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文檔簡介
第 1 頁(共 17 頁) 2015年四川省雅安市高二(下)期末數(shù)學試卷(文科) 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的 1設集合 S=x|x 3, T=x| 6 x 1,則 S T=( ) A 6, +) B( 3, +) C 6, 1 D( 3, 1 2設 i 是虛數(shù)單位,則復數(shù) 在復平面內所對應的點位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3命題 “ x R,總有 0”的否定是( ) A “ xR,總有 0” B “ x R,總有 0” C “ x R,使得 0” D “ x R,使得 0” 4 “ “”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 5已知函數(shù) 則 的值是( ) A 10 B C 2 D 5 6閱讀程序框圖,若使輸出的結果不大于 11,則輸入的整數(shù) i 的最大值為( ) A 3 B 4 C 5 D 6 7已知函數(shù) y=2x+ ) 函數(shù)的最小正周期 T 和它的圖象的一條對稱軸方程是( ) A T=2,一條對稱軸方程為 x= B T=2,一條對稱軸方程為 x= C T=,一條對稱軸方程為 x= 第 2 頁(共 17 頁) D T=,一條對稱軸方程為 x= 8為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系,隨機調查了該社區(qū) 5 戶家庭,得到如表統(tǒng)計數(shù)據(jù)表: 收入 x(萬元) 出 y(萬元) 據(jù)上表可得回歸直線方程 = x+ ,其中 = = ,據(jù)此估計,該社區(qū)一戶收入為 15 萬元家庭年支出為( )萬元 A 已知函數(shù) f( x)的部分圖象如圖所示,則 f( x)的解析式可能為( ) A f( x) =2 ) B f( x) = 4x+ ) C f( x) =2 )D f( x) =24x+ ) 10設復數(shù) z=( x 1) +( y ) i,( x, y R),若 |z| 2,則 y x 的概率為( ) A B C D 11函數(shù) f( x) =( x ) x 且 x 0)的圖象可能為( ) A B C D 12已知定義在 R 上的函數(shù) f( x)滿足 f( 1) =1,且 f( x)的導數(shù) f( x)在 R 上恒有 f( x) ,則不等式 f( x) x+ 的解集為( ) A( 1, +) B( , 1) C( 1, 1) D( , 1) ( 1, +) 二、填空題 :本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分。請將答案填在答題卷相應位置 13計算 = 14某電子商務公司對 1000 名網(wǎng)絡購物者 2015 年度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額(單位:萬元)都在區(qū)間 ,其頻率分布直方圖如圖所示在這些購物者中,消費金額在區(qū)間 的購物者的人數(shù)為 第 3 頁(共 17 頁) 15函數(shù) y=其極值點處的切線方程為 16將邊長為 1m 的正三角形薄鐵片,沿一 條平行于某邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記 s= ,則 s 的最小值是 三、解答題:本大題共 70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17( 1)求 )的值; ( 2)化簡: 18命題 p:關于 x 的不等式 0 對 x R 恒成立;命題 q:函數(shù) f( x) =( 5 2a) x 是減函數(shù),若 p q 為真, p q 為 假,求實數(shù) a 的取值范圍 19已知函數(shù) f( x) =x+ )( 0)的最小正周期為 ( 1)求 的值; ( 2)求函數(shù) f( x)在區(qū)間 0, 上的取值范圍 20已知函數(shù) f( x) =1 x) +x+3)( 0 a 1) ( 1)求函數(shù) f( x)的定義域; ( 2)求函數(shù) f( x)的零點; ( 3)若函數(shù) f( x)的最小值為 4,求 a 的值 21已知函數(shù) f( x) = x,其中( a R) ( 