講座數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線VIP

高考專題講座稿件 數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線l 高考風(fēng)向標(biāo)直線的傾斜角和斜率，直線的方程，兩直線的位置關(guān)系，簡單的線性規(guī)劃圓的方程，橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程和簡單的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系將解析幾何知識和向量知識綜合于一題，這是近年高考數(shù)學(xué)命題的一個新的亮點l 典型題選講例若的取值范圍是（ ）.A2，6B2，5C3，6D3，5 講解由得 又所以當(dāng)時，原不等式組成立，從而故應(yīng)選A點評請讀者不妨畫個圖形，可以給出圖形解法嗎？例橢圓的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則（）ABCD4講解由橢圓的方程可以讀出 ，則 . 令，則點P的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程，解得，點P的縱坐標(biāo). 而，于是，在RtPF1F2中，應(yīng)用勾股定理，得.應(yīng)選C.點評請讀者自己畫出圖形. 當(dāng)然，不必畫圖，圖在心中也能解題.例設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（）A，B2，2C1，1D4，4講解易知拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為Q (-2 , 0)，于是，可設(shè)過點Q (-2 , 0)的直線的方程為，聯(lián)立其判別式為，可解得 ，應(yīng)選C.點評對斜率取特殊值也可巧解；如果畫圖形，可以看出答案嗎？.例設(shè)雙曲線與直線相交于兩個不同的點A、B.（） 雙曲線C的離心率的取值范圍；（） 直線與軸的交點為，且，求的值.講解：（）由C與t相交于兩個不同的點，故知方程組有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 雙曲線的離心率（）設(shè)由于x1+x2都是方程的根，且1a20，點評本小題主要考查直線和雙曲線的概念和性質(zhì)，平面向量的運算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力例某人承攬一項業(yè)務(wù)：需做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌3個。現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3,可做文字標(biāo)牌1個、繪畫標(biāo)牌2個；乙種規(guī)格每張2,可做文字標(biāo)牌2個、繪畫標(biāo)牌1個求這兩種規(guī)格的原料用多少張才能使總的用料面積最小？講解 設(shè)用甲種規(guī)格原料x 張，乙種規(guī)格原料y張，則可做文字標(biāo)牌x+2y個，繪畫標(biāo)牌2x+y個由題意可得，OB所用原材料的總面積，作出可行域如圖示陰影部分內(nèi)的整點，作直線，作一組與直線平行的直線當(dāng)直線通過2x+y=3與直線x+2y=2的交點時，t取得最小值因為不是整點，所以它不是最優(yōu)解當(dāng)時，可知當(dāng)時，代入約束條件，可得，即經(jīng)過可行域內(nèi)的整點，點B（1，1）滿足3x+2y=5，使t最小，所以最優(yōu)解為B（1，1）故用甲種規(guī)格的原料1張，乙種規(guī)格的原料1張，能使總的用料面積最小，其最小值是5 點評求整點最優(yōu)解時，可先轉(zhuǎn)化為普通線性規(guī)劃求解若所求得的最優(yōu)解不是整點時，再借助不定方程的知識調(diào)整最優(yōu)值，最后求出整點最優(yōu)解因為在考試時，常需要作出一些圖形，而要解決作圖的準(zhǔn)確性問題，就必須抓住圖形中的一些關(guān)鍵點和圖形的變化趨勢只有抓住了局部的關(guān)鍵點，也就帶動了整體的圖形狀態(tài)例已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且F1PF2的最大值為90，直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，ABF2的面積最大值為12（1）求橢圓C的離心率；（2）求橢圓C的方程講解（1）設(shè)由得（2）1) 當(dāng)k存在時，設(shè)l的方程為 橢圓方程為由得于是橢圓方程可化為 把代入，得，整理得，則x1、x2是上述方程的兩根，且，AB邊上的高 ）當(dāng)k不存在時，把直線代入橢圓方程，得 由知S的最大值為由題意得=12 所以，所以面積最大時橢圓方程為：點評也可這樣求解：例經(jīng)過拋物線y的焦點F的直線L與該拋物線交于A,B兩點（） 線段AB的斜率為k，試求中點M的軌跡方程；（） 直線的斜率k2，且點M到直線3 x+4y+m=0的距離為，試確定m的取值范圍講解(1)設(shè)A(直線AB的方程為y=k(x-1) (k0),代入得 kx-(2k+4)x+k=0設(shè)M(x ,y)，則 點M的坐標(biāo)為(于是消去k，可得M的軌跡方程為(2) 由于 d= 所以 即 0,得0,即 或 故實數(shù)的取值范圍為 點評圓錐曲線的焦點弦問題是歷年高考的熱門話題，解答過程當(dāng)中有一些需要我們掌握的技巧和方法，應(yīng)當(dāng)引起讀者深刻的反思例已知動點與雙曲線的兩個焦點、的距離之和為定值，且的最小值為（）求動點的軌跡方程； （）若已知，、在動點的軌跡上且，求實數(shù)的取值范圍講解()由題意設(shè)（），由余弦定理, 得 又， 當(dāng)且僅當(dāng)時， 取最大值，此時取最小值，令，解得，故所求的軌跡方程為. （）設(shè)，則由，可得，故. 