中學數(shù)學思想方法概述和教學策略分析.doc

中學數(shù)學思想方法概述趙澤鵬東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院2008級四班中學數(shù)學思想方法概述趙澤鵬東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院2008級四班摘 要數(shù)學的教學過程不應該僅僅是知識的傳授，更應該是數(shù)學思想的傳授和延續(xù)。本文主要介紹了集中重要的數(shù)學思想及例子，探討中學數(shù)學思想的教學策略關鍵字：中學數(shù)學思想 函數(shù)思想 集合思想 轉(zhuǎn)化思想1 引言數(shù)學思想方法一詞已經(jīng)存在很久了，在很多學科中，都已被廣泛使用。數(shù)學的各種知識無不反映著數(shù)學思想方法。但是，究竟什么是數(shù)學思想方法呢？一般地說，數(shù)學思想方法是數(shù)學產(chǎn)生發(fā)展過程中必須依賴的東西。數(shù)學思想不僅僅是對數(shù)學知識和數(shù)學方法進一步抽象和概括，也是解決數(shù)學問題的手段，是人們對數(shù)學本質(zhì)的認識和反思。應該這么說，數(shù)學思想從某種層面上講，是一種數(shù)學文化，是數(shù)學學科的哲學意義。中學數(shù)學是對大眾的教育，其中涉及的數(shù)學思想也是日常生活中很常見的思想。這些思想在解決數(shù)學問題和其他生活問題中有著重要的作用。二中學生由于自身認知水平限制，很難在高層及解決和看待數(shù)學思想，這就要求數(shù)學教師在教學中注重數(shù)學思維和數(shù)學思想的教育。在中學階段，常見的數(shù)學思想有：化歸思想、集合思想、轉(zhuǎn)換思想、參數(shù)思想、歸納思想、類比思想、演繹思想、模型思想、函數(shù)方程思想等。這些思想貫穿著中學數(shù)學的教學和實踐過程。2中學數(shù)學思想方法概述2.1中學代數(shù)中的基本思想 2.1.1 集合思想集合的思想是指應用集合論的觀點來分析問題、認識問題和解決問題的思想。集合論是德國數(shù)學家康托（G.Cantor）于19世紀末創(chuàng)立的，因其表達簡便，容易理解，被廣泛應用在數(shù)學、物理等各個領域。集合是指具有某種共同特性的事物的全體（高夯 中學數(shù)學與現(xiàn)代數(shù)學），例如：“某班級的全體女生”，“十二生肖”等。在中學階段，集合有三條重要的性質(zhì)：確定性，無序性，互異性。這就對我們所指的領域進行了一個分類，也就簡化了我們對事物的理解和認識。 集合思想大體包括集合的概念、運算，映射的概念等。我們周圍的事物是紛繁復雜的，利用集合的思想，就可以很快的將這些事物分類的處理，例如在排隊的時候，將男女生分開管理，按大小個排隊，就是運用集合的知識來解決問題。2.1.2 函數(shù)思想函數(shù)可以用來刻畫事物運動變化相互聯(lián)系、相互制約的規(guī)律。什么是函數(shù)呢？嚴格地講，設A，B是實數(shù)集R（笛卡兒集Rn）的非空子集時，f是笛卡兒集AB的子集，且對任意xA,存在唯一的yB,使（x，y）f，稱f是定義在A上在B中取值的函數(shù)。而在中學階段是這樣定義的：如果在一個變化過程中，有兩個變量，例如x和y對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應，我們就說y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量（數(shù)學（八年級上） 華東師范大學出版社）。函數(shù)的基本思想是對應，從函數(shù)的角度出發(fā)，我們可以發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展的規(guī)律和聯(lián)系，選擇適當?shù)姆椒ń鉀Q問題。我們都知道每天股票的走勢問題都近似的描繪成一個函數(shù)圖像，從函數(shù)圖像，分析函數(shù)的走勢，來進行決策什么時候適合買入，什么時候賣出。