2019年四年級數學數的整除性復習2.doc

2019年四年級數學數的整除性復習2我們在三年級已經學習了能被2，3，5整除的數的特征，這一講我們將討論整除的性質，并講解能被4，8，9整除的數的特征。數的整除具有如下性質：性質1 如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數一定能被丙數整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質2 如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差也一定能被這個自然數整除。例如，21與15都能被3整除，那么2115及21-15都能被3整除。性質3 如果一個數能分別被兩個互質的自然數整除，那么這個數一定能被這兩個互質的自然數的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質，那么126能被9763整除。利用上面關于整除的性質，我們可以解決許多與整除有關的問題。為了進一步學習數的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數字特征列出來：（1）一個數的個位數字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數就能被2整除。（2）一個數的個位數字如果是0或5，那么這個數就能被5整除。（3）一個數各個數位上的數字之和如果能被3整除，那么這個數就能被3整除。（4）一個數的末兩位數如果能被4（或25）整除，那么這個數就能被4（或25）整除。（5）一個數的末三位數如果能被8（或125）整除，那么這個數就能被8（或125）整除。（6）一個數各個數位上的數字之和如果能被9整除，那么這個數就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年級學過的內容，（4）（5）（6）是本講要學習的內容。因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質1知，整百的數都能被4（或25）整除。因為任何自然數都能分成一個整百的數與這個數的后兩位數之和，所以由整除的性質2知，只要這個數的后兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。類似地可以證明（5）。（6）的正確性，我們用一個具體的數來說明一般性的證明方法。837800307810031078（991）3（91）789983937（89939）（837）。因為99和9都能被9整除，所以根據整除的性質1和性質2知，（8x993x9）能被9整除。再根據整除的性質2，由（837）能被9整除，就能判斷837能被9整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個數除以4，8，9的余數：（4）一個數除以4的余數，與它的末兩位除以4的余數相同。（5）一個數除以8的余數，與它的末三位除以8的余數相同。（6）一個數除以9的余數，與它的各位數字之和除以9的余數相同。例1 在下面的數中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。解：能被4整除的數有7756，3728，8064；能被8整除的數有3728，8064；能被9整除的數有234，8865，8064。例2 在四位數562中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？解：如果562能被9整除，那么56213應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除；如果562能被8整除，那么62應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除；如果562能被4整除，那么2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。到現在為止，我們已經學過能被2，3，5，4，8，9整除的數的特征。根據整除的性質3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數能否被6整除，因為623，2與3互質，所以如果這個數既能被2整除又能被3整除，那么根據整除的性質3，可判定這個數能被6整除。同理，判斷一個數能否被12整除，只需判斷這個數能否同時被3和4整除；判斷一個數能否被72整除，只需判斷這個數能否同時被8和9整除；如此等等。例3 從0，2，5，7四個數字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數，并將這些數從小到大進行排列。解：因為組成的三位數能同時被2，5整除，所以個位數字為0。根據三位數能被3整除的特征，數字和270與570都能被3整除，因此所求的這些數為270，570，720，750。例4 五位數能被72整除，問：A與B各代表什么數字？分析與解：已知能被72整除。因為7289，8和9是互質數，所以既能被8整除，又能被9整除。根據能被8整除的數的特征，要求能被8整除，由此可確定B6。再根據能被9整除的數的特征，的各位數字之和為A329BA3f296A20，因為lA9，所以21A2029。在這個范圍內只有27能被9整除，所以A7。解答例4的關鍵是把72分解成89，再分別根據能被8和9整除的數的特征去討論B和A所代表的數字。在解題順序上，應先確定B所代表的數字，因為B代表的數字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數字確定下來，A所代表的數字就容易確定了。例5 六位數是6的倍數，這樣的六位數有多少個？分析與解：因為623，且2與3互質，所以這個整數既能被2整除又能被3整除。由六位數能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數能被3整除，推知3ABABA33A2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9這4個值。由于B可以取4個值，A可以取5個值，題目沒有要求AB，所以符合條件的六位數共有5420（個）。例6 要使六位數能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代表什么數字？分析與解：因為3649，且4與9互質，所以這個六位數應既能被4整除又能被9整除。六位數能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使這個六位數盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數的各位數字之和為12BC。它應能被9整除，因此BC6或BC15。因為B，C應盡量小，所以BC6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應取B1，C5。當A=0，B=1，C5時，六位數能被36整除，而且所得商最小，為150156364171。附送：2019年四年級數學數的整除性練習題1這一講主要講能被11整除的數的特征。一個數從右邊數起，第1，3，5，位稱為奇數位，第2，4，6，位稱為偶數位。也就是說，個位、百位、萬位是奇數位，十位、千位、十萬位是偶數位。例如9位數768325419中，奇數位與偶數位如下圖所示：能被11整除的數的特征：一個數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（大數減小數）如果能被11整除，那么這個數就能被11整除。例1 判斷七位數1839673能否被11整除。分析與解：奇數位上的數字之和為1363=13，偶數位上的數字之和為897=24，因為24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。根據能被11整除的數的特征，也能求出一個數除以11的余數。一個數除以11的余數，與它的奇數位上的數字之和減去偶數位上的數字之和所得的差除以11的余數相同。如果奇數位上的數字之和小于偶數位上的數字之和，那么應在奇數位上的數字之和上再增加11的整數倍，使其大于偶數位上的數字之和。例2 求下列各數除以11的余數：（1）41873； （2）296738185。分析與解：（1）（483）（17）11=71107，所以41873除以11的余數是7。（2）奇數位之和為26315=17，偶數位之和為978832。因為1732，所以應給17增加11的整數倍，使其大于32。（17+112）-327，所以296738185除以11的余數是7。需要說明的是，當奇數位數字之和遠遠小于偶數位數字之和時，為了計算方便，也可以用偶數位數字之和減去奇數位數字之和，再除以11，所得余數與11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）1114，所求余數是11-4=7。例3 求除以11的余數。分析與解：奇數位是101個1，偶數位是100個9。（9100-1101）11=79911=727，11-7=4，所求余數是4。例3還有其它簡捷解法，例如每個“19”奇偶數位上的數字相差9-18， 奇數位上的數字和與偶數位上的數字和相差899=8911，能被11整除。所以例3相當于求最后三位數191除以11的余數。例4 用3，3，7，7四個數碼能排出哪些能被11整除的四位數？解：只要奇數位和偶數位上各有一個3和一個7即可。有3377，3773，7337，7733。例5 用19九個數碼組成能被11整除的沒有重復數字的最大九位數。分析與解：最大的沒有重復數字的九位數是987654321，由（97531）-（8642）5知，987654321不能被11整除。為了保證這個數盡可能大，我們盡量調整低位數字，只要使奇數位的數字和增加3（偶數位的數字和自然就減少3），奇數位的數字之和與偶數位的數字之和的差就變?yōu)?32=11，這個數就能被11整除。調整“4321”，只要4調到奇數位，1調到偶數位，奇數位就比原來增大3，就可達到目的。此時，4，3在奇數位，2，1在偶數位，后四位最大是2413。所求數為987652413。例6 六位數能被99整除，求A和B。分析與解：由99=911，且9與11互質，所以六位數既能被9整除又能被11整除。因為六位數能被9整除，所以A+2+8+7+5+B22+A+B應能被9整除，由此推知AB