1)若 a=2,求曲線 y=f( x)在點( 1, f( 1)處的切線方程; ( 2)若函數(shù) y=f( x)有兩個極值點 求實數(shù) a 的取值范圍; 證明 f( 0 22 “開門大吉 ”是某電視臺推出的游戲節(jié)目選手面對 1 8 號 8 扇大門,依次按響門上的門鈴,門鈴會播放一段音樂(將一首經典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹),選手需正確回答出這首歌的名字, 方可獲得該扇門對應的家庭夢想基金在一次場外調查中,發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分為兩個年齡段: 20 30; 30 40(單位:歲),其猜對歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示 ( 1)寫出 2 2 列聯(lián)表;判斷是否有 90%的把握認為猜對歌曲名稱是否與年齡有關;說明你的理由;(下面的臨界值表供參考) 正誤 年齡 正確 錯誤 合計 20 30 第 4 頁(共 17 頁) 30 40 合計 P( 2)現(xiàn)計劃在這次場外調查中按 年齡段用分層抽樣的方法選取 6 名選手,并抽取 2 名幸運選手,求 2 名幸運選手中在 20 30 歲之間的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望 (參考公式: ,其中 n=a+b+c+d 為樣本容量) 第 5 頁(共 17 頁) 2015年四川省雅安市高二(下)期末數(shù)學試卷(文科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的 1設集合 S=x|x 3, T=x| 6 x 1,則 S T=( ) A 6, +) B( 3, +) C 6, 1 D( 3, 1 【考點】 并集及其運算 【分析】 根據(jù)并集的定義計算即可 【解答】 解: 集合 S=x|x 3, T=x| 6 x 1, S T= 6, +), 故選: A 2設 i 是虛數(shù)單位,則復數(shù) 在復平面內所對應的點位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析 】 直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù) ,求出復數(shù) 在復平面內所對應的點的坐標,則答案可求 【解答】 解:由 = , 則復數(shù) 在復平面內所對應的點的坐標為:( 1, 1),位于第一象限 故選: A 3命題 “ x R,總有 0”的否 定是( ) A “ xR,總有 0” B “ x R,總有 0” C “ x R,使得 0” D “ x R,使得 0” 【考點】 命題的否定 【分析】 直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可 【解答】 解:因為全稱命題的否定是特稱命題,所以,命題 “ x R,總有 0”的否定為: x R, 0 故選: C 4 “ “”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 由 可判斷出 第 6 頁(共 17 頁) 【解答】 解:由 “ “”的充分不必要條件 故選: A 5已知函數(shù) 則 的值是( ) A 10 B C 2 D 5 【考點】 函數(shù)的值 【分析】 本題求分段函 數(shù)的函數(shù)值,要弄清自變量是屬于哪個范圍,從而代入其相應的解析式 【解答】 解: 0, , 又 2 0, f( 2) = 即 故選 B 6閱讀程序框圖,若使輸出的結果不大于 11,則輸入的整數(shù) i 的最大值為( ) A 3 B 4 C 5 D 6 【考點】 程序框圖 【分析】 按照程序框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結果,據(jù)題目對輸出 s 的要求,求出 n 的最大值,據(jù)判斷框中 n 與 i 的關系求出 i 的最大值 【解答】 解:模擬程序的運行,可得: 經過第一次循環(huán)得到 S=2, n=1, 經過第二次循環(huán)得到 S=5, n=2, 經過第三次循環(huán)得到 S=10, n=3, 經過第四次循環(huán)得到 S=19, n=4, 輸出的結果不大于 11 n 的最大值為 2, i 的最大值為 3, 第 7 頁(共 17 頁) 故選: A 7已知函數(shù) y=2x+ ) 函數(shù)的最小正周期 T 