2019屆高考數(shù)學總復習模塊六概率與統(tǒng)計第19講概率、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例學案理.docx

第19講概率、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例1.2018全國卷我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118試做命題角度古典概型求古典概型概率的方法:直接法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率,再運用互斥事件概率的加法公式計算.間接法:先求事件的對立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(A)求概率,即運用逆向思維(正難則反),特別是對“至多”“至少”型題目,用間接法求解更簡便.易錯點:當事件A,B為互斥事件時,有P(A+B)=P(A)+P(B),否則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).2.(1)2018全國卷如圖M6-19-1所示,來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為,黑色部分記為,其余部分記為.在整個圖形中隨機取一點,此點取自,的概率分別記為p1,p2,p3,則()圖M6-19-1A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3(2)2017全國卷如圖M6-19-2所示,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖,正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是 ()圖M6-19-2A.14B.8C.12D.4試做命題角度幾何概型利用幾何概型概率公式求解.處理幾何概型與非幾何知識的綜合問題的關鍵是,通過轉(zhuǎn)化,將某一事件所包含的事件用“長度”“角度”“面積”“體積”等表示出來,如把這兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標,這樣基本事件就構(gòu)成了平面上一個區(qū)域,進而轉(zhuǎn)化為面積的度量來解決.易錯點:利用幾何概型的概率公式時,不要忽視事件是否等可能.3.2018全國卷某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立.設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),DX=2.4,P(X=4)P(X=6),則p= ()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3試做命題角度n次獨立重復試驗的期望與方差關鍵一:確定n的值;關鍵二:利用方差公式D(X)=np(1-p)求解.小題1用樣本估計總體1 (1)某機構(gòu)為了解“跑團”每月跑步的平均里程,收集并整理了2017年1月至2017年11月期間“跑團”每月跑步的平均里程(單位:km)的數(shù)據(jù),得到如圖M6-19-3所示的折線圖.圖M6-19-3根據(jù)折線圖,下列結(jié)論正確的是 ()A.月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應的里程數(shù)B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程的峰值出現(xiàn)在9月份D.1月至5月的月跑步的平均里程相對于6月至11月,波動性較小,變化比較平穩(wěn)(2)為了了解一批產(chǎn)品的長度(單位:mm)情況,現(xiàn)抽取容量為400的樣本進行檢測,如圖M6-19-4所示是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標準,單件產(chǎn)品長度在25,30)的為一等品,在20,25)和30,35)的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為.圖M6-19-4聽課筆記 【考場點撥】用頻率分布直方圖估計總體的數(shù)字特征應注意以下幾點:(1)頻率分布直方圖的縱軸是頻率組距,而不是頻率;(2)在頻率分布直方圖中每個小長方形的面積才是相應區(qū)間的頻率,在應用和作頻率分布直方圖時要注意;(3)最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù);(4)平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標是中位數(shù);(5)頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和是中位數(shù).【自我檢測】1.甲、乙兩名同學6次考試的成績統(tǒng)計如圖M6-19-5所示,甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為x甲,x乙,標準差分別為甲,乙,則 ()圖M6-19-5A.x甲x乙,甲乙B.x甲乙C.x甲x乙,甲x乙,甲乙2.從某中學甲、乙兩班中各隨機抽取10名同學,測量他們的身高(單位:cm),所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示,如圖M6-19-6,由此可估計甲、乙兩班同學的身高情況,則下列結(jié)論正確的是()圖M6-19-6A.甲班同學身高的方差較大B.甲班同學身高的平均值較大C.