矩陣的分解及其應(yīng)用.doc

學(xué)士學(xué)位學(xué)士學(xué)位論論文 文 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì) Bachelor s Thesis 論 文 題 目 矩陣分解及其應(yīng)用 作者姓名張志敏 學(xué)號(hào)2011111010156 所在院系 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 學(xué)科專業(yè)名稱 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 導(dǎo)師及職稱 袁永新 教授 論文答辯時(shí)間 2015 年 5 月 21 日 編號(hào) 2015110156 研究類型 理論研究 分類號(hào) O24 學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 誠(chéng)信承諾書(shū) 中文題目 矩陣分解及其應(yīng)用 外文題目 Matrix Decompositions and its Applications 學(xué)生姓名張志敏學(xué)生學(xué)號(hào)2011111010156 院系專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生班級(jí)1101 學(xué)學(xué) 生生 承承 諾諾 我承諾在學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定 恪守學(xué) 術(shù)規(guī)范 本人學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 內(nèi)容除特別注明和引用外 均為本 人觀點(diǎn) 不存在剽竊 抄襲他人學(xué)術(shù)成果 偽造 篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況 如有違規(guī)行為 我愿承擔(dān)一切責(zé)任 接受學(xué)校的處理 學(xué)生 簽名 年 月 日 指導(dǎo)教師承諾指導(dǎo)教師承諾 我承諾在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定 恪守學(xué)術(shù)道德規(guī)范 經(jīng)過(guò)本人核查 該生學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 內(nèi)容除 特別注明和引用外 均為該生本人觀點(diǎn) 不存在剽竊 抄襲他人學(xué)術(shù)成 果 偽造 篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的現(xiàn)象 指導(dǎo)教師 簽名 年 月 日 目錄 1 前言 1 2 矩陣分解 2 2 1 矩陣的三角分解 2 2 1 1 矩陣的三角分解基本概念 2 2 1 2 三角分解的應(yīng)用 7 2 2 矩陣的滿秩分解 15 2 2 1 矩陣的滿秩分解基本概念 15 2 2 2 矩陣的滿秩分解及其應(yīng)用 16 2 3 矩陣的譜分解 19 2 3 1 矩陣的譜分解的基本概念 19 2 3 2 矩陣譜分解的應(yīng)用 22 2 4 矩陣的奇異值分解 23 2 4 1 矩陣的奇異值分解基本概念 23 2 4 2 矩陣的奇異值分解的應(yīng)用 24 3 參考文獻(xiàn) 27 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 1 矩陣分解及其應(yīng)用 張志敏 指導(dǎo)教師 袁永新教授 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 中國(guó) 黃石 435002 摘 要 矩陣分解是指將一個(gè)矩陣表示為結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單或具有特殊性質(zhì)的若干矩陣之積或 之和 在線性代數(shù)中 借助于矩陣分解時(shí)?？捎脕?lái)解決各種復(fù)雜的問(wèn)題 矩 陣分解理論在統(tǒng)計(jì)學(xué) 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等專業(yè)領(lǐng)域也有重要的作用 本文介紹了 矩陣的三角分解 矩陣的滿秩分解 矩陣的譜分解和矩陣的奇異值分解以及 它們的應(yīng)用 并給出了求解這些分解的實(shí)例 關(guān)鍵詞 矩陣的三角分解 矩陣的滿秩分解 矩陣的譜分解 矩陣的奇異值分解 中國(guó)分類號(hào) O24 Matrix Decompositions and its Applications Zhang Zhimin Tutor Yuan Yongxin College of Mathematics and Statistics Hubei Normal University Huangshi Hubei 435002 Abstract Matrix decomposition means that a matrix is expressed as product or sum of several matrices with