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機械簡諧運動的兩種典型模型-作者：-日期：專題二 簡諧運動的兩種典型模型 基礎知識落實 1、彈簧振子：2.單擺（1）.在一條不可伸長、不計質(zhì)量的細線下端系一質(zhì)點所形成的裝置.單擺是實際擺的理想化物理模型.（2）.單擺做簡諧運動的回復力單擺做簡諧運動的回復力是由重力mg沿圓弧切線的分力Fmgsin 提供(不是擺球所受的合外力)，為細線與豎直方向的夾角，叫偏角.當很小時，圓弧可以近似地看成直線，分力F可以近似地看做沿這條直線作用，這時可以證明Fxkx.可見很小時，單擺的振動是簡諧運動.（3）.單擺的周期公式單擺的等時性：在振幅很小時，單擺的周期與單擺的振幅無關，單擺的這種性質(zhì)叫單擺的等時性，是伽利略首先發(fā)現(xiàn)的.單擺的周期公式，由此式可知T，T與振幅及擺球質(zhì)量無關.（4）.單擺的應用計時器：利用單擺的等時性制成計時儀器，如擺鐘等，由單擺的周期公式知道調(diào)節(jié)單擺擺長即可調(diào)節(jié)鐘表快慢.測定重力加速度：由變形得g，只要測出單擺的擺長和振動周期，就可以求出當?shù)氐闹亓铀俣?秒擺的周期 秒 擺長大約 米（5）.單擺的能量擺長為l，擺球質(zhì)量為m，最大偏角為，選最低點為重力勢能零點，則擺動過程中的總機械能為:Emgl(1cos)，在最低點的速度為v.知識點一、彈簧振子：1、定義：一根輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球就構成一彈簧振子。 2、回復力：水平方向振動的彈簧振子，其回復力由彈簧彈力提供；豎直方向振動的彈簧振子，其回復力由重力和彈簧彈力的合力提供。3、彈簧振子的周期： 除受迫振動外，振動周期由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。 彈簧振子的周期和頻率只取決于彈簧的勁度系數(shù)和振子的質(zhì)量，與其放置的環(huán)境和放置的方式無任何關系。如某一彈簧振子做簡諧運動時的周期為T，不管把它放在地球上、月球上還是衛(wèi)星中；是水平放置、傾斜放置還是豎直放置；振幅是大還是小，只要還是該振子，那它的周期就還是T?！踞尷?】【解析】【變式】1題型關于彈簧振子模型： 方法指導 一、水平方向彈簧振子的幾種模型：1、單彈簧模型：彈簧振子彈簧振子的振動是簡諧運動的最典型實例。它由連在一起的彈簧和小球穿在光滑水平桿上并將彈簧另一端連在支架上構成。通過對它的運動的觀察，可以總結出下面四個特點： 在水平方向振動的彈簧振子的回復力是彈簧的彈力，其表達式： F=-kx或a=kx/m。 若彈簧的勁度系數(shù)越大，回復力越大，振子產(chǎn)生的加速度越大，振子來回振動得越快，因而周期越短。其次，振子質(zhì)量越大，產(chǎn)生的加速度越小，振子來回振動得越慢，因而周期越長。計算表明，彈簧振子的周期公式為：（此式不要求掌握） 可見，彈簧振子的周期由彈簧的勁度系數(shù)和振子質(zhì)量共同決定，跟振幅無關。如何從運動和力的關系來理解彈簧振子的周期與振幅無關呢？如圖所示。COAB將彈簧振子從平衡位置拉到B（振幅為A）。振幅越大，振子在B處的彈力越大，加速度也越大，但振子離開平衡位置的位移也大了，因此，振子從B回到O的時間并不因振幅的大小而改變（為T/4），但振子回到平衡位置時的速度與振幅有關，振幅越大速度越大。振子從O到C的過程中，若振幅超大，振子離開O時的速度也大，但位移也大了，因此，振子從O到C的時間也不會因振幅的改變而改變（也為T/4），所以，彈簧振子自由振動的周期與振幅大小無關 頻率：。 振動過程中位移、速度、加速度、動能、勢能、回復力等的關系?！纠}1】如圖所示，為一彈簧振子，O為振動的平衡位置，將振子拉到位置C從靜止釋放，振子在BC間往復運動已知BC間的距離為20cm，振子在4秒鐘內(nèi)振動了10次（1）求振幅、周期和頻率。