甲班同學身高的中位數(shù)較大D.甲班同學身高在175 cm以上的人數(shù)較多3.已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4,方差為2,現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4,此時這8個數(shù)的平均數(shù)為x,方差為s2,則 ()A.x=4,s22C.x4,s24,s224.為了解某校一次期中考試數(shù)學成績的情況,抽取100位學生的數(shù)學成績(單位:分),得到如圖M6-19-7所示的頻率分布直方圖,其中成績分組區(qū)間是40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,則估計該次考試數(shù)學成績的中位數(shù)是()圖M6-19-7A.71.5B.71.8C.72D.75小題2變量間的相關關系、統(tǒng)計案例2 (1)隨著國家“二孩政策”的全面放開,為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿,某機構(gòu)用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女,結(jié)果如下表.非一線一線總計愿意生452065不愿意生132235總計5842100附表:P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得,K2的觀測值k=100(4522-2013)2584235659.616,參照附表,得到的正確結(jié)論是 ()A.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為“生育意愿與城市級別有關”B.有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”C.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為“生育意愿與城市級別無關”D.有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關”(2)某公司在對一種新產(chǎn)品進行合理定價前,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數(shù)據(jù):單價x(元)456789銷量y(件)908483807568由表中數(shù)據(jù),求得線性回歸方程為y=-4x+a,當產(chǎn)品的銷量為76件時,產(chǎn)品的單價大致為元.聽課筆記 【考場點撥】(1)回歸直線一定過樣本點的中心(x,y).(2)隨機變量K2的觀測值k越大,說明“兩個變量有關系”的可能性越大.【自我檢測】1.某中學的興趣小組將在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點的六組數(shù)據(jù)繪制成散點圖如圖M6-19-8所示,則下列說法錯誤的是()圖M6-19-8A.沸點與海拔高度呈正相關B.沸點與氣壓呈正相關C.沸點與海拔高度呈負相關D.沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強2.假設兩個分類變量X和Y的22列聯(lián)表如下:YXy1y2總計x1a10a+10x2c30c+30總計6040100對同一樣本,以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關系的可能性最大的一組為 ()A.a=45,c=15B.a=40,c=20C.a=35,c=25D.a=30,c=303.已知變量x,y具有線性相關關系,它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:x1234y0.11.8m4若y關于x的回歸方程為y=1.3x-1,則m=.小題3古典概型與幾何概型3 (1)已知甲袋中有1個黃球和1個紅球,乙袋中有2個黃球和2個紅球.現(xiàn)隨機地從甲袋中取出1個球放入乙袋,再從乙袋中隨機取出1個球,則從乙袋中取出紅球的概率為 ()A.13B.12C.59D.29(2)如圖M6-19-9,E,F,G,H是平面四邊形ABCD各邊的中點,若在平面四邊形ABCD內(nèi)任取一點,則該點取自陰影部分的概率是 ()圖M6-19-9A.14B.12C.34D.58聽課筆記 【考場點撥】求解概率題的幾個失分點:(1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤;(2)古典概型問題中如涉及“至多”“至少”等事件的概率計算時,沒有轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率,來簡化運算;(3)幾何概型中,基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤;(4)利用概率公式時,忽視驗證事件是否等可能導致錯誤.【自我檢測】1.為了弘揚我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某中學廣播站在中國傳統(tǒng)節(jié)日:春節(jié),元宵節(jié),清明節(jié),端午節(jié),中秋節(jié)五個節(jié)日中隨機選取兩個節(jié)日來講解其文化內(nèi)涵,那么春節(jié)和端午節(jié)至少有一個被選中的概率是()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.72.