simple structures or with special properties In linear algebra it can be used to solve the complicated problems Matrix decomposition theory plays an important role in statistics structural dynamics and other professional fields This article discusses the triangular decomposition of matrices the full rank decomposition of matrices spectral decomposition of matrices and the singular value decomposition of matrices Some examples are provided to solve these matrix decompositions Keywords Triangular decomposition Full rank decomposition Spectral decomposition Singular value decomposition 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 2 矩陣分解及其應(yīng)用 張志敏 指導(dǎo)教師 袁永新教授 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 中國(guó) 黃石 435002 1 前言 矩陣是數(shù)學(xué)研究中一類重要的工具 有著非常廣泛的應(yīng)用 矩陣分解對(duì)矩陣?yán)碚?及計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要作用 本文介紹了矩陣的三角分解 矩陣的滿秩分解 矩 陣的譜分解及矩陣的奇異值分解 對(duì)于矩陣的三角分解 本文從證明矩陣的ALU 的惟一性來(lái)求解矩陣的三角分解 最后將矩陣三角分解用于求解線性方程組A LDU Ax b 對(duì)于滿秩分解 本文提出了求解滿秩分解的多種方法 對(duì)于方陣可以用初等行變 換和初等列變換來(lái)求解滿秩分解 也可以將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型然后加以求解 而Hermite 對(duì)于一般矩陣只能將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)求解 矩陣的滿秩分解用于求解矩陣的Hermite 廣義逆 對(duì)于矩陣的譜分解 本文介紹了矩陣的譜分解及其性質(zhì) 并介紹了矩陣多項(xiàng)式的 譜分解問(wèn)題 對(duì)于矩陣的奇異值分解 本文介紹矩陣的奇異值分解 以及運(yùn)用矩陣的奇異值來(lái) 求解矩陣的 Moore Penrose 廣義逆 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 3 2 2 矩陣分解 2 1 矩陣的三角分解 2 1 1 矩陣三角分解的基本概念 定義 2 1 設(shè) 如果存在分別是下三角矩陣和上三角矩陣使得 n n AR n n L UR 則稱可作三角分解 A LUA 定義 2 2 設(shè) n n AR 1 如果存在單位下三角矩陣 對(duì)角矩陣 單位上三角矩陣使得 LDU 則稱為矩陣的分解 ALDU ALDU ALDU 2 如果存在下三角矩陣 單位上三角矩陣 使得 則稱此三角分解L UALU 為矩陣的克勞特分解 A 3 如果存在上三角矩陣 單位下三角矩陣 使得 則稱此三角分解 UL ALU 為矩陣的杜利特分解 A 用消元法 一個(gè)方陣總可以用行初等變換化為上三角矩陣 若只用第 行乘Gaussi 數(shù)加到第行型初等變換能把化為上三角矩陣 則有下三角型可逆矩陣 kj ij AUP 使 從而有分解 PAU LU 1 AP ULU 我們知道用定理得到的分解一般不是惟一的 下面討論分解 GaussLULU 分解的存在性和惟一性 LDU 定理 2 1 階非奇異矩陣可作三角分解的充要條件是 nA0 k A 1 2 1kn 這里為的階順序主子式 k AAk 證明 必要性 設(shè)非奇異矩陣有三角分解 將其寫(xiě)成分塊形式AALU k12k12 2122212222 0 0 k AALUU AALLU 這里 和分別為 和的階順序主子式 首先由知 k A k L k UALUk0A 0L 從而 因此 0U 0 k L 0 k U 0 kkk ALU 1 2 1kn 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 4 充分性 對(duì)階數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)時(shí) 1 1 結(jié)n1n 1 A 11 a 11 a 論成立 設(shè)對(duì)時(shí)結(jié)論成立 即 其中和分別是下三角矩陣和上三nk k kk AL U k L k U 角矩陣 若 則由 易知和可逆 現(xiàn)證當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立 k 0A k A k L k U