和它的圖象的一條對稱軸方程是( ) A T=2,一條對稱軸方程為 x= B T=2,一條對稱軸方程為 x= C T=,一條對稱軸方程為 x= D T=,一條對稱軸方程為 x= 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用;正弦函數(shù)的圖象 【分析】 利用 二倍角的余弦公式變形、兩角差的正弦公式化簡解析式,由三角函數(shù)的周期公式求出函數(shù)的最小正周期 T,由正弦函數(shù)的對稱軸方程求出函數(shù)的對稱軸方程,即可得到答案 【解答】 解:由題意得, y=2x+ ) =1 2x+ ) = , 由 T= 得,函數(shù)的最小正周期是 , 由 得, , 當 k=0 時,一條對稱軸方程為 x= , 故選 D 8為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系,隨機調查了該社區(qū) 5 戶家庭,得到如表統(tǒng)計數(shù)據(jù)表: 收入 x(萬元) 出 y(萬元) 據(jù)上表可得回歸直線方程 = x+ ,其中 = = ,據(jù)此估計,該社區(qū)一戶收入為 15 萬元家庭年支出 為( )萬元 A 考點】 線性回歸方程 【分析】 計算樣本中心,代入回歸方程解出 ,得出回歸方程,利用回歸方程進行預測 【解答】 解: = =10, = =7 =7 10= 第 8 頁(共 17 頁) 所以回歸方程為: = 當 x=15 時, =15 故選 A 9已知函數(shù) f( x)的部分圖象如圖所示,則 f( x)的解析式可能為( ) A f( x) =2 ) B f( x) = 4x+ ) C f( x) =2 )D f( x) =24x+ ) 【考點】 由 y=x+)的部分圖象確定其解析式 【分析】 根據(jù)函數(shù)圖象求 出 A, T,求出 ,利用點( 0, 1)在曲線上,求出 ,得到解析式,判定選項即可 【解答】 解:設函數(shù) f( x) =x+),由函數(shù)的最大值為 2 知 A=2, 又由函數(shù)圖象知該函數(shù)的周期 T=4 ( ) =4, 所以 = ,將點( 0, 1)代入得 = , 所以 f( x) =2x+ ) =2x ) 故選 A 10設復數(shù) z=( x 1) +( y ) i,( x, y R),若 |z| 2,則 y x 的概率為( ) A B C D 【考點】 幾何概型 【分析】 首先由題意畫出圖形,分別求出圓的面積以及滿足 y x 的區(qū)域面積,利用幾何概型的概率公式解答 第 9 頁(共 17 頁) 【解答】 解:由 |z| 2,得到( x 1) 2+( y ) 2 4,對應的圖形為以( 1, )為圓心, 2 為半徑的圓,面積為 4;滿足如 y x 的是圖中陰影部分,面積為,如圖 所以所求概率為 = = ; 故選: D 11函數(shù) f( x) =( x ) x 且 x 0)的圖象可能為( ) A B C D 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除 取 x=,得到 f( ) 0,排除 C 【解答】 解: f( x) =( x+ ) x) =( x ) f( x), 函數(shù) f( x)為奇函數(shù), 函數(shù) f( x)的圖象關于原點對稱,故排除 A, B, 當 x= 時, f( ) =( ) 0,故排除 C, 故選: D 12已知定義在 R 上的函數(shù) f( x)滿足 f( 1) =1,且 f( x)的導數(shù) f( x)在 R 上恒有 f( x) ,則不等式 f( x) x+ 的解集為( ) 第 10 頁(共 17 頁) A( 1, +) B( , 1) C( 1, 1) D( , 1) ( 1, +) 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 【分析】 由題意,設 g( x) =f( x)( x+ ), x R;求出 g( x),判定 g( x)的單調性,由此求出不等式 f( x) x+ 的解集 【解答】 解:根據(jù)題意,設 g( x) =f( x)( x+ ), x R; g( x) =f( x) 0, g( x)在 R 上是單調減函數(shù); 又 g( 1) =f( 1)( + ) =0, 當 x 1 時, g( x) 0 恒成立, 即 f( x) x+ 的解集是( 1, +) 故選: A 二、填空題 :本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分。