津）已知橢圓+=1（ab0）的左焦點為F（c，0），離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2+y2=截得的線段的長為c，|FM|=（）求直線FM的斜率；（）求橢圓的方程；（）設動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP（O為原點）的斜率的取值范圍20（14分）（2015天津）已知函數f（x）=nxxn，xR，其中nN，且n2（）討論f（x）的單調性；（）設曲線y=f（x）與x軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y=g（x），求證：對于任意的正實數x，都有f（x）g（x）；（）若關于x的方程f（x）=a（a為實數）有兩個正實數根x1，x2，求證：|x2x1|+22015年天津市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一.選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（5分）（2015天津）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=2，3，5，6，集合B=1，3，4，6，7，則集合AUB=（）A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6，8【分析】由全集U及B，求出B的補集，找出A與B補集的交集即可；【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=2，3，5，6，集合B=1，3，4，6，7，UB=2，5，8，則AUB=2，5故選：A【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵2（5分）（2015天津）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=x+6y的最大值為（）A3B4C18D40【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合確定z的最大值【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）由z=x+6y得y=x+z，平移直線y=x+z，由圖象可知當直線y=x+z經過點A時，直線y=x+z的截距最大，此時z最大由，解得，即A（0，3）將A（0，3）的坐標代入目標函數z=x+6y，得z=36=18即z=x+6y的最大值為18故選：C【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，結合目標函數的幾何意義，利用數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法3（5分）（2015天津）閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，則輸出S的值為（）A10B6C14D18【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的i，S的值，當i=8時滿足條件i5，退出循環(huán)，輸出S的值為6【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S=20，i=1i=2，S=18不滿足條件i5，i=4，S=14不滿足條件i5，i=8，S=6滿足條件i5，退出循環(huán)，輸出S的值為6故選：B【點評】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖，正確寫出每次循環(huán)得到的i，S的值是解題的關鍵，屬于基礎題4（5分）（2015天津）設xR，則“|x2|1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【分析】根據不等式的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【解答】解：由“|x2|1”得1x3，由x2+x20得x1或x2，即“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要條件，故選：A【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎5（5分）（2015天津）如圖，在圓O中，M、N是弦AB的三等分點，弦CD，CE分別經過點M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，則線段NE的長為（）AB3CD【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可【解答】解：由相交弦定理可得CMMD=AMMB，24=AM2AM，AM=2，MN=NB=2，又CNNE=ANNB，3NE=42，NE=故選：A【點評】本題考查相交弦定理，考查學生的計算能力，比較基礎6（5分）（2015天津）已知雙曲線=1 （a0，b0）的一條漸近線過點（2，），且雙曲線的一個焦點在拋物線y2=4x的準線上，則雙曲線的方程為（）A=1B=1C=1D=1【分析】由拋物線標準方程易得其準線方程，從而可得雙曲線的左焦點，再根據焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程漸近線方程，得a、b的另一個方程，求出a、b，即可得到雙曲線的標準方程【解答】解：由題意，=，拋物線y2=4x的準線方程為x=，雙曲線的一個焦點在拋物線y2=4x的準線上，c=，a2+b2=c2=7，a=2，b=，雙曲線的方程為故選：D【點評】本題主要考查雙曲線和拋物線的標準方程與幾何性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題7（5分）（2015天津）已知定義在R上的函數f（x）=2|xm|1（m為實數）為偶函數，記a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），則a，b，c的大小關系為（）AabcBacbCcabDcba【分析】根據f（x）為偶函數便可求出m=0，從而f（x）=2|x|1，這樣便知道f（x）在0，+）上單調遞增，根據f（x）為偶函數，便可將自變量的值變到區(qū)間0，+）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比較自變量的值，根據f（x）在0，+）上的單調性即可比較出a，b，c的大小【解答】解：f（x）為偶函數；f（x）=f（x）；2|xm|1=2|xm|1；|xm|=|xm|；（xm）2=（xm）2；mx=0；m=0；f（x）=2|x|1；f（x）在0，+）上單調遞增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；0log23log25；cab故選：C【點評】考查偶函數的定義，指數函數的單調性，對于偶函數比較函數值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間0，+）上，根據單調性去比較函數值大小對數的換底公式的應用，對數函數的單調性，函數單調性定義的運用8（5分）（2015天津）已知函數f（x）=，函數g（x）=bf（2x），其中bR，若函數y=f（x）g（x）恰有4個零點，則b的取值范圍是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）【分析】求出函