k L k U1nk 事實(shí)上 1 kkkk TT1 T1 1 k 1 1k 1 1kkk c0c 10c kk k 1 T kkk kkk ALUL A rar Uar UL 由歸納法原理知可作三角分解 A 定理 2 1 給出了非奇異矩陣可作三角分解的充要條件 由于不滿足定 01 10 A 理 2 1 的條件 所以它不能作三角分解 但 11 00001100 1 121101120 2 A 上例表明對(duì)于奇異矩陣 它還能作三角分解未必要滿足定理 2 1 的條件 定理 2 2 設(shè) 如果的順序主子式 rank n n ij AaRAk kn A 則有分解 0 1 2 j jk ALU 證明 設(shè)為的階主子矩陣 將分塊為 11 AAkA 1112 2122 AA A AA 則為可逆矩陣 且各階主子式非 0 由定理 2 1 知有分解 其 11 A 11 ALU 111111 AL U 中和均為可逆矩陣 11 L 11 U 又因?yàn)?在所設(shè)條件下 的前行線性無(wú)關(guān) 后行是前行的線rank Ak Ak nk k 性組合 即存在 n kk BR 21112212 ABAABA 取 令與分別是下三角矩陣和上三角矩陣 滿足 11 212111121112 LA UUL A 22 L 22 U 例如取為對(duì)角陣 取 則可以得到下三角矩陣和上三角矩陣 2222 0L U 22 L 22 0U L 如下 U 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 5 111112 212222 0 0 LUU LU LLU 注意 11 111211111212211121111121 L ULL AAL UA U UA 111 21122222211111121111121222 0L UL UA UL ABA A ABAA 從而 111111121112 2111211222222122 L UL UAA LU L UL UL UAA 即 有分解 ALU ALU 另外 定理 2 2 中是有分解的充分條件并不必要 例如0 j ALU 000011 121101 A 所以有分解 但 ALU 1 0 首先指出 一個(gè)方陣的三角分解不是唯一的 杜利特分解與克勞特分解就是兩種不 同的三角分解 其實(shí) 方陣的三角分解有無(wú)窮多 這是因?yàn)槿绻切辛惺讲粸榱愕腄 任意對(duì)角矩陣 有 1 ALD D ULU 其中也分別是下 上三角矩陣 從而也是 A 的一個(gè)三角分解 因 L U ALU 的任意性 所以三角分解不唯一 這就是的分解式不唯一性問(wèn)題 需規(guī)范化三角DA 分解 定理 2 3 分解 設(shè)為階方陣 則可以唯一地分解為L(zhǎng)DUAnA A LDU 的充分必要條件是的前個(gè)順序主子式 其中 A1n 0 k A 1 2 1kn L 分別是單位下 上三角矩陣 是對(duì)角矩陣 UD diagD 12 n d dd 1 k k k A d A 1 2 kn 0 1A 證明 充分性 對(duì)的階數(shù)進(jìn)行歸納證明An 1111111 1 11nAaaL DU 所以定理對(duì)成立 設(shè)定理對(duì)成立 即 1n 1n 111 1 1 ijnnn nn AaLD U 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 6 則對(duì) 將分塊為nA 1nn T nnn A A ua 其中 121 T nnnnn a aa 121 T nnnnn ua aa 設(shè) 比較兩邊 則有 1111 0 101 nnnnnn TT nnnnn ALDUu uald 1111nnnn ALD U 2 1 11nnnn LDu 2 2 11 TT nnnn ul D U 2 3 1 T nnnnnn al Dud 2 4 由歸納假設(shè) 2 1 式成立 由 非奇異 非奇異 從而由0 k 11nn LD 11nn D U 2 2 式和 2 3 式可唯一確定和 又從 2 4 式可唯一求得 所以 n v T n l n d 分解是存在而且唯一的 ALDU 又由歸納證明過(guò)程 的階順序主子式Ak 111111 AL DUD 22222221 AL D UDd D 1kkkkkkkk AL D UDd D 所以 1 1 2 k k k dkn 必要性 設(shè)有唯一的分解 ALDU 把他們寫(xiě)成矩陣分塊型ALDU 1111 0 101 nnnn TT nnnn ALDUu uald 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 7 比較兩邊便有式 2 1 2 4 成立 比如則有式 2 1 有于是 即 11 0 nn A 11 0 nn DA 111 0 nnn LDD 為奇異陣 則式 2 2 的解 不唯一 與的分解的 11nn LD 11 rank 1 nn LDn vALDU 唯一性相矛盾 因此 0 n 應(yīng)該知道定理 2 3 的證明已給出了計(jì)算的分解的遞歸過(guò)程 取的一階主子ALDUA 式 做分解 LDU 用式 2 1 式 2 4 確定從而 1111111 11AaaL DU 11 u l 從而然后重復(fù)使用式 2 1 1111 222 12 0 101 LDUu LDV ld 2222 AL D U 2 4 得到的順序主子式的分解 時(shí)即完成了ALDU 1 2 kkkk AL