請將答案填在答題卷相應位置 13計算 = 20 【考點】 有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值;根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運算 【分析】 利用對數(shù)的商的運算法則及冪的運算法則求出值 【解答】 解: = 20 故答案為: 20 14某電子商務公司對 1000 名網(wǎng)絡購物者 2015 年度的消費情況進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)消費金額(單位:萬元)都在區(qū)間 ,其頻率分布直方圖如圖所示在這些購物者中,消費金額在區(qū)間 的購物者的人數(shù)為 600 【考點】 頻率分布直方圖 【分析】 頻率分布直方圖中每一個矩形的面積表示頻率,先算出頻率,在根據(jù)頻率和為 1,算出 a 的值,再求出消費金額在區(qū)間 的購物者的頻率,再求頻數(shù) 【解答】 解:由題意,根據(jù)直方圖的性質得( .5+a+ ,解得 a=3 第 11 頁(共 17 頁) 由直方圖得( 3+ 1000=600 故答案為: 600 15函數(shù) y=其極值點處的切線方程為 y= 【考點】 函數(shù)在某點取得極值的條件;利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 求出極值點,再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的方程 【解答】 解:依題解:依題意得 y=ex+ 令 y=0,可得 x= 1, y= 因此函數(shù) y=其極值點處的切線方程為 y= 故答案為: y= 16將邊長為 1m 的正三角形薄鐵片,沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記 s= ,則 s 的最小值是 【考點】 函數(shù)的最值及其幾何意義 【分析】 先設剪成的小正三角形的邊長為 x,用 x 表示出梯形的周長和面積,從而得到 S 的解析式,然后求 S 的最小值, 方法一:對函數(shù) S 進行求導,令導 函數(shù)等于 0 求出 x 的值,根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性進而確定最小值; 方法二:令 3 x=t,代入整理根據(jù)一元二次函數(shù)的性質得到最小值 【解答】 解:設剪成的小正三角形的邊長為 x,則梯形的周長為 3 x, 梯形的面積為 , s= ( 0 x 1), (方法一)利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)的最小值 令 s( x) = ( 0 x 1),則 s( x) = = , 第 12 頁(共 17 頁) 令 s( x) =0, 0 x 1, x= , 當 0 x 時, s( x) 0,當 x 1 時, s( x) 0, x= 時, s( x)取極小值,也為最小值,且為 (方法二)利用函數(shù)的方法求最小值 令 3 x=t( 2 t 3),則 x=3 t, s( x) = = = , 2 t 3, , 當 即 t= , x= 時, s( x)取最小值,且為 故答案為: 三、解答題:本大題共 70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17( 1)求 )的值; ( 2)化簡: 【考點】 三角函數(shù)的化簡求值 【分析】 直接利用誘導公式以及特殊角的三角函數(shù)化簡 求解即可 【解答】 解:( 1) ) = 3 ) = ; ( 2) = =1 18命題 p:關于 x 的不等式 0 對 x R 恒成立;命題 q:函數(shù) f( x) =( 5 2a) x 是減函數(shù),若 p q 為真, p q 為假,求實數(shù) a 的取值范圍 【考點】 復合命題的真假 【分析】 命題 p:關于 x 的不等式 0 對 x R 恒成立,可得 =44 4 0, 2 a 2由命題 q:函數(shù) f( x) =( 5 2a) x 是減函數(shù),且 a 2,可得 5 2a 1, a2由 p q 為真, p q 為假,可得命題 p 與 q 必然一真一假解出即可 【解答】 解:命題 p:關于 x 的不等式 0 對 x R 恒成立, =44 4 0,解得 2 a 2 命題 q:函數(shù) f( x) =( 5 2a) x 是減函數(shù), 5 2a 1,解得 a 2 p q 為真, p q 為假, 命題 p 