對(duì)稱——重要的物理思維方法

對(duì)稱思維大千世界千差萬別、千變?nèi)f化，卻又和諧統(tǒng)一、協(xié)調(diào)。上下、左右、陰陽、正負(fù)互相對(duì)應(yīng)，構(gòu)成一個(gè)對(duì)立統(tǒng)一的整體反映客觀世界的這種內(nèi)在一致性、規(guī)律的不變性,這種平衡的美感,這就是對(duì)稱。這種對(duì)稱可以幫助我們認(rèn)識(shí)物理世界的規(guī)律性,探索未知世界的奧秘,學(xué)好物理學(xué)。一、對(duì)稱性普遍存在于物理學(xué)中對(duì)稱性普遍存在于各種物理現(xiàn)象、過程和規(guī)律之中，它反映了物理世界的和諧與優(yōu)美。概括起來說，中學(xué)物理中的對(duì)稱主要表現(xiàn)為時(shí)空對(duì)稱、數(shù)學(xué)對(duì)稱和抽象對(duì)稱。、時(shí)空對(duì)稱時(shí)空對(duì)稱表示物理現(xiàn)象（或系統(tǒng)）在時(shí)空變換下的不變性。主要包括：空間對(duì)稱、時(shí)間對(duì)稱、時(shí)間和空間同時(shí)對(duì)稱。杠桿的平衡、平面鏡的成像、磁場的兩極、電荷的正負(fù)、光的可逆性等表現(xiàn)物質(zhì)的直觀形象在空間的對(duì)稱；做勻速運(yùn)動(dòng)的物體，通過空間任一位置的速度都相等，相干光在干涉空間任一區(qū)域都保持相等的條紋亮度。做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體，通過空間任一位置的加速度都相等，表現(xiàn)了物質(zhì)在運(yùn)動(dòng)過程中的空間對(duì)稱。物體沿光滑斜面上滑和下滑、豎直上拋和下落等表現(xiàn)出了時(shí)間的對(duì)稱，彈簧振子的振動(dòng)則同時(shí)表現(xiàn)出了時(shí)間和空間的對(duì)稱：振子在平衡位置兩側(cè)任意相對(duì)稱的位置上受到的合外力、具有的速度和加速度的大小相同，通過對(duì)稱軌跡的時(shí)間、位移大小、合外力的沖量、合外力所做的功相同，等等。我們不難看出，物質(zhì)運(yùn)動(dòng)對(duì)時(shí)空表現(xiàn)出的對(duì)稱，其含義已大大超出軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等幾何對(duì)稱的概念，它是對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)空中的某一點(diǎn)或某一時(shí)刻表現(xiàn)出某種重復(fù)或特定的序，例如量值的恒定、周期性的復(fù)現(xiàn)、過程的可逆、互斥的存在等等。、數(shù)學(xué)對(duì)稱數(shù)學(xué)對(duì)稱表示物理內(nèi)容在數(shù)學(xué)形式（圖與式）上的對(duì)稱性或不變性。例如，簡諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖象、交變電流的圖象都是正弦圖象，它們具有的對(duì)稱性表現(xiàn)為物理內(nèi)容在數(shù)學(xué)圖形上的對(duì)稱。動(dòng)量定理與動(dòng)能定理k之間，萬有引力定律與庫侖定律之間具有的對(duì)稱性以及機(jī)械能守恒定律EK1 + EP1 = EK2 + EP2具有的對(duì)稱性表現(xiàn)為物理內(nèi)容在數(shù)學(xué)表達(dá)式上的對(duì)稱性。、抽象對(duì)稱抽象對(duì)稱則以抽象的方法反映出物理內(nèi)容的對(duì)稱。例如：處于平衡狀態(tài)的氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)在三維空間各個(gè)自由度上發(fā)生運(yùn)動(dòng)的幾率相等；氣體對(duì)容器器壁的壓強(qiáng)處處相等；當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)趨近于無限時(shí)絕對(duì)誤差的代數(shù)和為零等等，都體現(xiàn)了物理內(nèi)容的抽象對(duì)稱。二、對(duì)稱思維在物理學(xué)的研究與發(fā)展中起著重要作用1、對(duì)稱思維在物理學(xué)發(fā)展中曾起著重要作用在人們認(rèn)識(shí)客觀的認(rèn)識(shí)史上，對(duì)稱性曾給予人們許多有益的啟示。人們通過對(duì)稱性思考，作出假設(shè)，揭示未知的規(guī)律、預(yù)言未知事件及其基本特性，并從對(duì)稱性特征上去研究、分析遵循對(duì)稱的條件或破壞對(duì)稱的原因。