、在動點的軌跡上，且，消去可得，解得，又，解得，故實數(shù)的取值范圍是點評為了求參數(shù)的取值范圍，只要列出關(guān)于參數(shù)的不等式，而建立不等式的方法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等新教材的高考已經(jīng)進(jìn)行了年，而解析幾何解答試題和向量綜合呈現(xiàn)了新高考的嶄新亮點，體現(xiàn)了向量知識的工具性和廣泛的應(yīng)用性l 針對性演練1直線與直線平行且不重合，則a等于（ ）A BC0或 D0或橢圓的焦點為，過點作直線與橢圓相交，被橢圓截得的最短的線段MN長為，的周長為20，則橢圓的離心率為（ ）A BC D若P為拋物線上任意一點，以P為圓心且與軸相切的圓必過定點M，則點M的坐標(biāo)是（ ） A B C D 已知拋物線的焦點為，過作兩條互相垂直的弦、，設(shè)、的中點分別為. （） 求證：直線必過定點;（）分別以和為直徑作圓，求兩圓相交弦中點的軌跡方程設(shè)是單位圓的直徑，是圓上的動點，過點的切線與過點的切線分別交于兩點. 四邊形的對角線和的交點為，求的軌跡6. 橢圓的兩焦點分別為、，直線是橢圓的一條準(zhǔn)線（1）求橢圓的方程；ACOxy（2）設(shè)點在橢圓上，且，求的最大值和最小值7. 在ABC中，sinA、sinB、sinC構(gòu)成公差為正的等差數(shù)列，且其周長為12以為x軸，AC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系xoy（1）證明存在兩個定點E、F，使得|BE|+|BF|為定長；并求出點E、F的坐標(biāo)及點B的軌跡；（2）設(shè)P為軌跡上的任一點，點M、N分別在射線PA、PC上，動點Q滿足，經(jīng)過點A且以為方向向量的直線與動點Q的軌跡交于點R，試問：是否存在一個定點D，使得為定值？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由？已知A（2，0），B（2，0），動點P與A、B兩點連線的斜率分別為和，且滿足=t (t0且t1).（）求動點P的軌跡C的方程；（）當(dāng)t0時，曲線C的兩焦點為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點Q使得F1QF2=120O，求t的取值范圍答案DBA（）由題可知，設(shè)，直線AB的方程為， 則（1）（2）得，即，代入方程，解得同理可得：的坐標(biāo)為. 直線的斜率為，方程為，整理得,顯然，不論為何值，均滿足方程，所以直線恒過定點 . （）過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為. 由拋物線的性質(zhì)不難知道：準(zhǔn)線為圓與圓的公切線.設(shè)兩圓的相交弦交公切線于點，則由平面幾何的知識可知：為的中點. 所以，即 . 又因為公共弦必與兩圓的連心線垂直，所以公共弦的斜率為,所以，公共弦所在直線的方程為 ,即 , 所以公共弦恒過原點. 根據(jù)平面幾何的知識知道：公共弦中點就是公共弦與兩圓連心線的交點，所以原點、定點、所求點構(gòu)成以為直角頂點的直角三角形，即在以為直徑的圓上以圓心O為原點，直徑為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B（1，0），單位圓的方程為設(shè)N的坐標(biāo)為，則切線DC的方程為：， 由此可得 AC的方程為 BD的方程為 將兩式相乘得：，即當(dāng)點N恰為A或B時，四邊形變?yōu)榫€段AB，這不符合題意，所以軌跡不能包括A、B兩點，所以的軌跡方程為，（）6. （）設(shè)橢圓的方程為，則由，橢圓方程為（）因為在橢圓上，故由平面幾何知識，即，所以記，設(shè)且，則，所以在上單調(diào)遞減，于是，當(dāng)時原式取最大值，當(dāng)時，原式取最小值7.（1）由sinA、sinB、sinC構(gòu)成公差為正的等差數(shù)列，得 a+c=2b，且abc因a+b+c=12，故a+c=8，即|BC|+|BA|=8為定值注意到8|AC|=4，且|BC|BA|，故B的軌跡是以A、C為焦點，8為長軸長，在y軸左側(cè)且除去頂點的橢圓的一部分并且存在定點E、F，它們分別為A、C，從而它們的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0）ACOxyNMPRQST（2）如圖所示，不妨取，則以PMN為頂點可作出一個菱形PMTN，于是，且，從而PQ為APC的外角SPA的平分線過A且以為方向向量的直線ASPQ從而，于是只須取AC的中點為D（O），即有=4為定值故存在定點D，而為定值() 設(shè)點P坐標(biāo)為(x,y),依題意得=ty2=t(x24)+=1軌跡C的方程為+=1（x2）. () 當(dāng)1t0時，曲線C為焦點在x軸上的橢圓，設(shè)=r1，= r2, 則r1+ r2=2a=4.在F1PF2中，=2c=4,F1PF2=120O，由余弦定理，得4c2=r+r2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16（1+t）12, t.所以當(dāng)t0時，曲線上存在點Q使F1QF2=120O 當(dāng)t1時，曲線C為焦點在y軸上的橢圓，設(shè)=r1