欽州市2015-2016學年高二下期末理科數(shù)學試卷(B)含答案解析

第 1 頁（共 16 頁） 2015年廣西欽州市高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）（ 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個備選項中，有且只有一項是符合題目要求的（溫馨提示：請在答題卡上作答，在本試題上作答無效） 1若復數(shù) z 滿足（ 1+i） z=2i，則 z 的共軛復數(shù) =（ ） A 1 i B 1+i C D 2極 坐標方程 = （ R）表示的曲線是一條（ ） A射線 B直線 C垂直于極軸的直線 D圓 3已知數(shù)列 ， ， = （ n=1， 2， 3， ）計算該數(shù)列的前幾項，猜想它的通項公式是（ ） A B an=n C D 4 3 個班分別從 5 個風景點處選擇一處游覽，不同的選法種數(shù)是（ ） A 53 B 35 C 在 的展開式中的常數(shù)項是（ ） A 7 B 7 C 28 D 28 6 “因為偶函數(shù)的圖象關于 y 軸對稱，而函數(shù) f（ x） =x2+x 是偶函數(shù)，所以 f（ x） =x2+x 的圖象關于 y 軸對稱 ”，在上述演繹推理中，所得結論錯誤的原因是（ ） A大前提錯誤 B小前提錯誤 C推理形式錯誤 D大前提與推理形式都錯誤 7某班生活委員 為了解在春天本班同學感冒與性別是否相關，他收集了 3 月份本班同學的感冒數(shù)據(jù)，并制出下面一個 2 2 列聯(lián)表： 感冒 不感冒 合計 男生 5 27 32 女生 9 19 28 合計 13 47 60 參考數(shù)據(jù) P（ （ （ 觀測值公式，可求得 k=據(jù)給出表格信息和參考數(shù)據(jù)，下面判斷正確的是（ ） A在犯錯概率不超過 1%的前提下認為該班 “感冒與性別有關 ” 第 2 頁（共 16 頁） B在犯錯概率不超過 1%的前提下不能 認為該班 “感冒與性別有關 ” C有 15%的把握認為該班 “感冒與性別有關 ” D在犯錯概率不超過 10%的前提下認為該班 “感冒與性別有關 ” 8已知函數(shù) f（ x）的導函數(shù) f（ x）是二次函數(shù)，如圖是 f（ x）的大致圖象，若 f（ x）的極大值與極小值的和等于 ，則 f（ 0）的值為（ ） A 0 B C D 9設兩個正態(tài)分布 和 的密度曲線如圖所示，則有（ ） A 1 2， 1 2 B 1 2， 1 2 C 1 2， 1 2 D 1 2， 1 2 10某同學投籃第一次命中的概率是 續(xù)兩次投籃命中的概率是 知該同學第一次投籃命中，則 其隨后第二次投籃命中的概率是（ ） A 1從 0， 1， 2， 3， 4， 5 這 6 個數(shù)字中任意取 4 個數(shù)字，組成一個沒有重復數(shù)字且能被 3整除的四位數(shù)，則這樣的四位數(shù)共有（ ） A 64 個 B 72 個 C 84 個 D 96 個 12設隨機變量 的取值為 0， 1， 2若 P（ =0） = ， E（ ） =1，則 D（ ） =（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 13在函數(shù) y=圖象上的點 A（ 1， 0）處的切線方程是 14如圖，類比三角形中位線定理 “如果 三角形的中位線，則 B ”，在空間四面體（三棱錐） P ， “如 果 ，則 ” 第 3 頁（共 16 頁） 15某地區(qū) 2007 年至 2013 年農村居民家庭人均純收入 y（單位：千元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表， 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代號 x 1 2 3 4 5 6 7 y 此，我們得到 y 關于年份代號 x 的線性回歸方程： =預測該地區(qū) 2015 年農村居民家庭人均純收入等于 16已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ x） 三、解答題：本大題共 6 題，共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17設 m R，復數(shù)（ 5m+6） +（ 3m） i 是純虛數(shù) （ 1）求 m 的值； （ 2）若 2+方程 x2+px+q=0 的一個根，求實數(shù) p， q 的值 18已知 a= 2 x+ ） 二項式（ ） 5 的展開式中 