2013年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座十三動點(diǎn)型問題三含答案.doc

2012年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座十三 動點(diǎn)型問題（三）（函數(shù)引動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題、以圓為載體的動點(diǎn)問題）一、中考專題詮釋所謂“動點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.“動點(diǎn)型問題” 題型繁多、題意創(chuàng)新，考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等，是近幾年中考題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。二、解題策略和解法精講解決動點(diǎn)問題的關(guān)鍵是“動中求靜”.從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點(diǎn)的運(yùn)動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。在動點(diǎn)的運(yùn)動過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。三、中考考點(diǎn)精講專題五：函數(shù)引動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 函數(shù)因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解決途徑： 求相似三角形的第三個頂點(diǎn)時，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論。 或利用已知三角形中對應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。 若兩個三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。例1 （2012義烏市）如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=交于點(diǎn)A（3，6）（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動點(diǎn)，且滿足BAE=BED=AOD繼續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點(diǎn)的個數(shù)分別是1個、2個？思路分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的解析式，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)用勾股定理求出線段OA的長度；（2）如答圖1，過點(diǎn)Q作QGy軸于點(diǎn)G，QHx軸于點(diǎn)H，構(gòu)造相似三角形QHM與QGN，將線段QM與線段QN的長度之比轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比，即為定值需要注意討論點(diǎn)的位置不同時，這個結(jié)論依然成立；（3）由已知條件角的相等關(guān)系BAE=BED=AOD，可以得到ABEOED設(shè)OE=x，則由相似邊的比例關(guān)系可以得到m關(guān)于x的表達(dá)式（），這是一個二次函數(shù)借助此二次函數(shù)圖象（如答圖3），可見m在不同取值范圍時，x的取值（即OE的長度，或E點(diǎn)的位置）有1個或2個這樣就將所求解的問題轉(zhuǎn)化為分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題另外，在相似三角形ABE與OED中，運(yùn)用線段比例關(guān)系之前需要首先求出AB的長度如答圖2，可以通過構(gòu)造相似三角形，或者利用一次函數(shù)（直線）的性質(zhì)求得AB的長度解：（1）把點(diǎn)A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，k=2，y=2x（2分）OA=（3分）（2）是一個定值，理由如下：如答圖1，過點(diǎn)Q作QGy軸于點(diǎn)G，QHx軸于點(diǎn)H當(dāng)QH與QM重合時，顯然QG與QN重合，此時；當(dāng)QH與QM不重合時，QNQM，QGQH不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上，MQH=GQN，又QHM=QGN=90QHMQGN（5分），當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得 （7分）（3）如答圖2，延長AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FCOA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作ARx軸AOD=BAE，AF=OF，OC=AC=OA=ARO=FCO=90，AOR=FOC，AORFOC，OF=，點(diǎn)F（，0），設(shè)點(diǎn)B（x，），過點(diǎn)B作BKAR于點(diǎn)K，則AKBARF，即，解得x1=6，x2=3（舍去），點(diǎn)B（6，2），BK=63=3，AK=62=4，AB=5 （8分）；（求AB也可采用下面的方法）設(shè)直線AF為y=kx+b（k0）把點(diǎn)A（3，6），點(diǎn)F（，0）代入得k=，b=10，（舍去），B（6，2），AB=5（8分）（其它方法求出AB的長酌情給分）在ABE與OED中BAE=BED，ABE+AEB=DEO+AEB，ABE=DEO，BAE=EOD，ABEOED（9分）設(shè)OE=x，則AE=x （），由ABEOED得，（）（10分）頂點(diǎn)為（，）如答圖3，當(dāng)時，OE=x=，此時E點(diǎn)有1個；當(dāng)時，任取一個m的值都對應(yīng)著兩個x值，此時E點(diǎn)有2個當(dāng)時，E點(diǎn)只有1個（11分）當(dāng)時，E點(diǎn)有2個（12分）點(diǎn)評：本題是中考壓軸題，難度較大，解題核心是相似三角形與拋物線的相關(guān)知識，另外也考查了一次函數(shù)、勾股定理等重要知識點(diǎn)解題的難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，本題第（2），（3）問都涉及到了問題的轉(zhuǎn)化，要求同學(xué)們能夠?qū)⑺蠼獾膯栴}轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)學(xué)問題，利用自己所熟悉的數(shù)學(xué)知識去解決問題，否則解題時將不知道從何下手而導(dǎo)致失分對應(yīng)訓(xùn)練1（2012紹興）如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，連接AC，拋物線y=x24x2經(jīng)過A，B兩點(diǎn)（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)及線段AB的長；（2）若點