所以，對(duì)稱性在物理學(xué)中有著極為重要的作用，而且其重要性正隨著近代物理的發(fā)展與日俱增。這里略舉幾例。電磁感應(yīng)的發(fā)現(xiàn) 1820年，丹麥物理學(xué)家奧斯特在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，這一實(shí)驗(yàn)使法拉第從對(duì)稱性上誘發(fā)了一連串思考：這一現(xiàn)象的逆效應(yīng)是否存在？能不能用磁體使導(dǎo)線中產(chǎn)生出電流來呢？等等。在1822年的日記里，他記下了一個(gè)大膽設(shè)想：由電產(chǎn)生磁，由磁產(chǎn)生電。并使用了“感應(yīng)”這個(gè)詞，從此，他開始了長達(dá)數(shù)十年的實(shí)驗(yàn)探索，終于在1831年8月29日發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，完成了名副其實(shí)的“磁生電”的對(duì)稱性設(shè)想。法拉第這一劃時(shí)代的發(fā)現(xiàn)，找到了把機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能的方法，開創(chuàng)了電的時(shí)代，發(fā)動(dòng)了又一次工業(yè)革命，對(duì)整個(gè)世界產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。物質(zhì)波假設(shè)的提出 1923年到1924年間，德布羅意從完全符合對(duì)稱性的思考上提出這樣問題：既然光有波動(dòng)性，也具有粒子性，那么具有粒子性的實(shí)物粒子（原子、電子、質(zhì)子等）是否也具有波動(dòng)性呢？他通過對(duì)原子、電子等實(shí)物粒子的性質(zhì)和光的性質(zhì)進(jìn)行深刻的研究后，于1924年在博士論文答辯中提出了一個(gè)大膽的假設(shè)：“一般的物質(zhì)也具有波粒二象性”。他假設(shè)每一個(gè)運(yùn)動(dòng)的粒子都有一個(gè)波與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)粒子的質(zhì)量E和動(dòng)量P與它所對(duì)應(yīng)的波的頻率和波長之間，也象光子一樣遵從下面的關(guān)系：Eh，/。與某種這個(gè)實(shí)物粒子所對(duì)應(yīng)的波就稱為物質(zhì)波或德布羅意波。這種假設(shè)后來為戴維森和湯姆生用實(shí)驗(yàn)予以證實(shí)。德布羅意從對(duì)稱性思考提出的物質(zhì)波假設(shè)，揭開了“自然界巨大面罩的一角”。宇稱不守恒定律的發(fā)現(xiàn) 許多事實(shí)表明：對(duì)于一個(gè)多粒子系統(tǒng)，不論經(jīng)過怎樣的相互作用（如中子、質(zhì)子、介子等之間的強(qiáng)相互作用或電磁相互作用）和發(fā)生怎樣的變化（包括可能會(huì)使粒子數(shù)發(fā)生變化），系統(tǒng)的總宇稱保持不變，這就是曾被奉為金科玉律的“宇稱守恒定律”?？墒?，楊振寧、李政道經(jīng)過仔細(xì)的分析和研究后，對(duì)宇稱守恒定律在弱作用過程中是否成立提出了質(zhì)疑：他們指出：“和一般所確信的相反，在弱相互作用中實(shí)際上并不存在左右對(duì)稱的任何實(shí)驗(yàn)依據(jù)。如果左右對(duì)稱在弱相互作用中并不存立，則宇稱的概念就不能應(yīng)用于和粒子的衰變機(jī)構(gòu)中，因此和可以是同一粒子?！彼麄儾⑻岢隽擞脤?shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證的方案。后來得到了吳健雄的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。楊振寧、李政道因此獲得了1956年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。弱相互作用過程中宇稱的不守恒，開創(chuàng)了粒子物理的新局面。宇稱不守恒定律的發(fā)現(xiàn)給我們一個(gè)啟示：對(duì)稱能給人一種圓滿、勻稱、均衡的美感，對(duì)稱破缺則體現(xiàn)了物理世界的多姿多彩，有時(shí)還可能意味著新的更高層次的對(duì)稱性的建立，同時(shí)還會(huì)導(dǎo)致物理理論的重大突破。