（2）若規(guī)定從O到C的方向為正方向，試分析振子在從COB過程中所受回復力F，加速度a和速度的變化情況選題目的：考察彈簧振子振動中各物理量的掌握情況【解析】（1）（2）按題設從OC為正方向，則當振子在平衡位置右側時位移為正，在平衡位置左側時位移為負所以當振子從CO運動時，位移方向為正，大小在減少，回復力方向為負，加速度方向為負，回復力和加速度的大小都在減小振子的速度方向為負，加速度與速度方向一致，速度在增大；振子到達O位置時位移X=0，F(xiàn)、a均為零，最大當振子從OB運動時，位移方向為負，位移x在增大，回復力F、加速度a方向為正，大小在增大，此過程速度方向為負，a與反向，振子從OB做減速運動，在減小，到達B位置時F、a為正向最大，=0【點評】【例題2】如圖所示彈簧振子，振子質(zhì)量為2.0102g，作簡諧運動，當它到達平衡位置左側2.0cm時受到的回復力是0.40N，當它運動到平衡位置右側4.0cm處時，加速度為 D A、 2 m/s2向右 B、 2 m/s2向左C、 4 m/s2向右 D、 4 m/s2向左【解析】F=-kx，所以力F1的大小F1=kx1，由此可解得k =200N/m則：F2= kx 2=200410-2=8N，由于位移向右，回復力F2方向向左根據(jù)牛頓第二定律：a2=F2/m=8/2=4m/s2，方向向左【點評】【例題3】上題中，若彈簧振子的振幅為8cm，此彈簧振子振動的周期為 A A、 0.63s B 、2s C 、8s D、 條件不足，無法判斷 【解析】因為是簡諧運動，所以： 【點評】【例題4】彈簧振子在BC間作簡諧運動，O為平衡位置，BC間距離為10cm，由BC運動時間為1s，則 B A、 從B開始經(jīng)過0.25s，振子通過的路程是2.5cm B、 經(jīng)過兩次全振動，振子通過的路程為40cm C、 振動周期為1s，振幅為10cm D、 從BOC振子做了一次全振動 【解析】【點評】【例題5】如圖所示，在光滑水平面上有一彈簧振子，已知輕彈簧的勁度系數(shù)為k。開始時振子被拉到平衡位置O點的右側某處，此時拉力大小為F，振子靜止，撤去拉力后，振子經(jīng)過時間t，剛好通過平衡位置O點，此時振子的瞬時速度為，則在此過程中，振子運動的平均速度為多少？F【解析】【點評】【例題6】一個彈簧振子，在光滑水平面上做簡諧運動，如圖所示，當它從左向右恰好經(jīng)過平衡位置時，與一個向左運動的鋼球發(fā)生正碰，已知碰后鋼球沿原路返回，并且振子和鋼球不再發(fā)生第二次碰撞。則下面的情況中可能出現(xiàn)的是( ACD)A.振子繼續(xù)作簡諧振動，振幅和周期都不改變B.振子繼續(xù)作簡諧振動，振幅不變而周期改變C.振子繼續(xù)作簡諧振動，振幅改變而周期不變D.振子停止運動【解析】【點評】【例題7】如圖所示，一個彈簧振子在光滑的水平面上A、B之間做簡諧振動，當振子經(jīng)過最大位移處（B點）時，有塊膠泥落在它的頂部，并隨其一起振動，那么后來的振動與原來相比較( ACD )A、振幅的大小不變 B、加速度的最大值不變C、速度的最大值變小 D、勢能的最大值不變【解析】【點評】2、摩擦力模型：AB【例題1】如圖所示，質(zhì)量為m的物體A放在質(zhì)量為M的物體B上，B與彈簧相連，它們一起在光滑水平面上做簡諧運動，振動過程中A、B之間無相對運動。設彈簧勁度系數(shù)為k，但物體離開平衡位置的位移為x時，A、B間摩擦力的大小等于（ ）A、kx B、kx C、kx D、0【解析】對A、B系統(tǒng)用牛頓第二定律：F=（M+m）a F=kxa=對A用牛頓第二定律：f=ma=kx【點評】A、B無相對運動，故可以綜合運用整體法、隔離法分析整個系統(tǒng)和A或B物體的運動和力的關系。m/2mk【例題2】（2008四川理綜14）光滑的水平面上盛放有質(zhì)量分別為m 和的兩木塊，下方木塊與一勁度系數(shù)為k的彈簧相連，彈簧的另一端固定在墻上，如圖所示。己知兩木塊之間的最大靜摩擦力為f ，為使這兩個木塊組成的系統(tǒng)象一個整體一樣地振動，系統(tǒng)的最大振幅為（ ）A B C D【解析】本題不是非常簡單，考查的知識點很多，稍有不足，就會選錯。物體做簡諧運動，取整體為研究對象，是由彈簧的彈力充當回復力。取上面的小物塊為研究對象，則是由靜摩擦力充當向心力。當兩物體間的摩擦力達到最大靜摩力時，兩物體達到了簡諧運動的最大振幅。又因為兩個物體具有共同的加速度，根據(jù)牛頓第二定律對小物體有，取整體有，兩式聯(lián)立可得，答案為C?！靖呖伎键c】最大靜靜力、簡諧運動、牛頓第二定律、臨界問題【易錯提醒】受力分析的整體法與隔離法，對解決物理問題是很重要的一個因素。合理的方法，會使你利用很短的時間解決問題，而不合理的方法，無論用多少時間都不會得出所要的答案?！军c評】綜合問題在物理中體現(xiàn)是最充分的。所以在高考前的專題復習時一定要對各知識點間的綜合進行充分的復習。AB【例題3】（2006江蘇物理9）如圖所示，物體A置于物體B上，一輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與B相連。在彈性限度范圍內(nèi)，A和B一起在光滑水平面上作往復運動(不計空氣阻力)，并保持相對靜止。