如圖M6-19-10,半徑為R的圓O內(nèi)有四個半徑相等的小圓,其圓心分別為A,B,C,D,這四個小圓都與圓O內(nèi)切,且相鄰兩小圓外切,圖M6-19-10則在圓O內(nèi)任取一點,該點恰好取自陰影部分的概率為()A.12-82B.6-42C.9-62D.3-223.已知M是半徑為R的圓上的一個定點,在圓上等可能地任取一點N,連接MN,則弦MN的長度超過2R的概率是()A.15B.14C.13D.124.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,觀察向上的點數(shù),則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為.小題4條件概率、相互獨立事件與獨立重復試驗4 (1)從裝有若干個大小相同的紅球、白球和黃球的袋中隨機摸出1個球,摸到紅球、白球和黃球的概率分別為12,13,16.若從袋中隨機摸出1個球,記下顏色后放回,連續(xù)摸3次,則記下的顏色中有紅有白但沒有黃的概率為()A.536B.13C.512D.12(2)一臺儀器每啟動一次都隨機地出現(xiàn)一個5位的二進制數(shù)A=a1a2a3a4a5,其中A的各位數(shù)字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為13,出現(xiàn)1的概率為23.若啟動一次出現(xiàn)的數(shù)字為A=10101,則稱這次試驗成功,若成功一次得2分,失敗一次得-1分,則100次重復試驗的總得分X的方差為.聽課筆記 【考場點撥】求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法:(1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積;(2)正面計算較復雜或難以入手時,可從其對立事件入手計算.特別提醒:利用獨立重復試驗的概率公式計算概率時,其計算量往往很大,計算時要小心謹慎,以確保計算的正確.【自我檢測】1.某電視臺“夏日水上闖關”節(jié)目中的前三關的過關率分別為0.8,0.7,0.6,只有通過前一關才能進入下一關,且是否通過每關相互獨立.一選手參加該節(jié)目,則該選手只闖過前兩關的概率為()A.0.56B.0.336C.0.32D.0.2242.據(jù)統(tǒng)計,連續(xù)熬夜48小時誘發(fā)心臟病的概率為0.055,連續(xù)熬夜72小時誘發(fā)心臟病的概率為0.19.現(xiàn)有一人已連續(xù)熬夜48小時未誘發(fā)心臟病,則他還能繼續(xù)連續(xù)熬夜24小時不誘發(fā)心臟病的概率為 ()A.67B.335C.1135D.0.193.設隨機變量B(2,p),B(4,p),若P(1)=59,則P(2)的值為 ()A.3281B.1127C.6581D.16814.設隨機變量XB6,12,則P(X=3)=.第19講概率、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例典型真題研析1.C解析 不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個,從中任取兩個有C102種取法,其中和為30的有3種,即(7,23),(11,19),(13,17),所以所求概率P=3C102=115.2.(1)A(2)B解析 (1)設AB=a,AC=b,BC=c,則a2+b2=c2.記ABC的面積為S1,黑色部分的面積為S2,則S2=12a22+12b22+12ab-12c22=18(a2+b2-c2)+12ab=12ab=S1.根據(jù)幾何概型的概率計算公式可知p1=p2.(2)根據(jù)對稱性,圖中黑色部分、白色部分的面積相等.設正方形的邊長為2,則正方形的面積為4,圖中圓的面積為,故黑色部分的面積為2,所以所求的概率為24=8.3.B解析 由DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6.由P(X=4)=C104p4(1-p)60.5,故p=0.6.故選B.考點考法探究小題1例1(1)D(2)100解析 (1)由折線圖知,月跑步平均里程的中位數(shù)為5月份對應的里程數(shù),月跑步平均里程不是逐月增加的,月跑步平均里程的峰值出現(xiàn)在10月份,故A,B,C中結(jié)論不正確,故選D.(2)由題意得,三等品的頻率為(0.012 5+0.025 0+0.012 5)5=0.25,樣本中三等品的件數(shù)為4000.25=100.【自我檢測】1.C解析 由圖可知,甲同學的平均成績高于乙同學,且甲同學的成績更穩(wěn)定,即x甲x乙,甲乙,故選C.2.A解析 觀察莖葉圖可知甲班同學身高的數(shù)據(jù)波動大,所以甲班同學身高的方差較大,A中結(jié)論正確;甲班同學身高的平均值為181+182+170+172+178+163+165+166+157+15810=169.2,乙班同學身高的平均值為182+171+172+176+178+179+162+164+167+15910=171,所以乙班同學身高的平均值較大,B中結(jié)論錯誤;甲班同學身高的中位數(shù)為166+1702=168,乙班同學身高的中位數(shù)為171+1722=171.5,所以乙班同學身高的中位數(shù)較大,C中結(jié)論錯誤;甲班同學身高在175 cm以上的有3人,乙班同學身高在175 cm以上的有4人,所以乙班同學身高在175 cm以上的人數(shù)較多,D中結(jié)論錯誤.故選A.3.A解析 某7個數(shù)的平均數(shù)為4,方差為2,現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4,此時這8個數(shù)的平均數(shù)為x,方差為s2,x=74+48=4,s2=72+(4-4)28=746.635,可得有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”,或在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為“生育意愿與城市級別有關”,所以選B.