2、對(duì)稱思維巧妙地運(yùn)用在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中庫侖做鈕秤實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，當(dāng)時(shí)還不知道怎么測量電量，電量的單位也還沒有確定，庫侖運(yùn)用對(duì)稱思想,把一個(gè)帶電小球與另一個(gè)大小、形狀、材料完全相同的不帶電小球接觸，則該小球所帶的電量變?yōu)樵瓉淼?，依此下去，就巧妙地將帶電金屬小球的電量分為原來的?，終于發(fā)現(xiàn)了點(diǎn)電荷間的作用定律。托馬斯揚(yáng)在解決光的相干性問題時(shí)，用單色光照射小孔S，如圖1，再由S發(fā)散的光照射相鄰的另外兩個(gè)小孔S1和S2，于是在屏上就觀察到了從S1和S2發(fā)出的兩束光的干涉圖象。這里他正是運(yùn)用了對(duì)稱思想巧妙地將點(diǎn)光源發(fā)出的一束光分為兩束，從而獲得了相干光源，觀察到了干涉現(xiàn)象，驗(yàn)證了光的波動(dòng)性。 對(duì)稱曾啟發(fā)了物理學(xué)家，它所發(fā)揮的巨大作用已在物理學(xué)上樹立了豐碑。今后，對(duì)稱還將繼續(xù)推動(dòng)物理學(xué)的發(fā)展，指導(dǎo)人們從更深層次上去探索物質(zhì)結(jié)構(gòu)及客觀世界之謎。三、對(duì)稱對(duì)物理學(xué)習(xí)的作用、利用對(duì)稱啟發(fā)直覺思維對(duì)稱在我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用物理知識(shí)上最突出的功能是啟發(fā)直覺思維，我們運(yùn)用對(duì)稱就是運(yùn)用物體在時(shí)空上表現(xiàn)出的對(duì)稱性，啟發(fā)我們直覺地、正確地感受一些物理問題。例如：電荷在球形導(dǎo)體表面呈均勻分布，當(dāng)其與等大中性球接觸時(shí)，兩球帶的電荷相等。許多問題，有時(shí)不必去作論證，可以借助對(duì)稱直接作出判斷。例 如圖，四只完全相同的電池串聯(lián)在一起構(gòu)成一個(gè)閉合回路，若每只電池的電動(dòng)勢為，內(nèi)電阻為r，則a、b、c、d四點(diǎn)的電勢為（ ）(A)aVbVcVd； (B)aVbVcVd；(C)aVbVcVd； (D) 無法確定。 圖2解析：由于a、b、c、d在閉合回路中是完全對(duì)稱的，根據(jù)對(duì)稱性使立即可得正確答案為（C）。我們還可以把這個(gè)問題進(jìn)一步推廣為：有n個(gè)相同的電池，首尾相接構(gòu)成閉合回路，根據(jù)對(duì)稱性，同樣可判知一個(gè)電池兩端之間的電勢差必定為零。因?yàn)榧热幻總€(gè)電池都相同，取出的兩點(diǎn)的位置對(duì)任何一個(gè)電池都是等價(jià)的，結(jié)果也必然相同。、運(yùn)用對(duì)稱思維方法巧解習(xí)題運(yùn)用對(duì)稱思維方法分析和解答物理問題，往往可以避免繁冗的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，一下子抓住問題的物理本質(zhì)，使分析問題的思路變得清晰，解決問題的步驟變得簡捷。例 一物體以米/秒2的加速度做勻減速直線運(yùn)動(dòng)至停止，求物體在停止運(yùn)動(dòng)前第秒內(nèi)的位移大??？解析：本題若按常規(guī)思路去求解，似乎顯得條件不夠，而利用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間對(duì)稱性去思考，則該題就轉(zhuǎn)換成求初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體在第秒內(nèi)的位移大小了。根據(jù) at2 得1 at12 = 0.5米又SSS 135 得 SS 17 SS3.5(米)也就是物體在停止運(yùn)動(dòng)前第4秒內(nèi)的位移是3.5米。例2 如圖4所示，一條長為L的細(xì)繩，上端固定，下端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的帶電小球，置于場強(qiáng)大小為E、方向水平的勻強(qiáng)電場中，且細(xì)繩偏離豎直方向時(shí)，小球平衡如果使偏角由增大到，然后將小球由靜止開始釋放，則應(yīng)為多大，才能使小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速度剛好為零？解析：小球最初靜止的位置（），就是小球發(fā)生振動(dòng)的平衡位置。