與 q 必然一真一假 第 13 頁(共 17 頁) 當 p 真 q 假時, ,且 a 2,此時 a 當 q 真 p 假時, ,且 a 2,解得 a 2 綜上可得實數(shù) a 的取值范圍是( , 2 19已知函數(shù) f( x) =x+ )( 0)的最小正周期為 ( 1)求 的值; ( 2)求函數(shù) f( x)在區(qū)間 0, 上的取值范圍 【考點】 函數(shù) y=x+)的圖象變換;三角函數(shù)中的恒等變換應用 【分析】 ( )先根據(jù)倍角公式和兩角和公式,對函數(shù)進行化簡,再利用 T= ,進而求得 ( )由( )可得函數(shù) f( x)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調性進而求得函數(shù) f( x)的范圍 【解答】 解:( ) = 函數(shù) f( x)的最小正周期為 ,且 0, ,解得 =1 ( )由( )得 , , ,即 f( x)的取值范圍為 20已知函數(shù) f( x) =1 x) +x+3)( 0 a 1) ( 1)求函數(shù) f( x)的定義域; ( 2)求函數(shù) f( x)的零點; ( 3)若函數(shù) f( x)的最小值為 4,求 a 的值 【考點】 對數(shù)函數(shù)的值域與最值;對數(shù)函數(shù)的定義域;函數(shù)的零點 【分析】 ( 1)根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零,列出不等式組并求出解集,函數(shù)的定義域用集合或區(qū)間表示出來; 第 14 頁(共 17 頁) ( 2)利用對數(shù)的運算性質對解析式進行化簡,再由 f( x) =0,即 2x+3=1,求此方程的根并驗證是否在函數(shù)的定義域內; ( 3)把函數(shù)解析式化簡后,利用配方求真數(shù)在定義域內的范圍,再根據(jù)對數(shù)函數(shù)在定義域內遞減,求出函數(shù)的最小值 4 利用對數(shù)的定義求出 a 的值 【解答】 解:( 1)要使函數(shù)有意義:則有 ,解之得: 3 x 1, 則函數(shù)的定義域為:( 3, 1) ( 2)函數(shù)可化為 f( x) =1 x)( x+3) = 2x+3) 由 f( x) =0,得 2x+3=1, 即 x 2=0, , 函數(shù) f( x)的零點是 ( 3)函數(shù)可化為: f( x) =1 x)( x+3) = 2x+3) =( x+1) 2+4 3 x 1, 0 ( x+1) 2+4 4, 0 a 1, ( x+1) 2+4 即 f( x) 4,得 a 4=4, 21已知函數(shù) f( x) = x,其中( a R) ( 1)若 a=2,求曲線 y=f( x)在點( 1, f( 1)處的切線方程; ( 2)若函數(shù) y=f( x)有兩個極值點 求實數(shù) a 的取值范圍; 證明 f( 0 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程;利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 ( 1)當 a=2 時,求得 f( x)的解析式和導數(shù),可得切線的斜率和切點,由點斜式方程可得切線的方程; ( 2) 求得 f( x)的導數(shù),可得 f( x) = 有兩個不同的實根,討論當 a 0 時,當 a 0 時,判斷單調性可得極大值大于 0,解不等式即可得到所求范圍; 由 知 , f( 極小值, f( 極大值,由 f( =0,求得 f( 運用二次函數(shù)的單調性,可得 f( f( 0) =0 【解答】 解:( 1)當 a=2 時, f( x) =x, f( x) =2x, 可得 f( 1) = 2, f( 1) = 2, 曲線 y=f( x)在( 1, f( 1)處的切線方程為 y+2= 2( x 1), 即為 y= 2x; ( 2) f( x) =數(shù) y=f( x)有兩個極值點 即 f( x) = 有兩個不同的實根, 當 a 0 時, f( x)單調遞增, f( x) =0 不可能有兩個不同的實根; 當 a 0 時,設 h( x) =h( x) = , 第 15 頁(共 17 頁) 若 0 x 時, h( x) 0, h( x)單調遞增, 若 x 時, h( x) 0, h( x)單調遞減, 可得 h( x)的極大值 h( ) = 1
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