幾何畫板輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué).doc

幾何畫板輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)浙江省金華市江南中學(xué) 朱勝泉【摘要】“幾何畫板”是一個(gè)動(dòng)態(tài)討論和研究數(shù)學(xué)問題的工具，它可以模擬知識(shí)的發(fā)生過程，可以設(shè)計(jì)成一種實(shí)驗(yàn)課。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，利用“幾何畫板”輔助教學(xué)往往能起到事半功倍的效果。因此“幾何畫板”對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、探索能力起著不可忽視的作用?！娟P(guān)鍵詞】幾何畫板 高中數(shù)學(xué) 輔助教學(xué)幾何畫板為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了現(xiàn)代化的手段。它能使幾何圖形產(chǎn)生動(dòng)態(tài)的變化，以揭示圖形內(nèi)在的聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)情境使學(xué)生“看到”某些概念的形成過程，把抽象概念形象化，從而有利于學(xué)生的理解，提高教學(xué)效果。幾何畫板是數(shù)形結(jié)合方法的有效平臺(tái)。它還是一個(gè)動(dòng)態(tài)討論和研究數(shù)學(xué)問題的工具，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力，創(chuàng)新能力有著不可忽視的作用。越來越多的教師和學(xué)生已經(jīng)感覺到了幾何畫板給中學(xué)數(shù)學(xué)帶來了一些變化。1.應(yīng)用“幾何畫板”使不容易講清的數(shù)學(xué)概念講清楚幾何畫板是一個(gè)教學(xué)工具，給數(shù)學(xué)教學(xué)提供了現(xiàn)代化的教學(xué)手段。以往不容易講清楚的教學(xué)概念適當(dāng)使用幾何畫板，可能容易使學(xué)生理解，從而提高了教學(xué)效果。 解析幾何中有些概念容易混淆，需要辨析。橢圓的離心角（下圖以O(shè)A為終邊的角）與旋轉(zhuǎn)角（橢圓的半徑與x軸的正半軸所成的角）是學(xué)生容易混淆的兩個(gè)概念。幾何畫板能動(dòng)態(tài)地顯示這兩角的關(guān)系。如下圖，當(dāng)您緩慢拖動(dòng)主動(dòng)點(diǎn)A繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，左上角顯示出這兩個(gè)角的大小都在改變?？梢允智宄乜闯觯涸诘谝幌笙迺r(shí)，XOM；當(dāng)A拖動(dòng)到y(tǒng)軸的正向時(shí)，=XOM=90o;繼續(xù)拖動(dòng)XOM(A在第二象限)；當(dāng)A拖動(dòng)到y(tǒng)軸的負(fù)向時(shí)，=XOM=180o;不必繼續(xù)，一個(gè)高二的學(xué)生自然知道：與XOM有四次“相等”，其他都不等；可以用橢圓離心角的范圍來表示橢圓弧。2.用幾何畫板創(chuàng)設(shè)情境，形成概念數(shù)學(xué)概念是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是通過一定量具體的實(shí)際例子，對(duì)所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行抽象概括而成的.利用幾何畫板提供給學(xué)生一些動(dòng)態(tài)的感性材料，呈現(xiàn)事物形成、變化、發(fā)展的全過程，凸現(xiàn)感知對(duì)象整體和各個(gè)局部以及它們之間的聯(lián)系，便于學(xué)生形成清晰的表象，揭示感知對(duì)象的本質(zhì)特征。例1：教師利用在課前制作好的幾何畫板畫出的的圖象。給學(xué)生觀察下圖：然后拖動(dòng)點(diǎn)A，改變點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的大小也就是改變參數(shù)的大小，這時(shí)圖象跟著變化起來。（適當(dāng)請(qǐng)學(xué)生注意時(shí)的圖像正好是一條直線）需要時(shí)，還可以選中函數(shù)圖象，單擊顯示菜單的追蹤對(duì)象（或者按Ctrl+T）追蹤它，然后再拖動(dòng)點(diǎn)A,觀察隨的變化圖象分布情況。 ()追蹤圖像 ()追蹤圖像讓學(xué)生通過動(dòng)態(tài)的變換效果，從中總結(jié)出一般性的結(jié)論，再通過相關(guān)的習(xí)題強(qiáng)化訓(xùn)練，以進(jìn)一步在視覺上加深對(duì)結(jié)論的印象。