2018屆一輪復習蘇教版------平面向量的綜合應用-----教案.docx

1.向量在平面幾何中的應用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題向量共線定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cos (為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量長度問題數(shù)量積的定義|a|，其中a(x，y)，a為非零向量(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟：平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題.2.向量與相關(guān)知識的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))，解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題.【知識拓展】1.若G是ABC的重心，則0.2.若直線l的方程為AxByC0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(B，A)與直線l平行.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)若，則A，B，C三點共線.()(2)若ab0，則a和b的夾角為銳角；若ab0，則a和b的夾角為鈍角.()(3)在ABC中，若0，則ABC為鈍角三角形.()(4)已知平面直角坐標系內(nèi)有三個定點A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若動點P滿足：t()，tR，則點P的軌跡方程是xy10.()1.已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，則|2ab|的最大值為_.答案4解析設(shè)a與b夾角為，|2ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20,16，|2ab|0,4.|2ab|的最大值為4.2.設(shè)O是ABC內(nèi)部一點，且2，則AOB與AOC的面積之比為_.答案12解析設(shè)D為AC的中點，如圖所示，連結(jié)OD，則2.又2，所以，即O為BD的中點，從而容易得AOB與AOC的面積之比為12.3.(2016泰州模擬)平面直角坐標系xOy中，若定點A(1,2)與動點P(x，y)滿足4，則點P的軌跡方程是_(填“內(nèi)心”、“外心”、“重心”或“垂心”).答案x2y40解析由4，得(x，y)(1,2)4，即x2y4.4.在ABC中，M是BC的中點，AM1，點P在AM上且滿足2，則()_.答案解析因為M是BC的中點，所以2，所以().5.如圖，ABC是邊長為2的等邊三角形，P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則()min_.答案1解析取AB的中點D，連結(jié)CD、CP(圖略).所以()()()2(2)22176cos，當cos，1時，取得最小值1.題型一向量在平面幾何中的應用例1(1)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60，E為CD的中點.若1，則AB_.(2)已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足()，(0，)，則點P的軌跡一定通過ABC的_.(填“內(nèi)心”“外心”“重心”或“垂心”)答案(1)(2)重心解析(1)在平行四邊形ABCD中，取AB的中點F，則，又，()()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.(2)由原等式，得()，即()，根據(jù)平行四邊形法則，知是ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應向量的2倍，所以點P的軌跡必過ABC的重心.引申探究在本例(2)中，若動點P滿足，(0，)，則點P的軌跡一定通過ABC的_.(填“內(nèi)心”“外心”“重心”“垂心”)答案內(nèi)心解析由條件，得，即，而和分別表示平行于，的單位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以點P的軌跡必過ABC的內(nèi)心.思維升華向量與平面幾何綜合問題的解法(1)坐標法把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，則有關(guān)點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進行求解.(1)在ABC中，已知向量與滿足()0，且，則ABC的形狀為_三角形.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動點，則|3|的最小值為_.答案(1)等邊(2)5解析(1)，分別為平行于，的單位向量，由平行四邊形法則可知為BAC的平分線.因為()0，所以BAC的平分線垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，又0BAC，故BAC，所以ABC為等邊三角形.(2)以D為原點，分別以DA，DC所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)DCa，DPy. 則D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，(2，y)，(1，ay)，則3(5,3a4y)，即|3|225(3a4y)2，由點P是腰DC上的動點，知0ya.因此當ya時，|3|2的最小值為25.故|3|的最小值為5.題型二向量在解析幾何中的應用例2(1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A、B、C三點共線，當k0時，若k為直線的斜率，則過點(2，1)的直線方程為_.(2)設(shè)O為坐標原點，C為圓(x2)2y23的圓心，且圓上有一點M(x，y)滿足0，則_.答案(1)2xy30(2)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0可知k2，則過點(2，1)且斜率為2的直線方程為y12(x2)，即2xy30.(2)0，OMCM，OM是圓的切線，設(shè)OM的方程為ykx，由，得k，即.思維升華向量在解析幾何中的“兩個”作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.(2)工具作用：利用abab0(a，b為非零向量)，abab(b0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法.