幾何模塊(教師版).doc

教 師：學 生：上課時間：2013年 月 日 : - :上課地點： 校區(qū)上課進度：第 講 幾何模塊綜合復習知識框架板塊一 三角形等高模型我們已經(jīng)知道三角形面積的計算公式：三角形面積底高從這個公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；這說明當三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發(fā)生變化但是，當三角形的底和高同時發(fā)生變化時，三角形的面積不一定變化比如當高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼模瑒t三角形面積與原來的一樣這就是說：一個三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化同時也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個不同的形狀在實際問題的研究中，我們還會常常用到以下結論：等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖 夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比板塊二 鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比如圖在中，分別是上的點如圖 (或在的延長線上，在上)，則 板塊三 任意四邊形模型任意四邊形中的比例關系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑通過構造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關系與四邊形內的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系板塊四 梯形模型的應用梯形中比例關系(“梯形蝴蝶定理”)：；的對應份數(shù)為梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關系互相轉換的渠道，通過構造模型，直接應用結論，往往在題目中有事半功倍的效果 板塊五 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關的常用的性質及定理如下：相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具在小學奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形模塊六 燕尾定理在三角形中，相交于同一點，那么上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為和的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，是上任意一點，請你說明：【解析】 三角形與三角形同高，分別以、為底，所以有；三角形與三角形同高，；三角形與三角形同高，所以；綜上可得. 例題精講【例 1】 如圖，長方形的面積是平方厘米，點、分別是長方形邊上的中點，為邊上的任意一點，求陰影部分的面積 【解析】 本題是等底等高的兩個三角形面積相等的應用連接、，同理，(平方厘米)【例 2】 長方形的面積為36，、為各邊中點，為邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下圖： 可得：、，而 即； 而， 所以陰影部分的面積是： 解法二：特殊點法找的特殊點，把點與點重合，那么圖形就可變成右圖： 這樣陰影部分的面積就是的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有： 【例 3】 已知的面積為平方厘米，求的面積【解析】 ，設份，則份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【例 4】 (2007年”走美”五年級初賽試題)如圖所示，正方形邊長為6厘米，三角形的面積為_平方厘米【解析】 由題意知、，可得根據(jù)”共角定理”可得，；而；所以；同理得，;，故(平方厘米)【例5】(小數(shù)報競賽活動試題)如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對角線AC、BD分成四個部分，AOB面積為1平方千米，BOC面積為2平方千米，COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是692平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【分析】 根據(jù)蝴蝶定理求得平方千米，公園四邊形的面積是平方千米，所以人工湖的面積是平方千米【例6】如圖，平行四邊形的對角線交于點，、的面積依次是2、4、4和6求：求的面積；求的面積【解析】 根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為；由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為，根據(jù)蝴蝶定理，所以，那么【例7】如圖，長方形中，三角形的面積為平方厘米，求長方形的面積 【解析】 連接，因為，所以因為，所以平方厘米，所以平方厘米因為，所以長方形的面積是平方厘米【例8】(2006年南京智力數(shù)學冬令營)如下圖，梯形的平行于，對角線，交于，已知與的面積分別為 平方厘米與平方厘米，那么梯形的面積是_平方厘米 【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，可得，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以(平方厘米)那么梯形的面積為(平方厘米)【例9】如圖面積為平方厘米的正方形中，是邊上的三等分點，求陰影部分的面積【解析】 因為是邊上的三等分點，所以，設份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道份，份，份，因此正方形的面積為份，所以，所以平方厘米【例10】 如圖，在長方形中，厘米，厘米，求陰影部分的面積【解析】 方法一：如圖，連接，將陰影部分的面積分為兩個部分，其中三角形的面積為平方厘米由于，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以，而平方厘米，所以平方厘米，陰影部分的面積為平方厘米方法二：如圖，連接，由于，設份，根據(jù)梯形蝴蝶定理， 