這樣，可以利用“幾何畫板”制作的課件進(jìn)行拖拉演示，使學(xué)生通過想象和“幾何畫板”制作課件的演示，使很難理解的東西形象化、具體化，從而培養(yǎng)學(xué)生的想象能力。利用幾何畫板畫出函數(shù)圖象，并利用跟蹤功能感知、體會(huì)函數(shù)圖象的形成過程，歸納函數(shù)圖象的定義。幾何畫板動(dòng)態(tài)地展示了函數(shù)（）的圖象的形成過程，學(xué)生可以真實(shí)地看到函數(shù)的圖象實(shí)質(zhì)。3.用幾何畫板改善認(rèn)知環(huán)境；激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率計(jì)算機(jī)的交互性使學(xué)生有參與的機(jī)會(huì)，能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和學(xué)習(xí)興趣，使其學(xué)習(xí)起來輕松愉快。例2：我們?cè)谶M(jìn)行“三角函數(shù)線”的教學(xué)時(shí)這樣操作(如圖1)：首先要求學(xué)生測(cè)算出XOP的正弦、余弦、正切、余切函數(shù)值，接著再測(cè)算出點(diǎn)P、M、T、S的坐標(biāo)，并將這些數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)在屏幕上。其次拖動(dòng)點(diǎn)P(也可拖動(dòng)點(diǎn)A)，讓學(xué)生觀察。此時(shí)學(xué)生即可發(fā)現(xiàn)：無論怎樣改變點(diǎn)P的位置，yP、xM、yT、xS均分別等于XOP的正弦、余弦、正切、函數(shù)值。這樣為培養(yǎng)學(xué)生的觀察、想象、歸納等能力創(chuàng)設(shè)了極好的“情景”，改善了認(rèn)知環(huán)境，增強(qiáng)了教學(xué)的自主性和學(xué)生的參與性。4.應(yīng)用幾何畫板變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)應(yīng)用幾何畫板將圖形動(dòng)起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生從各個(gè)不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識(shí)，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。在講二面角的定義時(shí)（如圖2），當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)A所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動(dòng)有利于幫助學(xué)生建立空間觀念和空間想象力。在講棱臺(tái)的概念時(shí)，可以演示由棱錐分割成棱臺(tái)的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺(tái)都轉(zhuǎn)動(dòng)起來，使學(xué)生在直觀掌握棱臺(tái)的定義，并通過棱臺(tái)與棱錐的關(guān)系由棱錐的性質(zhì)得出棱臺(tái)的性質(zhì)的同時(shí)，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在講錐體的體積時(shí)，可以演示將三棱柱分割成三個(gè)體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問題的能力。在用祖暅原理推導(dǎo)球的體積時(shí)，運(yùn)用動(dòng)畫和軌跡功能作圖5，當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)O時(shí)，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動(dòng)，直觀美麗的畫面在學(xué)生學(xué)得知識(shí)的同時(shí)，給人以美的感受，創(chuàng)建一個(gè)輕松、樂學(xué)的氛圍。 5.應(yīng)用幾何畫板開展“數(shù)形結(jié)合”，變抽象為形象數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺少形時(shí)少直覺，形缺少數(shù)時(shí)難入微”?！皵?shù)形結(jié)合”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，用圖形解釋抽象的數(shù)學(xué)現(xiàn)象形象、直觀。