D Ukn kn 的分解 ALDU 推論 2 1 設(shè)是階方陣 則可唯一進(jìn)行杜利特分解的充分必要條件是的AnAA 前個(gè)順序主子式1n 111 1 0 k k kkk aa A aa 1 2 1kn 其中為單位上三角矩陣 即有L 11121 21 222 3132 12 1 1 1 1 1 n n nn nnn n uuu l uu llA u lll 并且若為非奇異矩陣 則充要條件可換為 的各階順序主子式全不為零 即 AA 0 k A 1 2 kn 證明 由定理 2 2 知為階方陣 則可唯一的進(jìn)行分解的充分必要條件AnALDU 是的前個(gè)順序主子式 其中 分別是單位下 上三A1n 0 k A 1 2 1kn LU 角矩陣 是對(duì)角矩陣D diagD 12 n d dd 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 8 1 k k k A d A 1 2 kn 0 1A 又因?yàn)槭菍?duì)角陣 是單位上三角矩陣 則仍然為上三角矩陣所以推論得證 DUDU 推論 2 2 階方陣可唯一地進(jìn)行克勞特分解nA 11121 21222 12 1 1 1 n n nnnn luu llu ALU lll 的充要條件為 111 1 0 k k kkk aa A aa 1 2 1kn 若為奇異矩陣 則 若為非奇異矩陣 則充要條件也可換為A0 nn l A 0 k A 1 2 kn 證明 由定理 2 2 知為階方陣 則可唯一的進(jìn)行分解的充分必要條件AnALDU 是的前個(gè)順序主子式 其中 分別是單位下 上三A1n 0 k A 1 2 1kn LU 角矩陣 是對(duì)角矩陣D diagD 12 n d dd 1 k k k A d A 1 2 kn 0 1A 又因?yàn)槭菍?duì)角陣 是單位上三角矩陣 則仍然為上三角矩陣所以推論得證 DLLD 2 1 2 三角分解的應(yīng)用 從消元法知 當(dāng)系數(shù)為三角矩陣時(shí) 線性方程組的求解很容易 GaussAAXb 因此 對(duì)一般的矩陣 它的三角分解的一個(gè)很自然的應(yīng)用就是用于求解線性方程 n n A 組 設(shè)的分解為 則AXb ALUALU LYb AXbLUXb UXY 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 9 都是系數(shù)矩陣為三角矩陣 先用自上往下的回代法求解的 再求解 LYb YUXY 即可得到原方程組的解 AXb X 例 2 12 1 求三階方陣 2 13 121 243 A 的分解與分解 LULDU 解 方法 一 第三種初等變換法 消元法 Gauss 31 3132 1 2 3 2 213100 213100 511 121010010 222 243001 243001 213100213100 511511 010010 222222 050101001021 rr rrrr A I 因此則 213 51 0 22 001 PA 100 1 10 2 021 P 1 100 1 10 2 121 LP 故 100213 151 100 222 121001 ALU 再利用初等列變換 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 10 21 1 2 203 213 51 510 0 22 22 001 001 1 10010 2 010 010 001 001 cc 3231 13 52 200 200 5 5100 0 2 22 001 001 17 131 1 25 22 1 01001 5 001 001 cccc 則 17 1 25 1 01 5 001 Q 200 5 00 2 001 PAQ 則 11 113 1 200100200 210 5151 00100001 2225 001121001001 APQLDU 方法 二 解 解 因?yàn)榫仃嚨捻樞蛑髯邮紸 1 20A 2 2 1 50 12 A 3 50AA 所以矩陣有惟一的分解ALDU 11111122 2 2 1 2 1 1aDLUA 由式 2 1 2 4 可得 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 11 22 15 22 ud 2 21 12 A 2 10 1 1 2 L 2 20 5 0 2 D 2 1 1 2 01 U 由題設(shè)可以得 3 213 121 243 A 3 3 1 3 2 4 代入式 2 1 2 4 nn 1n 1 n LD v 1 3 2 3 1020 3 2 15 1110 22 5 v 1112 21 24 5 0 2 TT nnnn l D U 12 T n l 1 T nnnnnn al Dud 20 312 1 5 0 2 nn dd 最后求得矩陣的分解是ALDU 3 13 1 100200 22 213 151 121100001 225 243 121001001 ALDU 則 213 51 0 22 001 UDU 故 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 12 100213 151 100 222 121001 ALU 例 2 2 求線性方程的解 2 13 121 243 A 2 1 3 b AXb 解 解 由上題知求得矩陣的分解為ALU 100213 151 100 222 121001 