(2)由表中數(shù)據(jù)得,x=6.5,y=80,a=80+46.5=106,回歸方程為y=-4x+106.當y=76時,76=-4x+106,x=7.5.【自我檢測】1.A解析 結(jié)合散點圖可得,沸點與氣壓呈正相關,氣壓與海拔高度呈負相關,所以沸點與海拔高度呈負相關,且沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強.故選A.2.A解析 由題意易知,若|a-c|越大,則X與Y有關系的可能性越大,結(jié)合選項計算可得A選項符合題意.故選A.3.3.1解析 由題意得x=1+2+3+44=2.5,代入到線性回歸方程y=1.3x-1,得y=2.25.0.1+1.8+m+4=42.25=9,m=3.1.小題3例3(1)B(2)B解析 (1)先從甲袋中取出1個球放入乙袋,再從乙袋中取出1個球的基本事件總數(shù)為C21C51=10,取出紅球的基本事件總數(shù)為C11C31+C11C21=5,所以從乙袋中取出紅球的概率P=510=12.故選B.(2)連接AC,與HE,FG分別交于點M,N,如圖所示,設點D到AC的距離為h,則SADC=12ACh,S四邊形HGNM=HG12h=14ACh,S四邊形HGNM=12SADC,S四邊形HGFE=12S四邊形ABCD,所求概率是12,故選B.【自我檢測】1.D解析 春節(jié)和端午節(jié)至少有一個被選中的對立事件是春節(jié)和端午節(jié)都沒有被選中,而春節(jié)和端午節(jié)都沒有被選中的概率為C32C52=0.3,所以春節(jié)和端午節(jié)至少有一個被選中的概率為1-0.3=0.7.故選D.2.A解析 設小圓的半徑為r,根據(jù)題意可知四邊形ABDC為正方形,OA=2r.由R-2r=r,得r=R2+1=(2-1)R,所以大圓的面積為R2,四個小圓的面積為4(2-1)2R2.由幾何概型的概率計算公式可得,所求概率為4(2-1)2R2R2=12-82.故選A.3.D解析 本題可利用幾何概型求解.如圖,O為圓心,NP為直徑,且MONP.根據(jù)題意可得,該圓的周長為2R,滿足條件“弦MN的長度超過2R”的點N所在的弧是NP,且其長度為R,則弦MN的長度超過2R的概率P=12.故選D.4.59解析 總事件數(shù)為66=36.當?shù)?次擲骰子向上的點數(shù)為1,2,4,5時,滿足條件的事件有(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(4,3),(4,6),(5,3),(5,6),共8個;當?shù)?次擲骰子向上的點數(shù)為3,6時,滿足條件的事件有26=12(個).所以所有滿足條件的事件共20個,所求概率P=2036=59.小題4例4(1)C(2)30800729解析 (1)滿足題意時,記下的顏色應是2個紅1個白或者2個白1個紅,據(jù)此可得,所求概率為C3212132+C3212213=512.(2)啟動一次出現(xiàn)數(shù)字為A=10101的概率P=132232=481.設100次獨立重復試驗中成功的次數(shù)為,則B100,481,D()=1004817781=308006561.X=2-1(100-)=3-100,D(X)=D(3-100)=9D()=30800729.【自我檢測】1.D解析 該選手只闖過前兩關的概率為0.80.7(1-0.6)=0.224,故選D.2.A解析 設事件A為連續(xù)熬夜48小時誘發(fā)心臟病,事件B為連續(xù)熬夜72小時誘發(fā)心臟病.由題意可知,P(A)=0.055,P(B)=0.19,則P(A)=0.945,P(B)=0.81,由條件概率計算公式可得,P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.810.945=67.3.B解析 由P(1)=59,得C21p(1-p)+C22p2=2p-p2=59,p=13,P(2)=C42p2(1-p)2+C43p3(1-p)+C44p4=61949+412723+181=1127,故選B.4.516解析 因為XB6,12,所以P(X=3)=C63123123=516.備選理由 例1主要考查條形圖的識別以及應用;例2為高考試題,考查22列聯(lián)表的應用;例3考查古典概型,需要在一定的排列組合計數(shù)的基礎上完成;例4考查幾何概型,涉及數(shù)學史,可以開拓學生的視野和應用意識;例5需要對所給的問題進行判斷,屬于二項分布問題,考查二項分布的方差.例1配例1使用下圖是某企業(yè)在2008年2017年企業(yè)產(chǎn)值的年增量(即當年產(chǎn)值比前一年產(chǎn)值增加的量)統(tǒng)計圖(單位:萬元),下列說法正確的是 ()A.2009年產(chǎn)值比2008年產(chǎn)值少B.從2011年到2015年,產(chǎn)值年增量逐年減少C.產(chǎn)值年增量的增量最大的是2017年D.2016年的產(chǎn)值年增長率可能比2012年的產(chǎn)值年增長率低解析 D由圖,2009年產(chǎn)值比2008年產(chǎn)值多29 565萬元,故A中說法錯誤;2013年的產(chǎn)值年增量大于2012年的,故B中說法錯誤;產(chǎn)值年增量的增量最大的不是2017年,故C中說法錯誤;因為增長率等于增長量除以上一年產(chǎn)值,由于上一年產(chǎn)值不確定,所以2016年的產(chǎn)值年增長率可能比2012年的產(chǎn)值年增長率低,故D中說法正確.故選D.例2配例2使用 2014江西卷某人研究中學生的性別與成績、視力、智商