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，有些知識(shí)太抽象，使學(xué)生只記住一些理論、符號(hào)、公式，而對(duì)具體事實(shí)及事物的本質(zhì)特征沒有完全感知，使感性與理性脫節(jié)。數(shù)學(xué)的抽象性往往是困擾學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大障礙，如何變抽象為形象，也一直是數(shù)學(xué)學(xué)科與信息技術(shù)整合的主要內(nèi)容之一。幾何畫板強(qiáng)大的計(jì)算、作圖功能以及個(gè)人電腦屏幕的的大尺寸、高分辨率為一些抽象的數(shù)學(xué)問題提供了直觀驗(yàn)證的可能，成為幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)抽象性的有力工具。例3：2006年浦東新區(qū)高考模擬卷（理）最后一題第（3）題：當(dāng)時(shí)，就函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)情況提出你的問題，并加以解決。（說明：函數(shù)有如下性質(zhì)：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增解題過程中可以利用；將根據(jù)提出和解決問題的不同層次區(qū)別給分。）圖6圖7圖8本題的結(jié)論是：當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖像有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖像有1個(gè)交點(diǎn)（具體解答從略）但在課后，雖然學(xué)生承認(rèn)結(jié)論的成立，但很多學(xué)生還是表現(xiàn)出難以信服的表情。有的同學(xué)雖然借助計(jì)算器計(jì)算有關(guān)數(shù)據(jù)得到了一定的直觀論證，但始終難以將時(shí)函數(shù)與的圖像的3個(gè)交點(diǎn)直觀的畫出來，迫切地吵著要我畫出直觀圖。究其原因，主要是手工畫圖誤差較大，即使TI圖形計(jì)算器，由于分辨率不高也不能達(dá)到很好的展示效果。為此，筆者借助幾何畫板自制課件：先作出點(diǎn)供參照；作連接原點(diǎn)和單位點(diǎn)的線段，在此線段上任取一點(diǎn)E，計(jì)算E點(diǎn)橫坐標(biāo)xE；利用“圖表”菜單“繪制函數(shù)”功能畫出函數(shù) 和的圖像；拖動(dòng)點(diǎn)E控制兩個(gè)函數(shù)的底xE在內(nèi)遞減變化。直觀地演示了當(dāng)時(shí)的1個(gè)交點(diǎn)（如圖6）、到當(dāng)時(shí)的一個(gè)切點(diǎn)（如圖7）、直到時(shí)的3個(gè)交點(diǎn)（如圖8）的整個(gè)過程，有效地驗(yàn)證了用數(shù)學(xué)方法解得的結(jié)論，同學(xué)們都露出了恍然大悟的微笑。6用幾何畫板能夠揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系靜態(tài)的圖形、圖像使原本相互聯(lián)系的關(guān)系可能割裂開來，不易揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，可能使學(xué)生只注意事物的局部而忽視整體，通過幾何畫板的演示可以克服這一缺陷。例4：在講授函數(shù)yAsin(x+)+b的圖像時(shí)，要用幾個(gè)課時(shí)的時(shí)間分別對(duì)A、k的不同取值做出圖象，然后再“觀察”總結(jié)，沒有動(dòng)態(tài)的演示，沒有更多的比較、更多的探索。yAsin(x十)中的變化時(shí)是一個(gè)曲線族。一般的傳統(tǒng)教學(xué)是取有限的幾個(gè)值，在同一坐標(biāo)系中分別作出它們的圖像，然后進(jìn)行歸納。現(xiàn)在，利用幾何畫板(如圖2)，只要學(xué)生用鼠標(biāo)拖動(dòng)A、，改變其中任意一個(gè)值，就可以看到函數(shù)圖像連續(xù)變化的過程。7.應(yīng)用幾何畫板啟發(fā)學(xué)生思維能力運(yùn)用幾何畫板分辨實(shí)質(zhì)，理解數(shù)學(xué)概念；突破難點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生思維。對(duì)容易混淆的數(shù)學(xué)概念使用計(jì)算機(jī)來認(rèn)知、辨析就會(huì)變得更加清晰，有助于學(xué)生區(qū)分及正確認(rèn)識(shí)和理解。推證三棱錐的體積公式是高中立體幾何的一個(gè)難點(diǎn)，沒有實(shí)物、沒有模型而憑空想象，是空間想象中最難的一種，是最高的思維境界。