2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（天津卷含解析）.docVIP

2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（天津卷，含解析）第I卷注意事項： 1、每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號. 2、本卷共8小題，每小題5分，共40分.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）已知全集 ，集合 ，集合 ，則集合 （A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】試題分析：,所以，故選A.考點：集合運(yùn)算.（2）設(shè)變量 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C 考點：線性規(guī)劃.（3）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為（A） （B）6（C）14（D）18【答案】B【解析】試題分析：模擬法：輸入； 不成立； 不成立 成立 輸出,故選B.考點：程序框圖.（4）設(shè) ，則“ ”是“ ”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A考點：充分條件與必要條件.（5）如圖，在圓 中， 是弦 的三等分點，弦 分別經(jīng)過點 .若 ，則線段 的長為（A） （B）3 （C） （D） 【答案】A【解析】試題分析：由相交弦定理可知，又因為是弦的三等分點，所以，所以，故選A.考點：相交弦定理.（6）已知雙曲線 的一條漸近線過點 ，且雙曲線的一個焦點在拋物線 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（A） （B）（C）（D）【答案】D考點：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì).（7）已知定義在 上的函數(shù) （ 為實數(shù)）為偶函數(shù)，記 ，則 的大小關(guān)系為（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】試題分析：因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以所以，故選C.考點：1.函數(shù)奇偶性；2.指數(shù)式、對數(shù)式的運(yùn)算.（8）已知函數(shù) 函數(shù) ，其中，若函數(shù) 恰有4個零點，則的取值范圍是（A） （B） （C）（D）【答案】D【解析】試題分析：由得，所以，即,所以恰有4個零點等價于方程有4個不同的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個公共點，由圖象可知.考點：1.求函數(shù)解析式；2.函數(shù)與方程；3.數(shù)形結(jié)合.第II卷注意事項：1、用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2、本卷共12小題，共計110分.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.（9） 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為 .【答案】【解析】試題分析：是純度數(shù)，所以，即.考點：1.復(fù)數(shù)相關(guān)定義；2.復(fù)數(shù)運(yùn)算.（10）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為 . 【答案】【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是中間為一個底面半徑為，高為的圓柱，兩端是底面半徑為，高為的圓錐，所以該幾何體的體積.考點：1.三視圖；2.旋轉(zhuǎn)體體積.（11）曲線 與直線 所圍成的封閉圖形的面積為 .【答案】【解析】試題分析：兩曲線的交點坐標(biāo)為，所以它們所圍成的封閉圖形的面積.考點：定積分幾何意義.（12）在 的展開式中，的系數(shù)為 .【答案】考點：二項式定理及二項展開式的通項.（13）在 中，內(nèi)角 所對的邊分別為 ，已知的面積為 ， 則的值為 .【答案】【解析】試題分析：因為，所以，又，解方程組得，由余弦定理得，所以.考點：1.同角三角函數(shù)關(guān)系；2.三角形面積公式；3.余弦定理.（14）在等腰梯形 中,已知 ,動點 和 分別在線段 和 上,且, 則的最小值為 .【答案】【解析】試題分析：因為， 當(dāng)且僅當(dāng)即時的最小值為.考點：1.向量的幾何運(yùn)算；2.向量的數(shù)量積；3.基本不等式.三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15. （本小題滿分13分）已知函數(shù)，(I)求最小正周期；(II)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(I); (II) ,.考點：1.兩角和與差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).16. （本小題滿分13分）為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(I)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件A發(fā)生的概率；(II)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(I) ; (II) 隨機(jī)變量的分布列為【解析】試題分析：(I)由古典概型計算公式直接計算即可； (II)先寫出隨機(jī)變量的所有可能值，求出其相應(yīng)的概率，即可求概率分布列及期望.試題解析：(I)由已知，有所以事件發(fā)生的概率為.(II)隨機(jī)變量的所有可能取值為所以隨機(jī)變量的分布列為所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望考點：1.古典概型；2.互斥事件；3.離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.17. （本小題滿分13分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱,且點M和N分別為的中點.(I)求證：；(II)求二面角的正弦值；(III)設(shè)E為棱上的點，若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段的長【答案】(I)見解析； (II) ； (III) .【解析】試題分析：以為原點建立空間直角坐標(biāo)系(I)求出直線的方向向量與平面的法向量，兩個向量的乘積等于即可；(II)求出兩個平面的法向量，可計算兩個平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；(III) 設(shè)，代入線面角公式計算可解出的值，即可求出的長.試題解析：如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，又因為分別為和的中點，得.(I)證明：依題意，可得為平面的一個法向量，由此可得，又因為直線平面，所以平面(II)，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，設(shè)為平面的一個法向量，則，又，得，不妨設(shè)，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值為.(III)依題意，可設(shè)，其中，則，從而，又為平面的一個法向量，由已知得，整理得，又因為，解得， 所以線段的長為.考點：1.直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)；2.二面角、直線與平面所成的角；3.空間向量的應(yīng)用.18. （本小題滿分13分）已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(I)求q的值和的通項公式；(II)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】(I) ; (II) .【解析】試題分析：(I)由得 先求出，分為奇數(shù)與偶數(shù)討論即可；(II)求出數(shù)列的通項公式，用錯位相減法求和即可.試題解析：(I) 由已知，有，即，所以，又因為，故，由，得，當(dāng)時，當(dāng)時，所以的通項公式為考點：1.等差中項定義；2.等比數(shù)列及前項和公式.3.錯位相減法.19. （本小題滿分14分）已知橢圓的左焦點為,離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓截得的線段的長為c，.(I)求直線FM的斜率；(II)求橢圓的方程；(III)設(shè)動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP（O為原點）的斜率的取值范圍.【答案】(I) ； (II) ；(III) .【解析】試題分析：(I) 由橢圓知識先求出的關(guān)系，設(shè)直線直線的方程為，求出圓心到直線的距離，由勾股定理可求斜率的值； (II)由(I)設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，由可求出，從而可求橢圓方程.(III)設(shè)出直線：，與橢圓方程聯(lián)立，求得，求出的范圍，即可求直線的斜率的取值范圍.試題解析：(I) 由已知有，又由，可得，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有，解得.(II)由(I)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因為點在第一象限，可得的坐標(biāo)為，由，解得，所以橢圓方程為(III)設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的斜率為，得，即,與橢圓方程聯(lián)立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得.當(dāng)時，有，因此，于是，得當(dāng)時，有，因此，于是，得綜上，直線的斜率的取值范圍是考點：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；2.直線和圓的位置關(guān)系；3.一元二次不等式.20. （本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中.(I)討論的單調(diào)性；(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有；(III)若關(guān)于的方程有兩個正實根，求證： 【答案】(I) 當(dāng)為奇數(shù)時，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (II)見解析； (III)見解析.試題解析：(I)由，可得，其中且，下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)為奇數(shù)時：令，解得或，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：所以，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.(2)當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (II)證明：設(shè)點的坐標(biāo)為，則，曲線在點處的切線方程為，即，令，即，則由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減