根據(jù)小球在振幅位置處的速度為零，且兩振幅位置和具有時(shí)空對(duì)稱性,即偏離平衡位置的角度相等。故為使小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度剛好為零，應(yīng)使角等于2倍的角，即=2，顯然，這里運(yùn)用對(duì)稱法比用功能關(guān)系和三角函數(shù)變換關(guān)系來計(jì)算更簡便。 圖4 圖5例3 如圖5所示，凸透鏡的焦距f =20厘米，在垂直主軸且距透鏡u = 60厘米的平面上物點(diǎn)S以半徑R = 5厘米，速度v = 1米/秒繞主軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。求像點(diǎn)s的運(yùn)動(dòng)軌跡和運(yùn)動(dòng)加速度?解析:根據(jù)透鏡成像具有共軛對(duì)稱的特性，不論物點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)（或者透鏡的位置如何變化），物點(diǎn)S、光點(diǎn)O和像點(diǎn)S總是同時(shí)相應(yīng)地變化,并且三點(diǎn)始終保持在同一直線上,即具有“三點(diǎn)共線”的特點(diǎn)。所以，當(dāng)物點(diǎn)S做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，像點(diǎn)S也以同樣的角速度做圓周運(yùn)動(dòng)，且角速度大小為：= v / R = 20弧/秒根據(jù)放大率公式:K = r /R = f / u-f ，則像點(diǎn)的軌道半徑為：r = f R / u-f = 2.5厘米所以，像點(diǎn)的加速度為a = 2r = 10米/秒2例4、當(dāng)兩條通電直導(dǎo)線通以同向電流時(shí)，分析它們的之間的相互作用力怎樣？可用右手定則先判斷1導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場，再用左手定則判斷對(duì)2導(dǎo)線的作用力，再由作用力與反作用力的對(duì)稱性，可直接判斷2對(duì)1導(dǎo)線的受力，由此判斷它們之間是相互吸引的。同理通以反向電流時(shí)，也可由對(duì)稱性分析它們之間的相互作用的排斥。二、許多運(yùn)動(dòng)，如簡諧運(yùn)動(dòng)、豎直上拋，都有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的速度、位移和動(dòng)量大小相等、方向相反，對(duì)應(yīng)點(diǎn)動(dòng)能、勢能，對(duì)應(yīng)段的時(shí)間大小相等；斜拋運(yùn)動(dòng)（對(duì)稱軸兩側(cè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)速度和動(dòng)量大小相等，方向?qū)ΨQ，但不相反；動(dòng)能、勢能、對(duì)應(yīng)段的時(shí)間大小相等）等，都是具有對(duì)稱性的，如果用對(duì)稱性處理問題就可以迎刃而解了。例5、如圖所示，一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，直立在地面上，在其上端輕放一個(gè)質(zhì)量為m的物體，則彈簧的最大壓縮量為多大？解析：物體放在彈簧上后，在豎直方向做簡諧運(yùn)動(dòng)，設(shè)物體運(yùn)動(dòng)到平衡位置的距離為h，則由平衡條件得kh=mg，所以h=mg/k，由再簡諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性知，物體下降的最大高度，即彈簧最大壓縮量為x=2h=2mg/k。例6、如圖所示的直線是真空中某電場的一條電場線，A、B是這條直線上的兩點(diǎn)，一電子以速度vA經(jīng)過A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后，電子以速度vB經(jīng)過B點(diǎn)，且vB與vA的方向相反，則AvABvBA.A點(diǎn)的場強(qiáng)一定大于B點(diǎn)的場強(qiáng)B.A點(diǎn)的電勢一定低于B點(diǎn)的電勢 C.電子在A點(diǎn)的速度一定小于在B點(diǎn)的速度D.電子在A點(diǎn)的電勢能一定小于在B點(diǎn)的電勢能解析：電子受到電場力的作用先向右，再向左運(yùn)動(dòng)。