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AB邊向點(diǎn)B移動，1秒后點(diǎn)Q也由點(diǎn)A出發(fā)以每秒7個單位的速度沿AO，OC，CB邊向點(diǎn)B移動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時另一個點(diǎn)也停止移動，點(diǎn)P的移動時間為t秒當(dāng)PQAC時，求t的值；當(dāng)PQAC時，對于拋物線對稱軸上一點(diǎn)H，HOQPOQ，求點(diǎn)H的縱坐標(biāo)的取值范圍1解：（1）由拋物線y=x24x2知：當(dāng)x=0時，y=2，A（0，2）由于四邊形OABC是矩形，所以ABx軸，即A、B的縱坐標(biāo)相同；當(dāng)y=2時，2=x24x2，解得x1=0，x2=4，B（4，2），AB=4（2）由題意知：A點(diǎn)移動路程為AP=t，Q點(diǎn)移動路程為7（t1）=7t7當(dāng)Q點(diǎn)在OA上時，即07tt2，1t時，如圖1，若PQAC，則有RtQAPRtABC=，即，t=，此時t值不合題意當(dāng)Q點(diǎn)在OC上時，即27t76，t時，如圖2，過Q點(diǎn)作QDABAD=OQ=7（t1）2=7t9DP=t（7t9）=96t若PQAC，則有RtQDPRtABC，即=，t=，t=符合題意當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時，即67t78，t時，如圖3，若PQAC，過Q點(diǎn)作QGAC，則QGPG，即GQP=90QPB90，這與QPB的內(nèi)角和為180矛盾，此時PQ不與AC垂直綜上所述，當(dāng)t=時，有PQAC當(dāng)PQAC時，如圖4，BPQBAC，=，=，解得t=2，即當(dāng)t=2時，PQAC此時AP=2，BQ=CQ=1，P（2，2），Q（4，1）拋物線對稱軸的解析式為x=2，當(dāng)H1為對稱軸與OP的交點(diǎn)時，有H1OQ=POQ，當(dāng)yH2時，HOQPOQ作P點(diǎn)關(guān)于OQ的對稱點(diǎn)P，連接PP交OQ于點(diǎn)M，過P作PN垂直于對稱軸，垂足為N，連接OP，在RtOCQ中，OC=4，CQ=1OQ=，SOPQ=S四邊形ABCDSAOPSCOQSQBP=3=OQPM，PM=，PP=2PM=，NPP=COQRtCOQRtNPP，PN=，PN=，P（，），直線OP的解析式為y=x，OP與NP的交點(diǎn)H2（2，）當(dāng)yH時，HOPPOQ綜上所述，當(dāng)yH2或yH時，HOQPOQ考點(diǎn)六：以圓為載體的動點(diǎn)問題與圓有關(guān)的動點(diǎn)問題也是中考的熱點(diǎn)，此類問題以圓為載體，主要研究幾何圖形在點(diǎn)的運(yùn)動中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；這類問題集幾何、代數(shù)知識于一體，是數(shù)形結(jié)合思想的完美表現(xiàn)，具有較強(qiáng)的綜合性、靈活性和多樣性。解決此類問題要充分利用圓的有關(guān)性質(zhì)，同時要抓住圖形運(yùn)動的本質(zhì)規(guī)律，用“靜態(tài)”的方法來分解圖形的運(yùn)動過程，用靜態(tài)的方法來研究運(yùn)動中的變與不變的函數(shù)關(guān)系，吧復(fù)雜的運(yùn)動過程化為簡單的數(shù)學(xué)問題。例2 （2012湘潭）如圖，在O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動點(diǎn)P，AC=AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)（1）如圖1，求證：PCDABC；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，PCDABC？請在圖2中畫出PCD并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到CPAB時，求BCD的度數(shù)思路分析：（1）由AB是O的直徑，根據(jù)直徑對的圓周角是直角，即可得ACB=90，又由PDCD，可得D=ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得A=P，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可判定：PCDABC；（2）由PCDABC，可知當(dāng)PC=AB時，PCDABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；（3）由ACB=90，AC=AB，可求得ABC的度數(shù)，然后利用相似，即可得PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，求得=，然后利用圓周角定理求得ACP的度數(shù)，繼而求得答案解：（1）證明：AB是O的直徑，ACB=90，PDCD，D=90，D=ACB，A與P是對的圓周角，A=P，PCDABC；（2）解：當(dāng)PC是O的直徑時，PCDABC，理由：AB，PC是O的直徑，PBC=ACB=90，AB=PC，A=PPCDABC；（3）解：ACB=90，AC=AB，ABC=30，PCDABC，PCD=ABC=30，CPAB，AB是O的直徑，=，ACP=ABC=30，BCD=ACACPPCD=903030=30點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用對應(yīng)訓(xùn)練2（2012無錫）如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，DAB=60點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運(yùn)動；與此同時，點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運(yùn)動當(dāng)P運(yùn)動到C點(diǎn)時，P、Q都停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為ts（1）當(dāng)P異于A、C時，請說明PQBC；（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運(yùn)動過程中，t為怎樣的值時，P與邊BC分別有1個公共點(diǎn)和2個公共點(diǎn)？