2.1.3數(shù)形結(jié)合思想有時，代數(shù)的表示是很抽象的，而幾何的表示就更加直觀一下。所以數(shù)形結(jié)合在一起，能將抽象的數(shù)量關系賦予形象的幾何直觀，也能克服幾何圖形問題的數(shù)量關系不明確的特點。在中學代數(shù)中應用這一思想方法的內(nèi)容非常廣泛，如函數(shù)及其圖像；不等式的解集；向量等；在概率中，對數(shù)據(jù)分析時應用的頻率直方圖，扇形統(tǒng)計圖等。尤其在分析數(shù)據(jù)時，利用統(tǒng)計圖，能很快的看清各個部分的大小。2.1.4轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化的思想就是把未知問題轉(zhuǎn)化為在已知的問題的一種思想，是學習新知識，探索新內(nèi)容的重要途徑。在中學階段，轉(zhuǎn)化的思想體現(xiàn)得淋漓盡致。僅以解方程為例，無論多次還是多元方程，其基本思想是轉(zhuǎn)化為一元一次方程，無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程，分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程。在轉(zhuǎn)化的過程中，應該注意轉(zhuǎn)化的等價性，即轉(zhuǎn)化后的方程與原方程是等價的，只有這樣的轉(zhuǎn)化才能保證轉(zhuǎn)化前后的方程是同解的。但在不等式中其證明方法放縮法就不是等價的。等價的轉(zhuǎn)化主要是尋找原命題成力的充要條件，而不等價轉(zhuǎn)化主要是尋找原題結(jié)論成立的充分條件，這是轉(zhuǎn)化的區(qū)別。2.2中學幾何中的基本思想2.2.1 幾何公理化體系 在中學階段，我們研究的主要是歐式幾何。歐幾里德給出的五個公設：1.由任意一點到任意一點可以做直線。2.一條有限直線可以繼續(xù)延長。3.以任意點為心及任意的距離可以畫圓。4.凡直角都相等。5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于兩個直角，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。平面幾何，立體幾何，解析幾何都是源于幾何公理體系，在幾何公理體系下，很多運算都是很簡便的。正是因為幾何公理化體系的存在，才使得很多幾何上的定理定義出現(xiàn)。例如過直線外一點，能做且只能做一條直線與已知直線垂直。2.2.2變換思想 在研究幾何的時候，我們往往在就幾何對象在連續(xù)變化下保持不表的性質(zhì)。我們知道在現(xiàn)實世界的物體是處于不斷發(fā)展變化中的，由此抽象出來的幾何圖形的位置、形狀、大小也就不斷變化。有了變換思想，我們可以從運動的觀點來考慮幾何問題，使原來靜止的圖形“動”起來。例如全等、相似、中心對稱、軸對稱等，我們都可以看作一個圖形進行了某個變換，變成了另一個圖形，這兩個圖形的關系。在中考中，常考的一種題型，是動點動面動線問題。在直角坐標系中，有一個固定的圖形，還有移動的點，或線面，并用函數(shù)知識解決問題。2.2.3化歸思想我們都知道三角形是平面幾何中最基礎的圖形，任何一個圖形都可以分解成三角形的組合。所以在考慮圖形的有關問題時，我們可以將其轉(zhuǎn)化為三角形。如求多邊形內(nèi)角和時，就可以將多邊形分解成多個三角形，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和來球多邊形的內(nèi)角和。這就體現(xiàn)了向基本特殊的圖形轉(zhuǎn)化的思想。在解決立體幾何問題時，如求二面角，我們將起化歸到一個三角形中，然后利用三角函數(shù)來解決這個問題。3.總結(jié)歸納 中學思想方法不僅僅本文列舉的這幾種，對于中學生來講，要掌握很多數(shù)學知識和數(shù)學方法，還要深刻理解數(shù)學的深意，這就需要教師深層次的理解數(shù)學思想的內(nèi)涵，還要能夠漸漸地滲透思想，讓學生達到質(zhì)的飛躍參