則下列說法正確的是( AB )AA和B均作簡諧運動B作用在A上的靜摩擦力大小與彈簧的形變量成正比CB對A的靜摩擦力對A做功，而A對B的靜摩擦力對B不做功DB對A的靜摩擦力始終對A做正功，而A對B的靜摩擦力始終對B做負功【解析】【點評】【例題4】如圖所示，一個質(zhì)量為m的木塊放在質(zhì)量為M的平板小車上，他們之間的最大靜摩擦力為f，在勁度系數(shù)為k的輕彈簧的作用下，沿光滑水平面做簡諧運動。為使小車能跟木塊一起運動，不發(fā)生相對滑動，機械運動的振幅不能大于（ A ）A、 B、 C、 D、【解析】【點評】【例題5】在光滑水平面上有一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k。振子質(zhì)量為M，振動的最大速度為v0，如圖所示。當振子在最大位移為A的時刻，把質(zhì)量為m的物體輕放其上，則：（1）要保持物體和振子一起振動，二者間摩擦因數(shù)至少為多少？（2）一起振動時，二者過平衡位置的速度多大？振幅又是多大？【解析】（1），（2）機械能守恒：振幅仍為A【點評】【例題6】如圖所示，把一個有槽的物體B與彈簧相連，使B在光滑水平面上做簡諧運動，振幅為A1當B恰好經(jīng)過平衡位置，把另一個物體C輕輕的放在（C速度可以認為是零）B的槽內(nèi)，BC共同作簡諧振動的振幅為A2比較A1和A2的大小 B A、A1=A2 B、 A1A2 C、 A1A2 D、 條件不足，無法確定 【解析】當C輕放在B槽內(nèi)時，BC間發(fā)生一次完全非彈性碰撞，兩者速度由不同達到相同，此時有一部分機械能轉化為內(nèi)能由于機械能損失，所以振幅減小，A2A1；公式推導也可得出同樣的結論：B、C碰撞，遵從動量守恒定律，顯然， 【點評】若在極端位置時把C輕放在B槽內(nèi)結果又如何？【例題6】如圖所示，一個三角形物塊固定在水平桌面上，其光滑斜面的傾角為30。物體A的質(zhì)量為mA0.5kg，物體B的質(zhì)量為mB1.0 kg（A、B均可視為質(zhì)點），物體A、B并列在斜面上且壓著一勁度系數(shù)為k125N/m的輕彈簧，彈簧的下端固定，上端拴在A物體上，物體A、B處于靜止狀態(tài)。（g取10m/s2）（1）求此時彈簧的壓縮量是多大？（2）將物體B迅速移開，試證明物體A在斜面上作簡諧運動。（3）將物體B迅速移開，物體A將作周期為0.4s的簡諧振動，若以沿斜面向上的方向為正方向，請你在所給的坐標系中作出物體A相對平衡位置的位移隨時間的變化曲線圖，并在圖中標明振幅的大小。【解析】（1）對A、B受力分析： （2）移去B后A在平衡位置： 當A有沿斜面向下位移x時： 且方向沿斜面向上，與位移方向相反簡諧運動 【點評】【例題7】(2008保定調(diào)研)如圖所示，物體A放在物體B上，B與彈簧相連，它們在光滑水平面上一起做簡諧運動。當彈簧伸長到最長時開始記時(t = 0)，取向右為正方向，A所受靜摩擦力f隨時間t變化的圖象正確的是( D )【解析】【點評】XOX3、雙彈簧模型：【例題1】如圖所示，在光滑水平面上，用兩根勁度系數(shù)分別為k1、k2的輕質(zhì)彈簧系住一個質(zhì)量為m的小球。開始時，兩彈簧均處于原長，后使小球向左偏離x后放手，可以看到小球?qū)⒃谒矫嫔献鐾鶑驼駝?。試問小球是否做簡諧運動？【解析】以小球為研究對象，豎直方向受力平衡，水平方向受到兩根彈簧的彈力作用.設小球位于平衡位置O左方某處時，偏離平衡位置的位移為x，則左方彈簧受壓，對小球的彈力方向向右，大小為F1x右方彈簧被拉伸，小球所受的彈力方向向右，大小為F2kx小球所受的回復力等于兩個彈力的合力，其方向向右，大小為FF1F2()x令k，上式可寫成Fkx由于小球所受的回復力方向與物體位移x的方向相反，故考慮方向后上式可表示為Fkx.所以，小球?qū)⒃趦筛鶑椈傻淖饔孟?，沿水平方向做簡諧運動.【點評】【例題2】如圖所示，將兩根輕質(zhì)彈簧連接起來系在一質(zhì)量為m的物體上組成彈簧振子，已知兩彈簧的倔強系數(shù)分別為k1和k2，不計一切阻力，則這一彈簧振子振動的周期為：mk1k2 ?！窘馕觥俊军c評】【例題3】某同學設計了一個測物體質(zhì)量的裝置，如圖所示，其中P是光滑水平面，k是輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)，A是質(zhì)量為M的帶夾子的標準質(zhì)量金屬塊，Q是待測物體的質(zhì)量。已知該裝置的彈簧振子做簡諧運動的周期為，其中，m是振子的質(zhì)量，k是與彈簧的勁度系數(shù)有關的常數(shù)。當只有A物體振動時，測得其振動周期為T1，將待測物體Q固定在A上后振動周期為T2，則待測物體的質(zhì)量為多少?這種裝置比天平優(yōu)越之處是什么?