2解：（1）四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2cm，AB=BC=2，BAC=DAB，又DAB=60（已知），BAC=BCA=30；如圖1，連接BD交AC于O四邊形ABCD是菱形，ACBD，OA=AC，OB=AB=1（30角所對的直角邊是斜邊的一半），OA=，AC=2OA=2，運(yùn)動ts后，又PAQ=CAB，PAQCAB，APQ=ACB（相似三角形的對應(yīng)角相等），PQBC（同位角相等，兩直線平行）5分（2）如圖2，P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，則PMBC在RtCPM中，PCM=30，PM=PC=由PM=PQ=AQ=t，即=t解得t=46，此時P與邊BC有一個公共點(diǎn)；如圖3，P過點(diǎn)B，此時PQ=PB，PQB=PAQ+APQ=60PQB為等邊三角形，QB=PQ=AQ=t，t=1時，P與邊BC有2個公共點(diǎn)如圖4，P過點(diǎn)C，此時PC=PQ，即2t=t，t=3當(dāng)1t3時，P與邊BC有一個公共點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C，即t=2時，P過點(diǎn)B，此時，P與邊BC有一個公共點(diǎn)，當(dāng)t=46或1t3或t=2時，P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點(diǎn)；當(dāng)46t1時，P與邊BC有2個公共點(diǎn)點(diǎn) 四、中考真題演練一、選擇題1（2012廣西）如圖，已知線段OA交O于點(diǎn)B，且OB=AB，點(diǎn)P是O上的一個動點(diǎn)，那么OAP的最大值是（）A30B45C60D901A解：根據(jù)題意知，當(dāng)OAP的取最大值時，OPAP；在RtAOP中，OP=OB，OB=AB，AB=2OP，OAB=30故選A2（2012北海）如圖，等邊ABC的周長為6，半徑是1的O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在ABC外部按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，則O自轉(zhuǎn)了（）A2周B3周C4周D5周2C解：圓在三邊運(yùn)動自轉(zhuǎn)周數(shù)：=3，圓繞過三角形外角時，共自轉(zhuǎn)了三角形外角和的度數(shù)：360，即一周；可見，O自轉(zhuǎn)了3+1=4周故選C3（2012蘭州）如圖，AB是O的直徑，弦BC=2cm，F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn)，ABC=60若動點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著ABA方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0t3），連接EF，當(dāng)BEF是直角三角形時，t（s）的值為（）A B1C或1D或1或D解：AB是O的直徑，ACB=90；RtABC中，BC=2，ABC=60；AB=2BC=4cm；當(dāng)BFE=90時；RtBEF中，ABC=60，則BE=2BF=2cm；故此時AE=ABBE=2cm；E點(diǎn)運(yùn)動的距離為：2cm或6cm，故t=1s或3s；由于0t3，故t=3s不合題意，舍去；所以當(dāng)BFE=90時，t=1s；當(dāng)BEF=90時；同可求得BE=0.5cm，此時AE=ABBE=3.5cm；E點(diǎn)運(yùn)動的距離為：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s；綜上所述，當(dāng)t的值為1、1.75或2.25s時，BEF是直角三角形故選D二、填空題4（2012遵義）如圖，AB是O的弦，AB長為8，P是O上一個動點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)O作OCAP于點(diǎn)C，ODPB于點(diǎn)D，則CD的長為 4解：OCAP，ODPB，由垂徑定理得：AC=PC，PD=BD，CD是APB的中位線，CD=AB=8=4，故答案為：45（2012寧波）如圖，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是線段BC上的一個動點(diǎn)，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 6（2012蘭州）如圖，已知O是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓，AOB=45，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，若過點(diǎn)P且與OA平行的直線與O有公共點(diǎn)，設(shè)P（x，0），則x的取值范圍是 7（2012河池）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OEFG的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，2），將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸上，得到矩形OMNP，OM與GF相交于點(diǎn)A若經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)的圖象交EF于點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 三、解答題8（2012咸寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），動點(diǎn)A以每秒1個單位長的速度，從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正方向運(yùn)動，M是線段AC的中點(diǎn)將線段AM以點(diǎn)A為中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90，得到線段AB過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為E，過點(diǎn)C作y軸的垂線，交直線BE于點(diǎn)D運(yùn)動時間為t秒（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時，求t的值；（2）設(shè)BCD的面積為S，當(dāng)t為何值時，S=？（3）連接MB，當(dāng)MBOA時，如果拋物線y=ax210ax的頂點(diǎn)在ABM內(nèi)部（不包括邊），求a的取值范圍9（2012山西）綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)（1）求直線AC的解析式及B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是x軸上一個動點(diǎn)，過P作直線lAC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）請在直線AC上找一點(diǎn)M，使BDM的周長最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)10（2012龍巖）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一塊含60角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A（1，0）（1）請直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)：B 、C ；并求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；（2）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中EDF=90，DEF=60），把頂點(diǎn)E放在線段AB上（點(diǎn)E是不與A、B兩點(diǎn)重合的動點(diǎn)），并使ED所在直線經(jīng)過點(diǎn)C此時，EF所在直線與（1）中的拋物線交于點(diǎn)M設(shè)AE=x，當(dāng)x為何值時，OCEOBC；在的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P使PEM是等腰三角形？