x 的系數(shù)及展開式中各項系數(shù)之和 19已知直線 l 的極坐標方程為 + ） = （ 1）在極坐標系下寫出 =0 和 = 時該直線上的兩點的極坐標，并畫出該直線； （ 2）已知 Q 是曲線 =1 上的任意一點，求點 Q 到直線 l 的最短距離及此時 Q 的極坐標 20某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統(tǒng)計結果繪成頻率分布直方圖（如圖）已知甲、乙兩班學生人數(shù)相同，甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間 2， 4的有 8 人 （ 1）求直方圖中 a 的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間（ 10， 12的人數(shù)； （ 2）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于 10 個小時的學生中任取 4 人參加測試，設 4人中甲班學生的人數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學期望 21已知數(shù)列 前 n 項和為 ， =2（ n 2， n N） 第 4 頁（共 16 頁） （ 1）求 值； （ 2）猜想 表達式；并用數(shù)學歸納法加以證明 22函數(shù) f（ x） = +中 a 為實常數(shù) （ 1）討論 f（ x）的單調性； （ 2）不等式 f（ x） 1 在 x （ 0， 1上恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍 第 5 頁（共 16 頁） 2015年廣西欽州市高二（下）期末數(shù)學試卷（理科）（ B 卷） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個備選項中，有且只有一項是符合題目要求的（溫馨提示：請在答題卡上作答，在本試題上作答無效） 1若復數(shù) z 滿足（ 1+i） z=2i，則 z 的共軛復數(shù) =（ ） A 1 i B 1+i C D 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 先求出 z，根據(jù)共軛復數(shù)的定義，求出 即可 【解答】 解： （ 1+i） z=2i， z= = =1+i， =1 i， 故選： A 2極坐標方程 = （ R）表示的曲線是一條（ ） A射線 B直線 C垂直于極軸的直線 D圓 【考點】 簡單曲線的極坐標方程 【分析】 由 x=y=得 由條件，化簡整理可得曲線表示的是一條直線 【解答】 解：由 x=y= 可得 極坐標方程 = （ R）， 可得直線 y=x，即有 y=x， 即 y= x 故選： B 3已知數(shù)列 ， ， = （ n=1， 2， 3， ）計算該數(shù)列的前幾項，猜想它的通項公式是（ ） 第 6 頁（共 16 頁） A B an=n C D 【考點】 數(shù)列的概念及簡單表示法 【分析】 運用 ， = （ n=1， 2， 3， ），可以計算該數(shù)列的前幾項，即可猜想它的通項公式 【解答】 解： ， = （ n=1， 2， 3， ）， = ， = ， = ， ，故猜想 ， 故選： A 4 3 個班分別從 5 個風景點處選擇一處游覽，不同的選法種數(shù)是（ ） A 53 B 35 C 考點】 計數(shù)原理的應用 【分析】 每班從 5 個 風景點中選擇一處游覽，每班都有 5 種選擇，根據(jù)乘法原理，即可得到結論 【解答】 解： 共 3 個班，每班從 5 個風景點中選擇一處游覽， 每班都有 5 種選擇， 不同的選法共有 53， 故選： A 5在 的展開式中的常數(shù)項是（ ） A 7 B 7 C 28 D 28 【考點】 二項式系數(shù)的性質 【分析】 利用二項展開式的通項公式求出第 r+1 項，令 x 的指數(shù)為 0 求出展開式的常數(shù)項 【解答】 解： 展開式的通項 為令 故選 A 6 “因為偶函數(shù)的圖象關于 y 軸對稱，而函數(shù) f（ x） =x2+x 是偶函數(shù)，所以 f（ x） =x2+x 的圖象關于 y 軸對稱 ”，在上述演繹推理中，所得結論錯誤的原因是（ ） 第 7 頁（共 16 頁） A大前提錯誤 B小前提錯誤 C推理形式錯誤 D大前提與推理形式都錯誤 【考點】 演繹推理的意義 【分析】 要分析一個演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提，小前提和結論及推理形式是否都正確，根據(jù)這幾個方面都正確， 