【解析】由題意:這種裝置可以在完全失重或太空中用來測物體的質(zhì)量.【例題4】某同學設計了一個測量物體質(zhì)量的裝置，如圖所示，其中P是光滑水平面，A是質(zhì)量為M的帶夾子的已知質(zhì)量金屬塊，Q是待測質(zhì)量的物體。已知該裝置的彈簧振子做簡諧振動的周期為，其中m是振子的質(zhì)量，k是與彈簧的勁度系數(shù)有關的常數(shù)，當只有A物體振動時，測得其振動周期為T1，將待測物體Q固定在A上后，測得振動周期為T2，則待測物體的質(zhì)量為 ，如果這種裝置與天平都在太空站中使用，則（ ）A、天平仍可以用來測質(zhì)量，這種裝置不能用來測質(zhì)量B、這種裝置仍可以用來測質(zhì)量, 天平不能用來測質(zhì)量C、這種裝置和天平都可以用來測質(zhì)量D、這種裝置和天平都不能用來測質(zhì)量【解析】【點評】【變式】QAP某同學設計了一個測量物體質(zhì)量的裝置，如圖所示，其中P是光滑水平面，A是質(zhì)量為M的帶夾子的已知質(zhì)量金屬塊，Q是待測質(zhì)量的物體（可以被A上的夾子固定）已知該裝置的彈簧振子做簡諧運動的周期為（數(shù)量級為100s）,其中m是振子的質(zhì)量，K是與彈簧的勁度系數(shù)有關的常數(shù)（1） 為了達到實驗目的還需要提供的實驗器材是：_；（2） 寫出所需測量的物理量（用字母表示），并簡要地寫出測量方法_； ；用所測物理量和已知物理量求解待測物體質(zhì)量的計算式為m= 【解析】【點評】【例題5】（2007江蘇物理16）如圖所示，帶電量分別為4q和q的小球A、B固定在水平放置的光滑絕緣細桿上，相距為d。若桿上套一帶電小環(huán)C，帶電體A、B和C均可視為點電荷。（）求小環(huán)C的平衡位置。（）若小環(huán)C帶電量為q，將小環(huán)拉離平衡位置一小位移x(xd)后靜止釋放，試判斷小環(huán)C能否回到平衡位置。（回答“能”或“不能”即可）ABd-q4q（）若小環(huán)C帶電量為q，將小環(huán)拉離平衡位置一小位移x(xd)后靜止釋放，試證明小環(huán)C將作簡諧運動。（提示：當0，則F0，表示小球在平衡位置下方而合力方向向上；若x0，表示小球在平衡位置上方而合力方向向下回復力滿足F = -kx的條件，所以小球做簡諧運動【點評】【例題2】如圖所示，一個豎直彈簧連著一個質(zhì)量M的薄板，板上放著一個木塊，木塊質(zhì)量為m?，F(xiàn)使整個裝置在豎直方向做簡諧運動，振幅為A。若要求在整個過程中小木塊m都不脫離木板，則彈簧勁度系數(shù)k應為多大？【解析】木板運動到最高點又不脫離，彈簧可能處于兩種狀態(tài)：無形變狀態(tài)和壓縮狀態(tài)。若恰好脫離，則彈簧此時無形變，m、M的加速度均為g，此時，系統(tǒng)回復力為：F=（M+m）g所以彈簧在平衡位置時的彈力為：KA=（M+m）g，若彈簧處于壓縮狀態(tài)，則系統(tǒng)在最高點的回復力為：FkA 則km)的A、B兩物體，箱子放在水平面上，平衡后剪斷A、B間細線，此后A將做簡諧振動，當A運動到最高點時，木箱對地面的壓力為（ A ）A、 B、C、 D、【解析】剪斷A、B間細繩后，A與彈簧可看成一個豎直方向的彈簧振子模型，因此，在剪斷瞬間A具有向上的大小為g的加速度，當A運動到最高點時具有向下的大小為g的加速度（簡諧運動對稱性），此時對A來說完全失重，從整體法考慮，箱對地面的作用力為Mg，選A。【點評】注意應用彈簧振子模型中運動的對稱性，及超重、失重知識，注重物理過程的分析，利用理想化模型使復雜的物理過程更加簡單?！纠}4】如圖所示，質(zhì)量為m的木塊放在彈簧上，彈簧在豎直方向做簡諧運動。當振幅為A時，物體對彈簧的最大壓力是彈簧的1.5倍，則物體對彈簧的最小壓力是多少？欲使物體在振動中不離開彈簧，其最大振幅是多少？【解析】0.5mg；2A【點評】【例題5】如圖所示，一個勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直立在桌面上，下端固定在桌面上，上端與質(zhì)量為M的金屬盤固定連接，金屬盤內(nèi)放一個質(zhì)量為m的砝碼。先讓砝碼隨金屬盤一起在豎直方向做簡諧運動。（1）為使砝碼不脫離金屬盤，振幅最大不能超過多少？（2）振動過程中砝碼對金屬盤的最大壓力是多少？【解析】 2mg【點評】【例題6】如圖所示，質(zhì)量為M的橡皮泥從一定高度自由下落，落到正下方被輕彈簧支起的木板上，并粘在木板上和木板一起做簡諧振動木板質(zhì)量為m，輕彈簧勁度系數(shù)為k，相碰前后彈簧壓縮量變化為a，則( BD)A.系統(tǒng)的振幅為B.