數y=f（x）g（x）的表達式，構造函數h（x）=f（x）+f（2x），作出函數h（x）的圖象，利用數形結合進行求解即可【解答】解：g（x）=bf（2x），y=f（x）g（x）=f（x）b+f（2x），由f（x）b+f（2x）=0，得f（x）+f（2x）=b，設h（x）=f（x）+f（2x），若x0，則x0，2x2，則h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若0x2，則2x0，02x2，則h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2，若x2，x2，2x0，則h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即h（x）=，作出函數h（x）的圖象如圖：當x0時，h（x）=2+x+x2=（x+）2+，當x2時，h（x）=x25x+8=（x）2+，故當b=時，h（x）=b，有兩個交點，當b=2時，h（x）=b，有無數個交點，由圖象知要使函數y=f（x）g（x）恰有4個零點，即h（x）=b恰有4個根，則滿足b2，故選：D【點評】本題主要考查函數零點個數的判斷，根據條件求出函數的解析式，利用數形結合是解決本題的關鍵二.填空題（每小題5分，共30分）9（5分）（2015天津）i是虛數單位，若復數（12i）（a+i）是純虛數，則實數a的值為2【分析】由復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部等于0且虛部不等于0求得a的值【解答】解：由（12i）（a+i）=（a+2）+（12a）i為純虛數，得，解得：a=2故答案為：2【點評】本題考查了復數代數形式的乘法運算，考查了復數為純虛數的條件，是基礎題10（5分）（2015天津）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為m3【分析】根據幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓柱與兩個圓錐的組合體，結合圖中數據求出它的體積【解答】解：根據幾何體的三視圖，得；該幾何體是底面相同的圓柱與兩個圓錐的組合體，且圓柱底面圓的半徑為1，高為2，圓錐底面圓的半徑為1，高為1；該幾何體的體積為V幾何體=2121+122=故答案為：【點評】本題考查了利用空間幾何體的三視圖求體積的應用問題，是基礎題目11（5分）（2015天津）曲線y=x2與y=x所圍成的封閉圖形的面積為【分析】先根據題意畫出區(qū)域，然后依據圖形得到積分下限為0，積分上限為1，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可【解答】解：先根據題意畫出圖形，得到積分上限為1，積分下限為0直線y=x與曲線y=x2所圍圖形的面積S=01（xx2）dx而01（xx2）dx=（）|01=曲邊梯形的面積是故答案為：【點評】本題主要考查了學生會求出原函數的能力，以及考查了數形結合的思想，同時會利用定積分求圖形面積的能力，解題的關鍵就是求原函數12（5分）（2015天津）在（x）6的展開式中，x2的系數為【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于2，求出r的值，即可求得x2的系數【解答】解：（x）6的展開式的通項公式為Tr+1=（x）6r（）r=（）rx62r，令62r=2，解得r=2，展開式中x2的系數為=，故答案為：【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題13（5分）（2015天津）在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知ABC的面積為3，bc=2，cosA=，則a的值為8【分析】由cosA=，A（0，），可得sinA=利用SABC=，化為bc=24，又bc=2，解得b，c由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA即可得出【解答】解：A（0，），sinA=SABC=bc=，化為bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=36+1648=64解得a=8故答案為：8【點評】本題考查了余弦定理、同角三角函數基本關系式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題14（5分）（2015天津）在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60動點E和F分別在線段BC和DC上，且=，=，則的最小值為【分析】利用等腰梯形的性質結合向量的數量積公式將所求表示為關于的代數式，根據具體的形式求最值【解答】解：由題意，得到AD=BC=CD=1，所以=（）（）=（）（）=21cos60+11cos60+21+11cos120=1+=（當且僅當時等號成立）；故答案為：【點評】本題考查了等腰梯形的性質以及向量的數量積公式的運用、基本不等式求最值；關鍵是正確表示所求，利用基本不等式求最小值三.解答題（本大題共6小題，共80分）15（13分）（2015天津）已知函數f（x）=sin2xsin2（x），xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在區(qū)間，內的最大值和最小值【分析】（）由三角函數公式化簡可得f（x）=sin（2x），由周期公式可得；（）由x，結合不等式的性質和三角函數的知識易得函數的最值【解答】解：（）化簡可得f（x）=sin2xsin2（x）=（1cos2x）1cos（2x）=（1cos2x1+cos2x+sin2x）=（cos2x+sin2x）=sin（2x）f（x）的最小正周期T=；（）x，2x，sin（2x）1，sin（2x），f（x）在區(qū)間，內的最大值和最小值分別為，【點評】本題考查兩角和與差的三角函數公式，涉及三角函數的周期性和最值，屬基礎題16（13分）（2015天津）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加，現有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名，乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名，從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽（）設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；（）設X為選出的4人中種子選手的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望【分析】（）利用組合知識求出基本事件總數及事件A發(fā)生的個數，然后利用古典概型概率計算公式得答案；（）隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4，由古典概型概率計算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望【解答】解：（）由已知，有P（A）=，事件A發(fā)生的概率為；（）隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4P（X=k）=（k=1，2，3，4）隨機變量X的分布列為： X 1 2 3 4 