才能得到這個演繹推理正確 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =x2+x 是非奇非偶函數(shù)，故小前題錯誤， 故選： B 7某班生活委員為了解在春天本班同學感冒與性別是否相關，他收集了 3 月份本班同學的感冒數(shù)據(jù)，并制出下面一個 2 2 列聯(lián)表： 感冒 不感冒 合計 男生 5 27 32 女生 9 19 28 合計 13 47 60 參考數(shù)據(jù) P（ （ （ 觀測值公式，可求得 k=據(jù)給出表格信息和參考數(shù) 據(jù)，下面判斷正確的是（ ） A在犯錯概率不超過 1%的前提下認為該班 “感冒與性別有關 ” B在犯錯概率不超過 1%的前提下不能認為該班 “感冒與性別有關 ” C有 15%的把握認為該班 “感冒與性別有關 ” D在犯錯概率不超過 10%的前提下認為該班 “感冒與性別有關 ” 【考點】 獨立性檢驗的應用 【分析】 根據(jù)數(shù)據(jù)計算得隨機變量 觀測值，對照 2 2 列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，即可得出統(tǒng)計結論 【解答】 解：由 2 2 列聯(lián)表數(shù)據(jù)計算得隨機變量 觀測值是 k= 通過對照表中數(shù)據(jù)得， P（ 在犯錯誤的概率不超過 1%的前提下不能認為該班 “感冒與性別有關 ” 故選： B 8已知函數(shù) f（ x）的導函數(shù) f（ x）是二次函數(shù)，如圖是 f（ x）的大致圖象，若 f（ x）的極大值與極小值的和等于 ，則 f（ 0）的值為（ ） A 0 B C D 第 8 頁（共 16 頁） 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；導數(shù)的運算 【分析】 由函數(shù)與導函數(shù)圖象間的關系，函數(shù)的單調性對應導函數(shù)的函數(shù)值的正負，由此利用函數(shù)的單調性即可函數(shù)在某點取得極值，結合圖象的對稱性從而作出正確結果 【解答】 解：如圖示： ， 其導函數(shù)的函數(shù)值應在（ ， 2）上為正數(shù)，在（ 2， 2）上為負數(shù)，在（ 2， +）上為正數(shù)， 由導函數(shù)圖象可知，函數(shù)在（ ， 2）上為增函數(shù)，在（ 2， 2）上為減函數(shù)，在（ 2，+）上為增函數(shù)， 函數(shù)在 x= 2 取得極大值，在 x=2 取得極小值，且這兩個極值點關于（ 0， f（ 0）對稱， 由 f（ x）的極大值與極小值之和為 ，得 f（ 2） +f（ 2） =2f（ 0）， =2f（ 0）， 則 f（ 0）的值為 ， 故選： C 9設兩個正態(tài)分布 和 的密度曲線如圖所示，則有（ ） 第 9 頁（共 16 頁） A 1 2， 1 2 B 1 2， 1 2 C 1 2， 1 2 D 1 2， 1 2 【考點】 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義 【分析】 從正態(tài)曲線關于直線 x= 對稱，看 的大小，從曲線越 “矮胖 ”，表示總體越分散； 越小，曲線越 “瘦高 ”，表示總體的分布越集中，由此可得結論 【解答】 解：從正態(tài)曲線的對稱軸的位置看，顯然 1 2， 正態(tài)曲線越 “瘦高 ”，表示取值越集中， 越小， 1 2 故選 A 10某同學投籃第一次命中的概率是 續(xù)兩次投籃命中的概率是 知該同學第一次投籃命中，則其隨后第二次投籃命中的概率是（ ） A 考點】 條件概率與獨立事件 【分析】 設隨后第二次投籃命中的概率為 p，則由題意可得 p=此解得 p 的值 【解答】 解：設隨后第二次投籃命中的概率為 p，則有題意可得 p= 解得 p= 故選： D 11從 0， 1， 2， 3， 4， 5 這 6 個數(shù)字中任意取 4 個數(shù)字， 組成一個沒有重復數(shù)字且能被 3整除的四位數(shù)，則這樣的四位數(shù)共有（ ） A 64 個 B 72 個 C 84 個 D 96 個 【考點】 計數(shù)原理的應用 【分析】 根據(jù)題意，由能被 3 整除的數(shù)的性質，分析可得選出的四個數(shù)字有 5 種情況， 1，2， 4， 5； 0， 3， 4， 5； 0， 2， 3， 4； 0， 1， 3， 5； 0， 1， 2， 