系統(tǒng)的振幅大于等C.木板下壓a距離的時間為D.木板下壓a距離的時間大于【解析】【點評】【例題7】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧與質(zhì)量為m的物體組成彈簧振子，物體在AB兩點間做簡諧振動，O點為平衡位置。已知OC=h，振子的振動周期為T，某時刻物體正經(jīng)過C點向上運動，則從此時刻開始的半個周期內(nèi)( ABC )A.重力做功為2mgh B.重力的沖量為C.回復力做功為零 D.回復力的沖量為零【解析】【點評】【例題8】如圖所示，輕質(zhì)彈簧下端掛重為30N的物體A，彈簧伸長了3cm，再掛重為20N的物體B時又伸長了2cm，若將連接A和B的連線剪斷，使A在豎直平面內(nèi)振動時，下面結論正確的是（ A ）AB A、振幅是2cm B、振幅是3cm C、最大回復力是30N D、最大回復力是50N【解析】【點評】【例題8】如圖所示，輕彈簧的一端固定在地面上，另一端與木板B相連，木板A放在木板B上，兩木板質(zhì)量均為m，現(xiàn)加豎直向下的力F作用于A，A與B均靜止.問：(1)將力F瞬間撤除后，兩木板共同運動到最高點時，B對A的彈力多大？(2)要使兩板不會分開，F(xiàn)應該滿足什么條件？【解析】(1)把沒有外力F作用時物體所處的位置為平衡位置，則物體被外力壓下去后，根據(jù)對稱性，當兩木板到達最高點時，其回復力和最低點的回復力大小相等，也為F.此時共同的加速度由牛頓第二定律求得aF/2mA物體受到重力與支持力N，再應用牛頓第二定律有：mgNma所以NmgmamgF/2(2)要使兩板不分離，則N0，由上式得F2mg【點評】此題利用了簡諧運動的對稱性來解題，關于平衡位置對稱的兩點，回復力大小和加速度大小相等.【例題9】一輕質(zhì)彈簧直立在地面上，其勁度系數(shù)為k=400N/m，在彈簧的上端與空心物體A連接，物體B置于A內(nèi)，B的上下表面恰好與A接觸，如圖所示。A和B質(zhì)量均為1kg，先將A向上抬高使彈簧伸長5cm后靜止釋放，A和B一起做上下方向的簡諧運動，已知彈簧的彈性勢能決定于彈簧形變量大小(g取10m/s2,阻力不計)求：(1)物體A的振幅；(2)物體B的最大速率；(3)在最高點和最低點A和B的作用力【解析】(1)振子在平衡位置時,所受合力為零,設此時彈簧被壓縮x.(mA+mB)g=kx,開始釋放時振子處在最大位移處,故振幅A為:A=5cm+5cm=10cm(2)由于開始時彈簧的伸長量恰等于振子在平衡位置時彈簧的壓縮量,故彈性勢能相等,設振子的最大速率為v,從開始到平衡位置,根據(jù)機械能守恒定律:(3)在最高點,振子受到的重力和彈力方向相同,根據(jù)牛頓第二定律:A對B的作用力方向向下,其大小N1為:N1=mBa-mBg=10N在最低點,振子受到的重力和彈力方向相反,根據(jù)牛頓第二定律:A對B作用力方向向上,其大小N2為:N2=mBa+mBg=30N【點評】2、雙彈簧模型：【例題1】如圖所示，三角架質(zhì)量為M，沿其中軸線用兩根輕彈簧栓一質(zhì)量為m的小球，原來三角架靜止在水平面上，現(xiàn)使小球做上、下振動，當三角架對水平面的壓力最小為零時，求：（1）此時小球的瞬時加速度？（2）若上下兩彈簧的勁度系數(shù)均為k，則小球做簡諧運動的振幅為多少？【解析】【點評】【例題2】（2001上海物理8）如圖所示，一升降機在箱底有若干個彈簧，設在某次事故中，升降機吊索在空中斷裂，忽略摩擦力，則升降機在從彈簧下端觸地后直到最低點的一段運動過程中( CD )A.升降機的速度不斷減小B.升降機的加速度不斷變大C.先是彈力做的負功小于重力做的正功，然后是彈力做的負功大于重力做的正功D.到最低點時，升降機加速度的值一定大于重力加速度的值【解析】本題實質(zhì)上是一個豎直彈簧振子的物理模型問題.當升降機吊索斷裂后升降機先做自由落體運動.當?shù)撞繌椈蓜傆|地后，由于重力mg大于彈力FN，所以升降機仍向下做加速運動，隨著彈簧壓縮形變越大，向上的彈力也隨之增大，所以向下的合力及加速度不斷變小，直至mgFN時，a0，速度達到最大值vm，這段運動是速度增大、加速度變小的運動.根據(jù)動能定理WEk，即WGEk0，所以WG，重力做的正功大于彈力做的負功，當升降機從a0的平衡位置繼續(xù)向下運動時，由于彈力大于重力，所以加速度方向向上，且不斷變大，而速度v不斷變小直至為0，這段過程中，WGWFNEk0，所以WG，重力做的正功小于彈力做的負功.由此可知，選項A、B錯，而C正確.把升降機視為一個豎直彈簧振子，如圖所示.彈簧剛觸地時升降機的位置在A點，升降機向下運動到的最低點位置為B點，速度最大的平衡位置為O點.