在教學(xué)的時(shí)候，如果給出實(shí)物讓學(xué)生去做實(shí)驗(yàn)，效果會(huì)好些；但如果僅有實(shí)物，則只可觀察外形，對(duì)于內(nèi)部結(jié)構(gòu)，以及如何用圖形來表示等問題都不是很容易解決的。利用幾何畫板就可以給學(xué)生找出解決問題的有效途徑(如圖3)，只要雙擊展開、復(fù)原等按扭，或者拖動(dòng)控點(diǎn)就能改變?nèi)庵耐庑危约皩?duì)圖形進(jìn)行分割、拼湊，既形象又直觀。在這一過程中，三棱錐與三棱柱的關(guān)系被幾何畫板淋漓盡致地動(dòng)態(tài)演示出來了。給學(xué)生以非常直觀的印象，達(dá)到了過目不忘、記憶深刻的效果，既幫助學(xué)生進(jìn)行正確的理解，也啟發(fā)了學(xué)生的思維。例5：已知點(diǎn)A(3,4)、B(3,2)，過點(diǎn)P(2,1)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)。求直線l的斜率k和傾斜角的范圍。學(xué)生知道：直線l應(yīng)當(dāng)夾在直線PA與直線PB之間，因而需要先求得直線PA與直線PB的斜率和傾斜角分別為kPA1、kPB3，PA、PBarctan3然后寫出答案：arctan3l，1kl3或者3kl1(這是錯(cuò)誤的!)。并且他們總是想不通為什么正確答案是kl1或者kl3。原因是他們總是這樣理解的：因?yàn)橹本€l是連續(xù)運(yùn)動(dòng)的，所以它的傾斜角和斜率也都應(yīng)當(dāng)是連續(xù)變化的。為了說明這個(gè)問題，我們運(yùn)用了幾何畫板：讓學(xué)生動(dòng)手操作并認(rèn)真觀察，就能發(fā)現(xiàn)：當(dāng)直線的傾斜角為90時(shí)，直線的斜率是不存在的，所以盡管傾斜角在連續(xù)改變，但其斜率并不是連續(xù)變化的。這樣既消除了疑惑，又加深、加快了對(duì)知識(shí)的理解，提高了學(xué)習(xí)的效率。8.應(yīng)用幾何畫板參與課堂教學(xué)，創(chuàng)新教學(xué)模式“一支粉筆寫天下，三尺講臺(tái)說春秋”是以教師為中心的傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式。這種教學(xué)模式能夠充分地體現(xiàn)出教學(xué)中教的特性，有利于系統(tǒng)知識(shí)的傳授，但它的不足是沒有充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，不利于學(xué)生智能的發(fā)展和創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)。學(xué)生不能根據(jù)自己的興趣、愛好、能力和程度來選取信息、選擇學(xué)習(xí)途徑、確定學(xué)習(xí)內(nèi)容和數(shù)量并隨時(shí)調(diào)整自己的學(xué)習(xí)過程。另一種是師生合作的學(xué)習(xí)模式。教師的作用在于組織、引導(dǎo)、點(diǎn)拔；學(xué)生要通過自己的活動(dòng)，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、抽象概括等手段，提出假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)、獲取知識(shí)。它充分發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，也體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行教學(xué)就能充分體現(xiàn)出師與生以及生與生的合作和交流。同時(shí)，也進(jìn)一步融洽了師生關(guān)系。利用幾何畫板進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師與學(xué)生之間的關(guān)系發(fā)生了變化：在網(wǎng)絡(luò)上活動(dòng)的教師和學(xué)生一起成了學(xué)習(xí)者。在幾何畫板中學(xué)習(xí)的學(xué)生把教師看成學(xué)習(xí)過程的參與者，而不僅僅是指導(dǎo)者。學(xué)生在這種環(huán)境中對(duì)教師的懼怕心理消失了，主觀能動(dòng)性得到了發(fā)揮，他們不僅可以與同學(xué)進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，同時(shí)也可以同老師探討問題，從而形成了交互學(xué)習(xí)的氛圍。9.應(yīng)用幾何畫板給學(xué)習(xí)困難的學(xué)生提供反復(fù)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，教師很難突破時(shí)間和空間的限制來組織教學(xué)。