P隨機變量X的數學期望E（X）=【點評】本題主要考查古典概型及其概率計算公式，互斥事件、離散型隨機變量的分布列與數學期望等基礎知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，是中檔題17（13分）（2015天津）如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側棱AA1底面ABCD，ABAC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且點M和N分別為B1C和D1D的中點（）求證：MN平面ABCD（）求二面角D1ACB1的正弦值；（）設E為棱A1B1上的點，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段A1E的長【分析】（）以A為坐標原點，以AC、AB、AA1所在直線分別為x、y、z軸建系，通過平面ABCD的一個法向量與的數量積為0，即得結論；（）通過計算平面ACD1的法向量與平面ACB1的法向量的夾角的余弦值及平方關系即得結論；（）通過設=，利用平面ABCD的一個法向量與的夾角的余弦值為，計算即可【解答】（）證明：如圖，以A為坐標原點，以AC、AB、AA1所在直線分別為x、y、z軸建系，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，2，2），又M、N分別為B1C、D1D的中點，M（1，1），N（1，2，1）由題可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一個法向量，=（0，0），=0，MN平面ABCD，MN平面ABCD；（）解：由（I）可知：=（1，2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），設=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），設=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，2，1），cos，=，sin，=，二面角D1ACB1的正弦值為；（）解：由題意可設=，其中0，1，E=（0，2），=（1，+2，1），又=（0，0，1）是平面ABCD的一個法向量，cos，=，整理，得2+43=0，解得=2或2（舍），線段A1E的長為2【點評】本題考查直線與平面平行和垂直、二面角、直線與平面所成的角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題18（13分）（2015天津）已知數列an滿足an+2=qan（q為實數，且q1），nN*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數列（1）求q的值和an的通項公式；（2）設bn=，nN*，求數列bn的前n項和【分析】（1）通過an+2=qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數列，計算即可；（2）通過（1）知bn=，nN*，寫出數列bn的前n項和Tn、2Tn的表達式，利用錯位相減法及等比數列的求和公式，計算即可【解答】解：（1）an+2=qan（q為實數，且q1），nN*，a1=1，a2=2，a3=q，a5=q2，a4=2q，又a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數列，23q=2+3q+q2，即q23q+2=0，解得q=2或q=1（舍），an=；（2）由（1）知bn=，nN*，記數列bn的前n項和為Tn，則Tn=1+2+3+4+（n1）+n，2Tn=2+2+3+4+5+（n1）+n，兩式相減，得Tn=3+n=3+n=3+1n=4【點評】本題考查求數列的通項與前n項和，考查分類討論的思想，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題19（14分）（2015天津）已知橢圓+=1（ab0）的左焦點為F（c，0），離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2+y2=截得的線段的長為c，|FM|=（）求直線FM的斜率；（）求橢圓的方程；（）設動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP（O為原點）的斜率的取值范圍【分析】（）通過離心率為，計算可得a2=3c2、b2=2c2，設直線FM的方程為y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，計算可得結論；（）通過聯(lián)立橢圓與直線FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=計算即可；（）設動點P的坐標為（x，y），分別聯(lián)立直線FP、直線OP與橢圓方程，分x（，1）與x（1，0）兩種情況討論即可結論【解答】解：（）離心率為，=，2a2=3b2，a2=3c2，b2=2c2，設直線FM的斜率為k（k0），則直線FM的方程為y=k（x+c），直線FM被圓x2+y2=截得的線段的長為c，圓心（0，0）到直線FM的距離d=，d2+=，即（）2+=，解得k=，即直線FM的斜率為；（）由（I）得橢圓方程為：+=1，直線FM的方程為y=（x+c），聯(lián)立兩個方程，消去y，整理得3x2+2cx5c2=0，解得x=c，或x=c，點M在第一象限，M（c，c），|FM|=，=，解得c=1，a2=3c2=3，b2=2c2=2，即橢圓的方程為+=1；（）設動點P的坐標為（x，y），直線FP的斜率為t，F（1，0），t=，即y=t（x+1）（x1），聯(lián)立方程組，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又直線FP的斜率大于，62x26（x+1）2，整理得：x（2x+3）0且x1，解得x1，或1x0，設直線OP的斜率為m，得m=，即y=mx（x0），聯(lián)立方程組，消去y并整理，得m2=當x（，1）時，有y=t（x+1）0，因此m0，m=，m（，）；當x（1，0）時，有y=t（x+1）0，因此m0，m=，m（，）；綜上所述，直線OP的斜率的取值范圍是：（，）（，）【點評】本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程和圓的方程、直線與圓的位置關系、一元二次不等式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，考查運算求解能力、以及用函數與方程思想解決問題的能力，屬于中檔題20（14分）（2015天津）已知函數f（x）=nxxn，xR，其中nN，且n2（）討論f（x）的單調性；（）設曲線y=f（x）與x軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y=g（x），求證：對于任意的正實數x，都有f（x）g（x）；（）若關于x的方程f（x）=a（a為實數）有兩個正實數根x1，x2，求證：|x2x1|+2【分析】（）由f（x）=nxxn，可得f（x），分n為奇數和偶數兩種情況利用導數即可得函數的單調性（）設點P的坐標為（x0，0），則可求x0=n，f（x0）=nn2，可求g（x）=f（x0）（xx0），F（x）=f（x）f（x0）由f（x）=nxn1+n在（0，+）上單調遞減，可求F（x）在（0，x0）內單調遞增，在（x0，+）上單調遞減，即可得證（）設x1x2，設方程g（x）=a的根為，由（）可得x2設曲線y=f（x）在原點處的切線方程為y=h（x），可得h（x）=nx，設方程h（x）=a的根為，可得x1，從而可得：x2x1=，由n2，即2n1=（1+1）n11+=1+n1=