在A點時有向下的速度，A點為最大位移處到平衡位置中的一點，即A點并非最大位移點.而B點速度為零，就是振子平衡位置下方的最大位移點，故.既然A點的加速度aAg方向向下，根據(jù)彈簧振子的對稱性，那么最大位移B點的最大加速度aBamaAg，方向向上，選項D正確.【點評】 解題示范 【例題1】彈簧振子從距平衡位置5cm處由靜止釋放，全振動10次所用的時間為8s，那么振子的振幅是 m，周期是 s，頻率是 Hz，8s內(nèi)的位移大小是 m，8s內(nèi)的路程是 m?！窘馕觥俊军c評】【例題2】彈簧振子的振幅取決于_，振幅的大小標志著_?！窘馕觥俊军c評】【例題3】彈簧振子正在振動，振幅為A，周期為T，t1時刻運動到a點，t2時刻運動到b點，如果t2t1T/4，則ab兩點間的距離可能是 ACD A.0 B.大于A C.等于A D.小于A【解析】【點評】【例題4】有一彈簧振子做簡諧運動，則 A加速度最大時，速度最大 B速度最大時，位移最大C位移最大時，回復力最大 D回復力最大時，加速度最大【解析】振子加速度最大時，處在最大位移處，此時振子的速度為零，由F= - kx知道，此時振子所受回復力最大，所以選項A錯，C、D對振子速度最大時，是經(jīng)過平衡位置時，此時位移為零，所以選項B錯故正確選項為C、D【點評】分析振動過程中各物理量如何變化時，一定要以位移為橋梁理清各物理量間的關系：位移增大時，回復力、加速度、勢能均增大，速度、動量、動能均減小；位移減小時，回復力、加速度、勢能均減小，速度、動量、動能均增大各矢量均在其值為零時改變方向，如速度、動量均在最大位移處改變方向，位移、回復力、加速度均在平衡位置改變方向【例題5】如圖所示，質(zhì)量為m的小球放在勁度為k的輕彈簧上，使小球上下振動而又始終未脫離彈簧。（1）最大振幅A是多大？（2）在這個振幅下彈簧對小球的最大彈力Fm是多大？【解析】該振動的回復力是彈簧彈力和重力的合力。在平衡位置彈力和重力等大反向，合力為零；在平衡位置以下，彈力大于重力，F(xiàn)- mg=ma，越往下彈力越大；在平衡位置以上，彈力小于重力，mg-F=ma，越往上彈力越小。平衡位置和振動的振幅大小無關。因此振幅越大，在最高點處小球所受的彈力越小。極端情況是在最高點處小球剛好未離開彈簧，彈力為零，合力就是重力。這時彈簧恰好為原長。（1）最大振幅應滿足：kA=mg， A=（2）小球在最高點和最低點所受回復力大小相同，所以有：Fm-mg=mg，F(xiàn)m=2mg?！军c評】【例題6】彈簧振子以O點為平衡位置在B、C兩點之間做簡諧運動B、C相距20 cm某時刻振子處于B點經(jīng)過0.5 s，振子首次到達C點求：（1）振動的周期和頻率；（2）振子在5 s內(nèi)通過的路程及位移大??；（3）振子在B點的加速度大小跟它距O點4 cm處P點的加速度大小的比值【解析】（1）設振幅為A，由題意BC2A10 cm，所以A10 cm振子從B到C所用時間t05s為周期T的一半，所以T10s；f1/T10Hz（2）振子在1個周期內(nèi)通過的路程為4A。故在t5s5T內(nèi)通過的路程st/T4A200cm5 s內(nèi)振子振動了5個周期，5s末振子仍處在B點，所以它偏離平衡位置的位移大小為10cm（3）振子加速度ax，所以aB：aPxB：xp10：45：2【點評】【例題7】一個彈簧振子的振動頻率為f=5Hz，如圖，振子在BC間往復運動，BC間距為20cm。從振子經(jīng)過平衡位置向右運動開始計時，到t=3.25s時，振子的位移是多大？（規(guī)定向右為正方向）振子通過的路程是多少？【解析】由f=5HZ，可求出T=0.2s，由cm，可知A=10cm。由t=3.25s，可知在這段時間內(nèi)振子完成全振動的次數(shù)為n=t/T=16.25，即振子從0開始振動了16個周期另加T/4，所以t=3.25s時振子的位移X=10cm，即振子在C位置。振子通過的路程：S=16.254A=650cm=6.5m。【點評】【例題8】如圖所示，一個光滑水平面上做簡諧運動的彈簧振子，滑塊A的質(zhì)量為M、彈簧的勁度系數(shù)為k?