(2016鹽城模擬)如圖所示，半圓的直徑AB6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則()的最小值為_.答案解析圓心O是直徑AB的中點，2，()2，與共線且方向相反，當大小相等時，乘積最小.由條件知，當POPC時，最小值為2.題型三向量的其他應用命題點1向量在不等式中的應用例3已知x，y滿足若(x,1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，則實數(shù)a的值是_.答案解析因為(x,1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，觀察圖象可知，當目標函數(shù)z2xy過點C(1,1)時，zmax2113，目標函數(shù)z2xy過點F(a，a)時，zmin2aa3a，所以383a，解得a.命題點2向量在解三角形中的應用例4在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若20a15b12c0，則ABC最小角的正弦值等于_.答案解析20a15b12c0，20a()15b12c0，(20a15b)(12c20a)0，與不共線，ABC最小角為角A，cos A，sin A.思維升華利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，解題時通過定義或坐標運算進行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化.(2016揚州模擬)如圖，在同一平面內(nèi)，點A位于兩平行直線m，n的同側(cè)，且A到m，n的距離分別為1,3.點B，C分別在m，n上，|5，則的最大值是_.答案解析方法一以直線n為x軸，過A且垂直于n的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，則A(0,3)，B(x1，2)，C(x2,0)，從而(x1，1)，(x2，3)，則x1x23，又因為|5，即5，故(x1x2)294x1x2，從而x1x2，此時x1x23，當且僅當x1x2時等號成立. 方法二設(shè)P為BC的中點，則2，從而由|5得|，又()()222，因為|2，所以21，故1，當且僅當|2時等號成立.三審圖形抓特點典例(2016蘇州一模)已知A，B，C，D是函數(shù)ysin(x)一個周期內(nèi)的圖象上的四個點，如圖所示，A，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點E對稱，在x軸上的投影為，則，的值分別為_.解析由E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，作點C的對稱點M，作MFx軸，垂足為F，如圖.B與D關(guān)于點E對稱，在x軸上的投影為，知OF.又A，所以AF，所以2.同時函數(shù)ysin(x)圖象可以看作是由ysin x的圖象向左平移得到，故可知，即.答案2，1.(教材改編)已知平面向量a，b，滿足|a|，|b|2，ab3，則|a2b|_.答案解析由題意可得|a2b|.2.(教材改編)已知|a|1，|b| ，且a(ab)，則向量a與向量b的夾角為_.答案解析a(ab)，a(ab)a2ab0，aba2，|a|1，|b|，cosa，b，又a，b0，向量a與向量b的夾角為.3.(2016南京模擬)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)且ab，則sin 2_.答案解析由ab得cos 2sin 0，cos 2sin ，又sin2cos21，5sin21，sin2，cos2，sin 22sin cos cos2.4.設(shè)ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，若mn1cos(AB)，則C_.答案解析依題意得sin Acos Bcos Asin B1cos(AB)，sin(AB)1cos(AB)，sin Ccos C1,2sin(C)1，sin(C).又C0，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|.9.設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于_.答案2解析.因為()2，所以的最大值為2.10.(2016常州期末)如圖，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，動點P在邊BC上，且滿足mn(m，n均為正實數(shù))，則的最小值為_.答案解析方法一建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，C(1,4).又kBC，故BC：y(x4).又mn，(4,0)，(0,4)，所以(4m,4n)，故P(4m,4n)，又點P在直線BC上，即3n4m4，即4()(3n4m)()77274，所以()min，當且僅當即m42，n時取等號(因為m，n均為正實數(shù)).方法二因為mn，所以mn()mn(m)n.又C，P，B三點共線，故mn1，即m1，以下同方法一.11.已知向量a(sin()，3)，b(1,4cos )，(0，).(1)若ab，求tan 的值；(2)若ab，求的值.解(1)因為ab，所以sin()12cos 0，即sin cos 12cos 0，即sin cos 0，又由題意得cos 0，所以tan .(2)若ab，則4cos sin()3，即4cos (sin cos )3，所以sin 2cos 22.所以sin(2)1.因為(0，)，所以2(，)，所以2，即.12.已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值.(1)證明由題意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因為a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)解因為ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos()，由0，得0，又0，所以，.13.在ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m(cos A，sin A)，向量n(sin A，cos A)，若|mn|2.(1)求內(nèi)角A的大??；(2)若b4，且ca，求ABC的面積.解(1)|mn|2(cos Asin A)2(sin Acos A)242(cos Asin A)44cos(A).44cos(A)4，cos(A)0.A(0，)，A，A.(2)由余弦定理知：a2b2c22bccos A，即a2(4)2(a)224acos，解得a4，c8.SABCbcsin A4816.1