由于學(xué)生在知識(shí)背景、學(xué)習(xí)方法、接受能力等多方面的差異，教師只能針對(duì)大多數(shù)學(xué)生所能理解的水平來講課，學(xué)習(xí)好的學(xué)生“吃不飽”，學(xué)習(xí)差的學(xué)生“吃不了”，問題也不能及時(shí)地反饋，影響了教學(xué)效果，課堂學(xué)習(xí)的個(gè)別化幾乎無法實(shí)現(xiàn)。為了改變這種狀況，在教學(xué)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，利用自制課件在學(xué)校多媒體網(wǎng)絡(luò)教室進(jìn)行教學(xué)(例1)。我首先要求學(xué)生對(duì)照教材進(jìn)行自學(xué)，然后在課堂上讓學(xué)生自行操作，隨意改變底數(shù)a的取值，并觀察圖象的變化情況，最后歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。這樣，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下自行選擇學(xué)習(xí)的方式、學(xué)習(xí)順序和學(xué)習(xí)進(jìn)度，真正實(shí)現(xiàn)了個(gè)別化教學(xué)。10.應(yīng)用幾何畫板做“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，開展數(shù)學(xué)研究例6：直線GE是過平面任意一點(diǎn)G和橢圓上任意一點(diǎn)E，求作直線和橢圓的交點(diǎn)F，在幾何畫板中，不能直接找出直線和橢圓的交點(diǎn)，這里通過幾何的思路找出直線和橢圓交點(diǎn)的一般方法。幾何構(gòu)造：（1）思路分析先請(qǐng)了解一下橢圓弦的幾何性質(zhì)。如圖：EF是橢圓的弦，其延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于P，F(xiàn)F1的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于Q，則F1P平分QF1E。想一想：如果已知P、E、F1,你能否作出點(diǎn)F？如果您注意到點(diǎn)F是兩條直線的交點(diǎn)，只要作E關(guān)于直線QF1的對(duì)稱點(diǎn)，則直線PE和直線的交點(diǎn)就是F。我們就用這樣的想法來構(gòu)造直線與橢圓的交點(diǎn)。（2）操作步驟：畫橢圓； 畫直線GE, E為橢圓上一點(diǎn)； 畫橢圓的準(zhǔn)線；度量點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，并把度量結(jié)果的標(biāo)簽分別改為a=5.57；度量點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，并把度量結(jié)果的標(biāo)簽分別改為b=2.78；計(jì)算并把度量結(jié)果的標(biāo)簽分別改為c=4.82；再計(jì)算，作出橢圓的左準(zhǔn)線；畫直線GE與橢圓的另一交點(diǎn)；畫線段F1P，點(diǎn)P是直線GE和準(zhǔn)線的交點(diǎn)對(duì)點(diǎn)E作反射變換（線段F1P）得到畫直線（，F(xiàn)1）畫交點(diǎn)F（直線GE，直線F1）（3）拓展研究利用這個(gè)圖形，可以研究弦EF中點(diǎn)G的軌跡，作E點(diǎn)的動(dòng)畫并跟蹤D點(diǎn)，得下圖拓展之二：線段EF上任一點(diǎn)的軌跡。事實(shí)證明，幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，能有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)概念變得直觀、形象，使學(xué)生從害怕、厭惡數(shù)學(xué)變成對(duì)數(shù)學(xué)喜愛并樂意學(xué)數(shù)學(xué)，進(jìn)而通過做“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”去模擬、驗(yàn)證、探索。幾何畫板學(xué)習(xí)容易，操作簡(jiǎn)單，功能強(qiáng)大，是高中數(shù)學(xué)教育中很有用的輔助教學(xué)工具。它能為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一個(gè)理想的教學(xué)情景和認(rèn)知環(huán)境，具有傳統(tǒng)教學(xué)方法無法比擬的優(yōu)勢(shì)。使用幾何畫板演示教學(xué)內(nèi)容，能增強(qiáng)教學(xué)的直觀性，使課堂教學(xué)更加形象和生動(dòng)。能將抽象的數(shù)學(xué)定理、空間圖形、變化關(guān)系通過具體的感性的信息表現(xiàn)出來，不僅能給