來回對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有對(duì)稱性，速度大小相等、方向相反，電勢能相等等特點(diǎn)，向右運(yùn)動(dòng)時(shí)電場力做負(fù)功，電子在A點(diǎn)的電勢能一定小于在B點(diǎn)的電勢能，則可知選D。三、對(duì)稱性圖形在物理學(xué)中也是常見的。如：點(diǎn)電荷、帶等量異種電荷、帶等量同種電荷的電場分布，條形磁鐵、通電螺線管、通電直導(dǎo)線周圍的磁場分布，等等都具有對(duì)稱性，若運(yùn)用對(duì)稱法解題常很容易。在電磁學(xué)中，帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)，要注意圓周運(yùn)動(dòng)中有關(guān)對(duì)稱規(guī)律，如從同一直線邊界射入的粒子，再從這一邊射出時(shí)，速度與邊界的夾角相等；在圓形磁場區(qū)域內(nèi)，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出；在光學(xué)中，光的反射定律，平面鏡成像，光路可逆；簡諧運(yùn)動(dòng)、交流電的正弦、余弦規(guī)律變化的圖象等等例7、如圖所示，A、B是兩個(gè)等量異號(hào)的點(diǎn)電荷，其中A帶正電荷的電量為QA、B兩點(diǎn)電荷相距L在兩點(diǎn)電荷連線上距中點(diǎn)O，L/4處有a、b兩點(diǎn)，在連線中垂線上有距兩點(diǎn)電荷均為L的c、d兩點(diǎn)，點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A場強(qiáng)Ea=EbB場強(qiáng)Ec=EdC電勢Ua=Ub D電勢Uc=Ud解析：由帶等量異種電荷電場分布對(duì)稱性知： Ea=Eb，Ec=Ed（注意方向），Uc=Ud；Ua=Ub 是錯(cuò)的，因沿著電場線電勢降低。 所以ABD對(duì)。例8、如圖所示，在第一象限內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一對(duì)正、負(fù)電子分別以相同速度沿與x軸成30角從原點(diǎn)射入磁場，則正、負(fù)電子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為 。解析：如圖由帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的對(duì)稱性，可知正、負(fù)電子在磁場中偏轉(zhuǎn)角分別為1200和600而正、負(fù)電子在磁場中周期一樣，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為2:1例9、電視機(jī)的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)，如圖所示。磁場方向垂直于圓面。磁場區(qū)的中心為O，半徑為r。當(dāng)不加磁場時(shí)，電子束將通過O點(diǎn)而打到屏幕的中心M點(diǎn)。為了讓電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度，此時(shí)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多少？解析：畫好輔助線（半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線）,偏角可由 求出。經(jīng)歷時(shí)間由 得出 由對(duì)稱性知射出線的反向延長線必過磁場圓的圓心。221qtanemUrB=四、化不對(duì)稱為對(duì)稱。不具對(duì)稱性的問題轉(zhuǎn)化成具有對(duì)稱性的問題來解決。例10、如圖所示，相對(duì)兩上斜面，傾角分別為37和53，在頂點(diǎn)把兩個(gè)小球以同樣大小的初速度分別向左、向右水平拋出，小球都落在足夠長的斜面上。若不計(jì)空氣阻力，則兩個(gè)小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比（sin37=0.6，cos37=0.8）B解析：對(duì)稱地補(bǔ)上一條輔助線，兩個(gè)平拋運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性知，假如A落在輔助線上兩個(gè)小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，而落在題目所示斜面上兩個(gè)小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比tAtB五、非用對(duì)稱法解不可。例11、（