份，份，份，因此份，份，而平方厘米，所以平方厘米【例11】 (2007年”迎春杯”高年級初賽)如圖，長方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_平方厘米 連接、四邊形為梯形，所以，又根據(jù)蝴蝶定理，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)那么長方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)【例12】如圖，平行，若，那么_【解析】 根據(jù)金字塔模型，設份，則份，份，所以【例13】 如圖， 中，互相平行，則 【解析】 設份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，所以，因此份，份，進而有份，份，所以【例14】如圖：平行， ，求的長度【解析】 在沙漏模型中，因為，所以，在金字塔模型中有：，因為，所以【例15】(年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學精英邀請賽)如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，則四邊形的面積_【解析】 因為為平行四邊形，所以，所以為平行四邊形，那么，所以又，所以，根據(jù)沙漏模型，所以【例16】（2009年第七屆希望杯五年級一試試題）如圖，三角形的面積是，是的中點，點在上，且，與交于點則四邊形的面積等于 【解析】 方法一：連接，根據(jù)燕尾定理，, 設份，則份，份，份，如圖所標所以方法二：連接，由題目條件可得到，所以，而所以則四邊形的面積等于【例17】如圖所示，在四邊形中，四邊形的面積是，那么平行四邊形的面積為_ 【解析】 連接,根據(jù)燕尾定理,設,則其他圖形面積，如圖所標，所以.【例18】 （2009年清華附中入學測試題）如圖，四邊形是矩形，、分別是、上的點，且，與相交于，若矩形的面積為，則與的面積之和為 【解析】 (法1)如圖，過做的平行線交于，則，所以，即，所以且，故，則所以兩三角形面積之和為(法2)如上右圖，連接、根據(jù)燕尾定理，而，所以，則，所以兩個三角形的面積之和為15【例19】(2008年“學而思杯”六年級數(shù)學試題)如右圖，三角形中，且三角形的面積是，則三角形的面積為_，三角形的面積為_，三角形的面積為_ 【分析】 連接、由于，所以，故；根據(jù)燕尾定理，所以，則，；那么；同樣分析可得，則，所以，同樣分析可得，所以，【例20】兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如圖所示， 三個三角形的面積 分別是，則陰影四邊形的面積是多少？【解析】 方法一：遇到?jīng)]有標注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點標注字母，方便后面的計算.再看這道題，出現(xiàn)兩個面積相等且共底的三角形設三角形為，和交于，則，再連結所以三角形的面積為3.設三角形的面積為，則，所以，四邊形的面積為方法二：設，根據(jù)燕尾定理,得到，再根據(jù)向右下飛的燕子，有，解得四邊形的面積為家庭作業(yè)作業(yè)檢測1.如圖，三角形中，三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形的面積是多少？【解析】 ，；又，(平方厘米)2.(2009年第七屆”希望杯”二試六年級)如圖，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面積分別是89，28，26那么三角形的面積是 【解析】 根據(jù)題意可知，所以，那么，故3.是長方形內一點，已知的面積是，的面積是，求的面積是多少？【解析】 由于是長方形，所以，而，所以，則，所以4.如圖，求【解析】 本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點融合到一起，既可以看作是”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”的反復運用，也可以看作是找點，最妙的是其中包含了找點的種情況最后求得的面積為5.如圖，在中，已知、分別在邊、上，與相交于,若、和的面積分別是3、2、1，則的面積是 【解析】 這道題給出的條件較少，需要運用共邊定理和蝴蝶定理來求解根據(jù)蝴蝶定理得 設，根據(jù)共邊定理我們可以得，解得6.右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米 【分析】 連接由于與是平行的，所以也是梯形，那么根據(jù)蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)7.(98迎春杯初賽)如圖，長方形中，是直角三角形且面積為54，的長是16，的長是9那么四邊形的面積是 【解析】 解法一：連接，依題意，所以，則又因為，所以，得，所以 解法二：由于，所以，而，根據(jù)蝴蝶定理，所以，所以8.如圖，中，與平行，的面積是1平方厘米那么的面積是 平方厘米【解析】 因為，與平行，根據(jù)相似模型可知，平方厘米，則平方厘米，又因為，所以(平方厘米)9.如圖，線段與垂直，已知，那么圖中陰影部分面積是多少？ 【解析】 解法一：這個圖是個對稱圖形，且各邊長度已經(jīng)給出，不妨連接這個圖形的對稱軸看看作輔助線，則圖形關于對稱，有，且 設的面積為2份，則的面積為3份，直角三角形的面積為8份因為，而陰影部分的面積為4份，所以陰影部分的面積為解法二：連接、由于，所以，根據(jù)相似三角形性質，可知，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以，即；又，所以10.如右圖，三角形中，求.【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以11. 如右圖，三角形中，且三角形的面積是，求三角形的面積【解析】 連接BG，份根據(jù)燕尾定理，得(份)，(份)，則(份)，因此,同理連接AI、CH得,所以三角形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是1912.如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點,求陰影部分面積. 【解析】 三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好