f分布t分布和卡方分布.doc

1.4 常用的分布及其分位數(shù) 1. 卡平方分布 卡平方分布、t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo)出的分布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中常用的分布。 當(dāng)X1、X2、Xn相互獨(dú)立且都服從N(0,1)時(shí)，Z= 的分布稱(chēng)為自由度等于n的分布，記作Z(n)，它的分布密度 p(z)=式中的=，稱(chēng)為Gamma函數(shù)，且=1， =。分布是非對(duì)稱(chēng)分布，具有可加性，即當(dāng)Y與Z相互獨(dú)立，且Y(n)，Z(m)，則Y+Z(n+m)。 證明: 先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互獨(dú)立且都服從N(0,1)，再根據(jù)分布的定義以及上述隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性，令 Y=X+X+X，Z=X+X+X， Y+Z= X+X+X+ X+X+X， 即可得到Y(jié)+Z(n+m)。 2. t分布 若X與Y相互獨(dú)立，且 XN(0,1)，Y(n)，則Z = 的分布稱(chēng)為自由度等于n的t分布，記作Z t (n)，它的分布密度 P(z)= 。 請(qǐng)注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當(dāng)n30時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線(xiàn)幾乎重疊為一。這時(shí)， t分布的分布函數(shù)值查N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以得到。 3. F分布 若X與Y相互獨(dú)立，且X(n)，Y(m)， 則Z=的分布稱(chēng)為第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，記作ZF (n, m)，它的分布密度 p(z)=請(qǐng)注意：F分布也是非對(duì)稱(chēng)分布，它的分布密度與自由度的次序有關(guān)，當(dāng)ZF (n, m)時(shí)，F(xiàn) (m ,n)。4. t分布與F分布的關(guān)系若Xt(n)，則Y=XF(1,n)。 證：Xt(n)，X的分布密度p(x)= 。 Y=X的分布函數(shù)F(y) =PYy=PX0時(shí)，F(xiàn)(y) =P-X=2， Y=X的分布密度p(y)=，與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=XF(1,n)。 為應(yīng)用方便起見(jiàn)，以上三個(gè)分布的分布函數(shù)值都可以從各自的函數(shù)值表中查出。但是，解應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，通常是查分位數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如下：4. 常用分布的分位數(shù) 1）分位數(shù)的定義 分位數(shù)或臨界值與隨機(jī)變量的分布函數(shù)有關(guān)，根據(jù)應(yīng)用的需要，有三種不同的稱(chēng)呼，即分位數(shù)、上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)，它們的定義如下： 當(dāng)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 F(x)，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足0 1時(shí)，分位數(shù)是使PX=1-F()=的數(shù)，雙側(cè)分位數(shù)是使PX2=1-F(2)=0.5的數(shù)2。 因?yàn)?-F()=，F(xiàn)()=1-，所以上側(cè)分位數(shù)就是1-分位數(shù)x 1-； F(1)=0.5，1-F(2)=0.5，所以雙側(cè)分位數(shù)1就是0.5分位數(shù)x 0.5，雙側(cè)分位數(shù)2就是1-0.5分位數(shù)x 1-0.5。2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)記作u，0.5分位數(shù)記作u 0.5，1-0.5分位數(shù)記作u 1-0.5。 當(dāng)XN(0,1)時(shí)，PX u=F 0,1(u)=，PXu 0.5= F 0,1 (u 0.5)=0.5，PXu 1-0.5= F 0,1 (u 1-0.5)=1-0.5。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)=0.5時(shí)，u=0；當(dāng)0.5時(shí)，u0。 u=-u 1-。如果在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒(méi)有負(fù)的分位數(shù)，則先查出 u 1-，然后得到u=-u 1-。論述如下：當(dāng)XN(0,1)時(shí)，PX u = F 0,1 (u )=，PX u 1-=1- F 0,1 (u 1-)=，故根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，u=-u 1-。 例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282，u 0.05=-u 0.95=-1.645，u 0.01=-u 0.99=-2.326，u 0.025=-u 0.975=-1.960，u 0.005=-u 0.995=-2.576。 又因?yàn)镻|X|0，當(dāng)X(n)時(shí)，PX(n)=。例如，0.005 (4)=0.21，0.025 (4)=0.48，0.05 (4)=0.71，0.95 (4)=9.49，0.975 (4)=11.1，0.995 (4)=14.9。4）t分布的分位數(shù)記作t(n)。當(dāng)Xt (n)時(shí)，PX30時(shí)，在比較簡(jiǎn)略的表中查不到t(n)，可用u作為t(n)的近似值。 5）F分布的分位數(shù)記作F(n , m)。 F(n , m)0，當(dāng)XF (n , m)時(shí)，PXF(n , m)=。 另外，當(dāng)較小時(shí)，在表中查不出F(n, m)，須先查F1-(m, n)，再求F(n, m)=。論述如下：當(dāng)XF(m, n)時(shí)，PX=1-，P=，又根據(jù)F分布的定義，F(xiàn)(n, m)，PF(n, m) =，因此 F(n, m)= 。例如，F(xiàn) 0.95 (3,4)=6.59，F(xiàn) 0.975 (3,4)=9.98，F(xiàn) 0.99 (3,4)=16.7，F(xiàn) 0.95 (4,3)=9.12，F(xiàn) 0.975 (4,3)=15.1，F(xiàn) 0.99 (4,3)=28.7，F(xiàn) 0.01 (3,4)=，F(xiàn) 0.025 (3,4)=，F(xiàn) 0.05 (3,4)=。 【課內(nèi)練習(xí)】 1. 求分位數(shù)0.05(8)，0.95(12)。 2. 求分位數(shù) t 0.05(8)， t 0.95(12)。 3. 求分位數(shù)F0.05(7,5)，F(xiàn)0.95(10,12)。 4. 由u 0.975=1.960寫(xiě)出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。 5. 由t 0.95(4)=2.132寫(xiě)出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。 6. 若X(4)，PX0.711=0.05，PX9.49=0.95，試寫(xiě)出有關(guān)的分位數(shù)。 7. 若XF(5,3)，PX9.01=0.95，YF(3,5)，Y1.44。 習(xí)題答案：1. 2.73，21.0。2. -1.860，1.782。3. ，3.37。4. 1.960為上側(cè)0.025分位數(shù)，-1.960與1.960為雙側(cè)0.05分位數(shù)。5. 2.132為上側(cè)0.05分位數(shù)，-2.132與2.132為雙側(cè)0.1分位數(shù)。6. 0.711為上側(cè)0.95分位數(shù)，9.49為上側(cè)0.05分位數(shù)，0.711與19.49為雙側(cè)0.1分位數(shù)。7. 9.01為上側(cè)0.05分位數(shù)，5.4