ALU 由 ALU LYb AXbLUXb UXY 則的形式為L(zhǎng)Yb 1 12 123 2 1 1 2 23 y yy yyy 自上往下用回代法可得 121312 1 2 12 325 2 yyyyyy 又的具體形式為UXY 123 23 3 232 51 2 22 5 xxx xx x 自下而上的回代法可得 323132 211132 5 2 23 52525 xxxxxx 這樣就求得線性方程組的解向量為AXb 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 13 32 5 1 5 5 X 例 2 3 已知范德蒙矩陣 求 Vandermonde 123n 2222 123 2222 123 1111 123 1111 n nnnn n nnnn n V 的三角分解 V 解 由于范德蒙矩陣滿足定理 2 1 的條件 于是有唯一的三角分解 V 結(jié)合范德蒙矩陣的特點(diǎn) 先對(duì)范德蒙矩陣進(jìn)行一系列初等行變換 VLU V 用階矩陣n 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 L 左乘范德蒙矩陣得 V 21311 2213311 1 1 444 2213311 333 2213311 222 22133131 1111 0 0 0 0 0 n nn nnn nn nnn nn nnn n L V 記 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 14 21 2 2 2 1 01 1 1 1 L 則 21311 323121 11 21 44 3323121 33 3323121 1111 0 00 00 00 n nn nn nnn nn nnn L L V 一般地 記 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k L 1 2 1kn 左上角是階單位矩陣 依次相乘有 1 k L d k 2131n 11n1 222 3n 1n 111 1 1 1 121 22 n 1n 11 1 n 1 11111 jjj jjj n nn jj jj n j j LL L V U 從而 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 15 12n 1U VL LL 其中 2 5 k2 12 1 1 1 L 1 1 1 k kk k n kn k kkkk 1 2 1kn 再對(duì)進(jìn)行一系列初等列變換 U 記 1 1 11111 1 1 1 1 U 21 1 1 31 1 1 1 1 1 n D 有 32122 11 11 22 1 11 1 1 10000 1111 nn nn njnj jj n nj j UUD 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 16 一般地 記 1 1 111 1 1 k U 1 12 111 diag 1 1 1 k k kkkknk D 個(gè) 所以 2 6 k1 2 1 1111 D U kkk kk nk 1 2 1kn 于是 1211111 nnn VL LLD UDU 其中由式 2 5 給出且為下三角矩陣 而由式 2 6 給出 為稀疏上三角矩陣 k L kk D U 2 2 矩陣的滿秩分解 2 2 1 矩陣的滿秩分解基本概念 定義定義 2 32 3 若矩陣的行 列 向量線性無(wú)關(guān) 則稱為行 列 滿秩矩陣 AA 定義定義 2 42 4 設(shè)是秩為的矩陣 若存在列滿秩矩陣和行滿A 0 r r m n m r Brn 秩矩陣 使得 則稱為矩陣的滿秩分解 CABC ABC A 定義定義 2 52 5 設(shè)是的矩陣 滿足Hm n rank Hr 1 的前 行中每一行至少含有一個(gè)非零元素 且每行第一個(gè)非零元素是 1 而后Hr 行元素均為 0 mr 2 設(shè)中的第 行的第一個(gè)非零元素 1 位于第列 有 Hi 1 2 i j ir 12r jjj 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 17 3 的第 列構(gòu)成階單位矩陣的前 列 H 1 j 2 j r jmIr 則稱為的標(biāo)準(zhǔn)型 HAHermite 定理定理 2 32 3 設(shè)為任一秩為 的矩陣 則必有滿秩分解 其中為列Arm n AABC B 滿秩陣 為行滿秩陣 C 證明 因?yàn)榈闹葹?所以存在階可逆矩陣和階可逆矩陣 使得ArmPnQ 0 00 r E PAQ 若令 則為列滿秩矩陣 為行滿秩矩陣 1 0 r E BP 1 0 r CEQBm r Crn 且有 結(jié)論成立 1 1 1 1 0 0 000 rr r EE A PQPEQBC 定理定理 2 42 4 任何非零矩陣都存在滿秩分解 m n AR 證明 設(shè) 則可通過(guò)初等變換將化為階梯形矩陣 即 0r Ar AB 且 于是存在有限個(gè)階初等矩陣的乘積 使得 1 0 C AA 行 r n CF r Cr mP 或者 于是 1 0 C PAA 1 1 A P A 11 1 0 C AP AP 將作相應(yīng)的分塊 則有 1 P 1 PBS m n BF mn r SF 1 1 0 0 C AP ABSB CSBC 其中為列滿秩矩陣 為行滿秩矩陣 BC 由于初等行變換有三種變換 1 