，F(xiàn)在振子上面放另一個質(zhì)量為m的小物體B，它與振子一起做簡諧運動，則小物體B受到的恢復力f跟位移x的關系式是 A、f= - kx B、C、 D、選題目的：考查簡諧運動關系式的理解和推導【解析】由于A、B一起做簡諧運動，恢復力F= - kx，根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)=(M+m)a，對于物體B來說，它做簡諧運動的恢復力f= - kx=ma，兩式相比較，得k =k，因此f= -kx所以正確選項是B【點評】【例題9】如圖所示，質(zhì)量為m的木塊放在豎直的彈簧上，m在豎直方向做簡諧振動，當振幅為A時，物體對彈簧的壓力最小值為物體自重的0.5倍，則物體對彈簧壓力的最大值為 ，欲使物體在振動中不離開彈簧，其振幅不能超過 選題目的：考察回復力與振幅的理解【解析】物體m放在彈簧上讓其緩慢下落，當重力mg與彈簧力kx相等時，物體處于平衡在此位置對物體施加向下的壓力，使物體下移位移A時，撤去外力F，物體m將在豎直方向做簡諧振動在振動過程中物體受重力和彈力作用，當壓縮最小時，物體和彈簧的相互作用最小，應在平衡位置上方；當壓縮量最大時，物體和彈簧的相互作用力最大，此位置應在平衡位置下方，且最小作用力和最大作用力的位置關于O點對稱，離開平衡位置的距離均為A如圖所示，物體m在最高點時彈力為，最低點時彈力為，則：KA=mg-N1 KA=N2-mg 由、式聯(lián)立解得：N2= 2mg-N1= 1.5mg由牛頓第三定律知：N2=N2=1.5mg即物體對彈簧的最大壓力為1.5 mg若要m在振動過程中不脫離彈簧，則物體m與彈簧的相互作用力達最小，即N=0，所以最大振幅即為物體m平衡時的壓縮量設m能達到的最大振幅為A，則 KA=mg 由、式聯(lián)立得： A=2A【點評】【例題10】在水平方向做簡諧運動的彈簧振子，其質(zhì)量為m，最大速率為v，則下列說法正確的是（ AD ）A、從某時刻起，在半個周期時間內(nèi)，彈力做功一定為零B、從某時刻起，在半個周期時間內(nèi)，彈力做的功可能是0mv2之間的某一個值C、從某時刻起，在半個周期時間內(nèi)，彈力的沖量一定為零D、從某時刻起，在半個周期時間內(nèi)，彈力的沖量可能是02mv之間的某一個值【解析】做簡諧運動的物體，半個周期后的速率一定與半個周期前相等，動能變化量為零，故彈力做功為零，所以A選項正確，B選項錯誤；從端點到端點，速度由零到零，沖量為0，從平衡位置到平衡位置，速度由v變到-v，沖量為2mv，起點為其他位置時，沖量介于兩者之間，所以C選項錯誤，D選項正確。所以選AD.【點評】要注意動能和功是標量，而速度、動量和沖量是矢量。知識點二、單擺：1、引入：（1）講述故事：1862年，18歲的伽利略離開神學院進入比薩大學學習醫(yī)學，他的心中充滿著奇妙的幻想和對自然科學的無窮疑問，一次他在比薩大學忘掉了向上帝祈禱，雙眼注視著天花板上懸垂下來搖擺不定的掛燈，右手按著左手的脈搏，口中默默地數(shù)著數(shù)字，在一般人熟視無睹的現(xiàn)象中，他卻第一個明白了掛燈每擺動一次的時間是相等的，于是制作了單擺的模型，潛心研究了單擺的運動規(guī)律，給人類奉獻了最初的能準確計時的儀器。2、什么是單擺：（1）如果懸掛小球的細線的伸縮和質(zhì)量可以忽略，線長又比球的直徑大得多（質(zhì)點），這樣的裝置叫單擺。（2）理解： 懸點：固定; 擺球：體積小、質(zhì)量大線長比球的直徑大得多，可把擺球當作一個質(zhì)點，只有質(zhì)量無大小，懸線的長度就是擺長. 細線：不可伸縮、質(zhì)量不計、較長線的伸縮和質(zhì)量可以忽略使擺線有一定的長度而無質(zhì)量，質(zhì)量全部集中在擺球上. 空氣等產(chǎn)生的阻力可以忽略不計；（3）單擺是一種理想化模型?！踞尷?】以下各裝置中，哪個作為單擺更合適 D A1m長的橡皮繩上掛一個鐵球B1m長的鐵絲上掛一個乒乓球C0.3m長的細線下掛一個大鋼球D1m長的細線下掛一個小鋼球【解析】【點評】3、單擺的擺動：（1）當擺球靜止于O點時，擺球受到的重力G和懸線的拉力F彼此平衡，O點就是單擺的平衡位置.（2）單擺的擺動：（3）以懸掛點為圓心在豎直平面內(nèi)做圓弧運動（擺球以平衡位置O為中心振動）。（4）擺球沿著以平衡位置O為中點的一段圓弧做往復運動，這就是單擺的振動.【釋例1】【解析】【點評】4、關于單擺的回復力：（1）如圖所示，擺球受重力mg和繩子拉力F兩個力的作用，將重力按切線方向和徑向方向正交分解，則繩子的拉力T與重力的徑向分量的合力提供了擺球做圓周運動所需的向心力，而重力的切向分力F提供了擺球振動所需的回復力Fmgsin OmgPQ（2）設單擺的擺長為l，在最大偏角很小的條件下，擺球?qū)點的位移x的大小與角所對應的弧長、角所對應的弦長都近似相等，即x=若偏角用弧度表示，則由數(shù)學關系知sin 所以重力沿切向的分力Fmgsin mg令k，則Fkx因為F的方向可認為與x方向相反，則F回kx由此可見單擺的偏角很小條件下的振動為簡諧運動.(3)單擺振動的回復力是重力沿切線方向的分力，不能說成是重力和拉力的合力。(4)在左右兩邊最高點，速度為零，向心力為零，回復力最大；（5）在平衡位置振子所受回復力是零，但合力是向心力，指向懸點，不為零，F(xiàn)向=?！