3；由分步計數(shù)原理原理或排列數(shù)公式可得每種情況下可以組成四位數(shù)的數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案 【解答】 解：根據(jù)題意，要求四位數(shù)能被 3 整除， 則選出的四個數(shù)字有 5 種情況， 1， 2， 4， 5； 0， 3， 4， 5； 0， 2， 3， 4； 0， 1，3， 5； 0， 1， 2， 3； 時，共可以組成 4 個四位數(shù)； 時， 0 不能在首位，此時可以組成 3 3 2 1=18 個四位數(shù)， 同理， 、 、 時，都可以組成 18 個四位數(shù)， 則這樣的四位數(shù)共 24+4 18=96 個 故選： D 12設隨機變量 的取值為 0， 1， 2若 P（ =0） = ， E（ ） =1，則 D（ ） =（ ） A B C D 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差 【分析】 利用概率和為 1 與期望值公式，求出 P（ =1）， P（ =2）的值，再計算方差的值 【解答】 解：設 P（ =1） =p， P（ =2） =q， 則由已知得 p+q+ =1， 第 10 頁（共 16 頁） E（ ） =0 +1 p+2 q=1， 由 組成方程組，解得 p= ， q= ； 所以 D（ ） =（ 0 1） 2 +（ 1 1） 2 +（ 2 1） 2 = 故選： B 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 13在函數(shù) y=圖象上的點 A（ 1， 0）處的切線方程是 y=x 1 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 求得函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程 【解答】 解：函數(shù) y=導數(shù)為 y=1+ 可得圖象上的點 A（ 1， 0）處的切線斜率為 1+， 即有圖象上的點 A（ 1， 0）處的切線方程為 y 0=x 1， 即為 y=x 1 故答案為： y=x 1 14如圖，類比三角形中位線定理 “如果 三角形的中位線，則 B ”，在空間四面體（三棱錐） P ， “如果 中截面 ，則 截面 截面 截面 面積等于于截面 面積的 ” 【考點】 類比推理 【分析】 由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的 性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質 【解答】 解：類比三角形中位線定理 “如果 三角形的中位線，則 B”，可得三棱錐中截面的性質 “如果面 中截面，則截面 截面 截面 面積等于于截面 面積的 ” 故答案為： 中截面；截面 截面 截面 面積等 于于截面 面積的 15某地區(qū) 2007 年至 2013 年農村居民家庭人均純收入 y（單位：千元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表， 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 第 11 頁（共 16 頁） 年份代號 x 1 2 3 4 5 6 7 y 此，我們得到 y 關于年份代號 x 的線性回歸方程： =預測該地區(qū) 2015 年農村居民家庭人均純收入等于 【考點】 線性回歸方程 【分析】 根據(jù)回歸方程， 2015 年對應的年份代碼 x=8，代入回歸方程求得 y 的值 【解答】 解：由回歸方程 =知： 2015 年對應的 x=9 時， y= 故答案為： 16已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ x） + 【考點】 定積分 【分析】 根據(jù)函數(shù)積分的公式以及積分的幾何意義進行求解即可 【解答】 解： f（ x） （ x+1） 2 （ x+1） （ x+1） x3+x2+x） | =0（ +1 1） = ， 幾何意義是圓 x2+，（ 0 x 1， y 0）的面積 S= = ， 則 f（ x） + ， 故答案為： + 三、解答題：本大題共 6 題，共 70 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17設 m R，復數(shù)（ 5m+6） +（ 3m） i 是純虛數(shù) （ 1）求 m 的值； （ 2）若 2+方程 x2+px+q=0 的一個根，求實數(shù) p， q 的值 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的混合運算 