調(diào)換兩行 2 某一行乘以一個(gè)非零常數(shù) 3 某一行乘以一個(gè)非零常數(shù)加到另一行 實(shí)際上只用第三種初等變換方法就可以將其化 為階梯 值得指出的是的滿秩分解式并不是唯一的 現(xiàn)對(duì)任一 階可逆方陣 總有ArH 成立 且分別為列滿秩矩陣與行滿秩矩陣 1 A BCBHH CBC B Cm r rn 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 18 因而上式也是的一個(gè)滿秩分解式 A 2 2 2 矩陣的滿秩分解及其應(yīng)用 定義 2 6 設(shè) 若存在矩陣 使得 n n AC n n GC 1 AGAA 2 GAGG 3 HAGAG 4 HGAGA 則稱為的 Moore Penrose 廣義逆或加號(hào)廣義逆 簡(jiǎn)稱為的逆 的任GAAMP A 意逆記為 MP A 定理 2 5 若矩陣存在廣義逆 則的逆是唯一的 m n AC MP AMP 證明 設(shè)都是的逆 則與均滿足逆的定義中四個(gè)條件 12 G GAMP 1 G 2 GMP 于是 1111111211211 HHHHHHHHH GG A GG AGA G GA G AG GG AG AG 21121 G AG AGG AG 2222222221221 HHHHHHHHH GGAGGAGG G AG GA G AGAGAG 22121 G AG AGG AG 故 12 GG 下面證明對(duì)任意 都有存在 并提供實(shí)際計(jì)算的一個(gè)有效方法 m n AC MP A 定理 2 6 任意矩陣都存在廣義逆 設(shè) 的一個(gè)滿 m n AC MP A rank Ar A 秩分解為 則 rank rank m rr n ABC BCCCBCr 11 HHHH ACCCB BB 證明 因又知與都可逆 令rank rank rank ABCr H B B H CC 11 HHHH GCCCB BB 直接驗(yàn)證知滿足廣義逆定義中四個(gè)條件 即 GMP 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 19 11 HHHH AGABCCCCB BB BCBCA 1111 HHHHHHHH GAGCCCBBB BCCCCB BB 11 HHHH CCCB BBG 111 HHHHHHHHH AGBCCCCB BBB B BB 1 HH B B BB 11 HHHH BCCCCB BBAG 111 HHHHHHHHH GACCCB BB BCCCCC 1 HH CCCC 11 HHHH CCCB BB BCGA 故是的廣義陣 因的廣義逆唯一 故GAMP AMP 11 HHHH ACCCB BB 例 2 2 求矩陣的滿秩分解 112 022 101 A 解 方法一 3 112100 112100 1 02201001100 2 101001 1 00011 2 A I 解得 112 011 C 100 1 00 2 1 11 2 P 1 100 020 111 P 所以 10 02 11 B 10 112 02 011 11 ABC 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 20 方法二 用行初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)型AHermite 112112112 022022011 101011000 A 則可知 的前兩列線性無(wú)關(guān) 取出的前兩列構(gòu)成 因此 2rank A AAB 11 101 02 011 10 BCABC 例 2 5 已知求的滿秩分解 101 1 0222 1453 A AABC 解 31 101 1101 1 02220222 14530444 rr A 2 32 1 2 2 101 1101 1 02220111 00000000 r rr 由此可知 的標(biāo)準(zhǔn)型中分別在第 1 2 列把它rank 2A AHermite 12 10 01 00 ee 取為矩陣則 的簡(jiǎn)化階梯形中非零行 B 10 02 14 B C 101 1 0111 C ABC 10 02 14 101 1 0111 101 1 0222 1453 例 2 6 求上題矩陣的 M P 的逆 AA 解 首先求得的滿秩分解為A ABC 10 02 14 101 1 0111 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 21 故 11 HHHH ACCCBBB 11 10 013024101 1 103420024 11 521 111 1 41218 630 2 3 矩陣的譜分解 2 3 1 矩陣的譜分解的基本概念 定義 2 7 對(duì)方陣設(shè)為矩陣的個(gè)特征值 的互異的特征 n n AF 12 n AnA 值集合稱為矩陣的譜 12 s A 定義 2 8 如果矩陣的每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于它的代數(shù)重?cái)?shù) 則稱為單A i A 純矩陣 定理 2 7 可對(duì)角化矩陣的譜分解 設(shè) 的譜為則可對(duì) n n AC A 12 s A 角化的充分必要條件是有如下分解式其中方陣 滿足如下條件 A 1 s ii i AP n n i PC 1 2 1 2 