踞尷?】關于單擺做簡諧運動的回復力正確的說法是 BCD A就是振子所受的合外力B振子所受合外力在振子運動方向的分力C振子的重力在運動方向的分力D振子經(jīng)過平衡位置時回復力為零【解析】【點評】【釋例2】一只單擺正在平衡位置O點附近擺動（最大擺角為） ，如圖所示，則： 擺球此時所受的回復力是_； 擺球經(jīng)過平衡位置時的速率是_； 擺球經(jīng)過平衡位置時細線的拉力是 _.【解析】（1）mg sin（2）（3）3mg - 2mg cos【點評】5、單擺振動的周期：（1）伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運動的等時性，荷蘭物理學家惠更斯（16291695）研究了單擺的擺動，定量得到：單擺的周期，即單擺振動時具有如下規(guī)律： 單擺的振動周期與振幅的大小無關單擺的等時性。 單擺的振動周期與擺球的質(zhì)量無關。 單擺的振動周期與擺長的平方根成正比。其中L為擺長，表示從懸點到擺球質(zhì)心的距離，要區(qū)分擺長和擺線長。 單擺的振動周期與重力加速度的平方根成反比。單擺周期公式中的g是單擺所在地的重力加速度 單擺的周期為單擺的固有周期，相應地為單擺的固有頻率 單擺的周期公式可以由簡諧運動的周期公式，以代入而得到 單擺的周期公式在最大偏角5時成立（達5時，與實際測量值的相對誤差為0.01）【釋例1】甲、乙兩個單擺放在同一個地方，若其擺長之比為 l1：l2= 4：9，則它們的周期之比T1：T2為_ ，如果在一分鐘內(nèi)甲擺動30次，則乙擺動_次?！窘馕觥?：3;20【點評】【釋例2】（2000春季高考8）已知在單擺a完成10次全振動的時間內(nèi)，單擺b完成6次全振動，兩擺長之差為1.6m.則兩單擺擺長la與lb分別為( B ）A、la =2.5m， lb =0.9mB、la =0.9m， lb =2.5mC、la =2.4m， lb =4.0mD、 la =4.0m， lb =2.4m【解析】【點評】【釋例3】（2009上海物理4）做簡諧振動的單擺擺長不變，若擺球質(zhì)量增加為原來的4倍，擺球經(jīng)過平衡位置時速度減小為原來的1/2，則單擺振動的（ C ）A頻率、振幅都不變B頻率、振幅都改變C頻率不變、振幅改變D頻率改變、振幅不變【解析】由單擺的周期公式，可知，單擺擺長不變，則周期不變，頻率不變；振幅A是反映單擺運動過程中的能量大小的物理量，由可知，擺球經(jīng)過平衡位置時的動能不變，因此振幅改變，所以C正確?！军c評】6、單擺的應用：（1）利用單擺可測定當?shù)氐闹亓铀俣萭： 原理：由單擺周期公式得： 測量：用米尺（最小分度為lmm）測出擺長L（懸點到擺球中心的距離）；用秒表測出單擺完成3050次全振動所用的時間t得到T，擺長一般為1m左右，測周期的計時以擺球經(jīng)過平衡位置時開始【釋例1】（2006成都零診）在“用單擺測定重力加速度”的實驗中，用毫米刻度尺測得懸線長為98.00cm，用10分度的游標卡尺測擺球的直徑時示數(shù)如右圖所示，則該單擺的擺長為_cm。 【解析】【點評】【釋例2】一學生用單擺測當?shù)氐闹亓铀俣葧r，在掛好單擺后，在擺角小于5的條件下，測得單擺的振動周期為T1；再使擺長增加l ，仍在擺角小于5的條件下，測得單擺的振動周期為T2，由此，可計算出當?shù)氐闹亓铀俣戎?g = ?！窘馕觥俊军c評】（2）擺鐘問題： 單擺的一個重要應用就是利用單擺振動的等時性制成擺鐘。 在計算擺鐘類的問題時，利用以下方法比較簡單：在一定時間內(nèi)，擺鐘走過的格子數(shù)n與頻率f成正比（n可以是分鐘數(shù)，也可以是秒數(shù)、小時數(shù)），再由頻率公式可以得到： 擺鐘是靠調(diào)整擺長而改變周期, 使擺鐘的走時與標準時間同步 周期為2s的單擺叫做秒擺【釋例1】有一擺鐘，平時走時準確，搬家后發(fā)現(xiàn)它變慢了，為重新使其走時準確，下面辦法中正確的是（A） A稍微調(diào)整擺長，使其變短B稍微調(diào)整擺長，使其變長C適當增加擺錘質(zhì)量D將指針適當往前撥動 【解析】【點評】【例題2】一只計時準確的擺鐘從甲地拿到了乙地，它的鐘擺擺動加快了，則下列對此現(xiàn)象的分析及調(diào)準方法的敘述正確的是( C )A.g甲g乙，將擺長適當增長B.g甲g乙，將擺長適當縮短C.g甲g乙，將擺長適當增長D.g甲g乙，將擺長適當縮短【解析】鐘擺擺動加快，周期變小，由于T2可知l一定時，g增大，則T變小，所以g甲g乙，要使T不變，應適當增長擺長l.【點評】【例題3】某擺鐘，當其擺長為l1時，在一段時間內(nèi)