【分析】 （ 1）根據(jù)純虛數(shù)的定義求出 m 的值即可；（ 2）將 2+入方 程 x2+px+q=0，得到關于 p， q 的方程組，解出即可 【解答】 解：（ 1） 復數(shù)（ 5m+6） +（ 3m） i 是純虛數(shù)，所以 ， 解得： ， m=2； 第 12 頁（共 16 頁） （ 2） 2+方程 x2+px+q=0 的一個根， （ 2+2i） 2+p（ 2+2i） +q=0， 即（ 2p+q） +（ 2p 8） i=0， ，解得： p=4， q=8 18已 知 a= 2 x+ ） 二項式（ ） 5 的展開式中 x 的系數(shù)及展開式中各項系數(shù)之和 【考點】 二項式系數(shù)的性質；定積分 【分析】 利用微積分基本定理可得 a，再利用二項式定理的通項公式及其性質即可得出 【解答】 解：依題意， a= 2 x+ ） =2= 2， 二項式（ ） 5= ， 展開式中 x 的系數(shù)及展開式中各項系數(shù)之和 設展開式中含 x 的項是第 r+1 項，則 = （ 5 r =（ 2） r 3r， 令 10 3r=1，則 r=3 展開式中 x 的系數(shù)是： = 80 令 x=1，則二項式的展開式中各項系數(shù)之和是（ 1 2） 5= 1 19已知直線 l 的極坐標方程為 + ） = （ 1）在極坐標系下寫出 =0 和 = 時該直線上的兩點的極坐標，并畫出該直線； （ 2）已知 Q 是曲線 =1 上的任意一點，求點 Q 到直線 l 的最短距離及此時 Q 的極坐標 【考點】 簡單曲線的極坐標方程 【分析】 （ 1）將 =0 和 = 分別代入直線 l 的極坐標方程，求出 ，從而得出兩點的極坐標，畫出直線； （ 2）分別求出直線 l 和曲線 =1 的直角坐標方程，要求圓上任意一點到直線 l 的最短距離，只要求圓心 O（ 0， 0）到直線 l 的距離即可 【解答】 解：（ 1）直線 l 經(jīng)過 A（ 2， 0）， 兩點， 在極坐標系下，直線如圖所示： （ 2）曲線 =1 化為直角坐標方程得 x2+，該曲線為單位圓， 將直線 l 的極坐標方程 化為直角坐標方程得 x+y 2=0 要求圓上任意一點到直線 l 的最短距離，只要求圓心 O（ 0， 0）到直線 l 的距離即可 由點到直線的距離公式得： ， 第 13 頁（共 16 頁） 所以點 Q 到直線 l 的最短距離為 ， 此時，點 Q 的極 坐標為 20某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統(tǒng)計結果繪成頻率分布直方圖（如圖）已知甲、乙兩班學生人數(shù)相同，甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間 2， 4的有 8 人 （ 1）求直方圖中 a 的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間（ 10， 12的人數(shù)； （ 2）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于 10 個小時的學生中任取 4 人參加測試，設 4人中甲班學生的人數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其分布列 【分析】 （ 1）由直方圖能求出 a 的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間（ 10， 12的人數(shù) （ 2）由已知得 的所有可能取值為 0， 1， 2， 3，分別求出相應的概率，由此能求出 的分布列和數(shù)學期望 【解答】 解：（ 1）由直方圖知，（ a） 2=1， 解得 a= 因為甲班學習時間在區(qū)間 2， 4的有 8 人， 所以甲班的學生人數(shù)為 ， 所以甲、乙兩班人數(shù)均為 40 人 所以甲班學習時間在區(qū)間（ 10， 12的人數(shù)為 40 2=3（人） （ 2）乙班學習時間在區(qū)間（ 10， 12的人數(shù)為 40 2=4（人） 由（ 1）知甲班學習時間在區(qū)間（ 10， 12的人數(shù)為 3 人， 在兩班中學習時間大于 10 小時的同學共 7 人， 的所有可能取值為 0， 1， 2， 3 ， ， 第 14 頁（共 16 頁） ， 所以隨機變量 的分布列為： 0 1 2 3 P 21已知數(shù)列 前 n 項和為 ， =2（ n 2， n N） （ 1）求 值； （ 2）猜想 表達式；并用數(shù)學歸納法加以證明 【考點】 數(shù)學歸納法；歸納推理 【分