ii PP is 2 0 ij PPij 3 1 s in i PI 證明 必要性則可相似于對(duì)角形時(shí) 則有可逆矩陣 使AP 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 22 1 1 2 1 2 s s APP 2 7 首先分解對(duì)角矩陣 1 2 1 1 2 2 12 1 00 0 0 00 0 0 0 s i s s r r s r s r i i I I I I 令 1 2 12 00 0 0 00 s r r s r I I QQQ I 則滿足以下性質(zhì) i Q 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 23 1 2 1 2 3 0 s in i ii ij QI QQ Q Qij 代入式 2 7 則有 11 11 ss iiii ii APQ PPQ P 令 則具有以下性質(zhì) 1 ii PPQ P i P 1 2 1 2 ii PP is 2 8 2 0 ij PPij 3 1 s in i PI 2 9 1 s ii i AP 2 10 2 10 式就是一個(gè)可對(duì)角化矩陣的譜分解 即可對(duì)角化矩陣可分解為 個(gè)方陣As 的加權(quán)和 i P 充分性 則由 3 n XC 11 ss nii ii XI XP XPX 2 11 又對(duì)由 2 和 1 j P X 從而 2 11 ss jiijiijijjj ii A P XP P XP P XP XP X j j P XV 即時(shí) 它為關(guān)于特征值的特征向量 0 j P X A i 由 2 12 式說(shuō)明可分解為特征子空間的直和 從而 n C 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 24 則可相似于對(duì)角形 1212 ss n CVVVVVV A 2 3 2 矩陣譜分解的應(yīng)用 定理設(shè)矩陣 為互異的特征值 則為單純矩陣的 7 2 8 n n AR 1 2 i is AA 充分必要條件是 存在 使 1 2 n n i ARis 1 1 s i i AI 2 0 i ij A ij A A ij 3 1 s ii i AA 定理設(shè)矩陣 為的互異的特征值 則為 6 2 9 n n AR 1 2 i fis f A f A 單純矩陣的充分必要條件是 存在 使 1 2 n n i ARis 1 1 s i i AI 2 0 i ij A ij A A ij 3 1 s ii i f AfA 例 2 7 設(shè)矩陣 求矩陣多項(xiàng)式的譜分解 211 020 413 A 2 54f xxx 解 2 1 2 EA 當(dāng)時(shí)帶入1 求得 3132 4 111111111 030030030 414030000 rrrr 1 1 0 1 X 當(dāng)時(shí)帶入2 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 25 求得 31 411411 000000 411000 rr 23 01 1 0 14 XX 由于每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù) 則矩陣為單純矩陣 i A 則 1 11011411 1 20102030 3 21142111 APP 有 2 個(gè)互異的的特征值 取A 123 1 2 1 10 2 2ff 12 101 010 411 0 10 111 333 114333 AA 得 2 1 12 23 1 2 2 1 2 411111 333333 10 0002010 411414 333333 ii f AAAI f PfP f fAfAfA 2 4 矩陣的奇異值分解 2 4 1 矩陣的奇異值分解基本概念 定義 2 9 對(duì)于 矩陣的特征值為 m n AC rank Ar H A A 稱正數(shù)為矩陣的奇 1212 0 0 rrrn 1 2 ii ir A 異值 簡(jiǎn)稱的奇異值 A 定理 2 10 設(shè)矩陣 是矩陣的奇異值 則存在 m n ACrank Ar 12 0 r A 酉矩陣 分塊矩陣使 m n UC n n VC 0 00 m n C 0 00 H AUV 其中 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2015 屆學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 26 1 2 n 證明 已知 設(shè)的個(gè)特征值按大小排列為rank rank H A AAr H A An 對(duì)于正規(guī)矩陣 存在酉矩陣 使 121 0 0 rrn H A A n n VC 1 2 0 000 0 rHH n n VA AV 將按列分塊為 它的個(gè)列向量是對(duì)應(yīng)于特V 12 n Vv vv n 12 n v vv 的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量 12 n 為了得到酉矩陣 首先考查中的向量組 U m C 12 r Av AvAv 0 HHHHH ijjijijiiiij Av AvAvAvv A Avvvv vij 所以是中的正交向量組又 12 r Av AvAv m C 2 2HHH i