若存在，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由11（2012蘭州）如圖，RtABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x=上（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若把ABO沿x軸向右平移得到DCE，點(diǎn)A、B、O的對應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點(diǎn)P使得PBD的周長最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）在（2）、（3）的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合），過點(diǎn)M作BD交x軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由12（2012荊門）如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)E，連接AB、AE、BE已知tanCBE=，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求證：CB是ABE外接圓的切線；（3）試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與ABE相似，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）設(shè)AOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0t3）時，AOE與ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍13（2012嘉興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是拋物線：y=x2上的動點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)）連接 OP，過點(diǎn)0作OP的垂線交拋物線于另一點(diǎn)Q連接PQ，交y軸于點(diǎn)M作PA丄x軸于點(diǎn)A，QB丄x軸于點(diǎn)B設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（1）如圖1，當(dāng)m=時，求線段OP的長和tanPOM的值；在y軸上找一點(diǎn)C，使OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點(diǎn)D、E用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)；求證：四邊形ODME是矩形14（2012濟(jì)寧）如圖，拋物線y=ax2+bx4與x軸交于A（4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段AB上一動點(diǎn)（端點(diǎn)除外），過點(diǎn)P作PDAC，交BC于點(diǎn)D，連接CP（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)動點(diǎn)P運(yùn)動到何處時，BP2=BDBC；（3）當(dāng)PCD的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)15（2012懷化）如圖，拋物線m：y=（x+h）2+k與x軸的交點(diǎn)為A、B，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為M（3，），將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180，得到新的拋物線n，它的頂點(diǎn)為D；（1）求拋物線n的解析式；（2）設(shè)拋物線n與x軸的另一個交點(diǎn)為E，點(diǎn)P是線段ED上一個動點(diǎn)（P不與E、D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），PEF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；（3）設(shè)拋物線m的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，以G為圓心，A、B兩點(diǎn)間的距離為直徑作G，試判斷直線CM與G的位置關(guān)系，并說明理由16（2012常德）如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（4，3），B（4，4）（1）求二次函數(shù)的解析式：（2）求證：ACB是直角三角形；（3）若點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由17（2012鞍山）如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)A（0，4），直線DMx軸正半軸于點(diǎn)M，交線段AB于點(diǎn)C，DM=6，連接DA，DAC=90（1）直接寫出直線AB的解析式；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P是線段MB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AB于點(diǎn)F，交過O、D、B三點(diǎn)的拋物線于點(diǎn)E，連接CE是否存在點(diǎn)P，使BPF與FCE相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由18（2012西寧）如圖（1），AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，若直線CD與O相切于點(diǎn)C，ADCD，垂足為D（1）求證：ADCACB；（2）如果把直線CD向下平行移動，如圖（2），直線CD交O于C、G兩點(diǎn)，若題目中的其他條件不變，且AG=4，BG=3，求tanDAC的值19（2012南充）如圖，C的內(nèi)接AOB中，AB=AO=4，tanAOB=，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）與點(diǎn)（2，6）（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）直線m與C相切于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D動點(diǎn)P在線段OB上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動；同時動點(diǎn)Q在線段DA上，從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動；點(diǎn)P的速度為每秒一個單位長，點(diǎn)Q的速度為每秒2個單位長，當(dāng)PQAD時，求運(yùn)動時間t的值；（3）點(diǎn)R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當(dāng)ROB面積最大時，求點(diǎn)R的坐標(biāo)20（2012蘇州）如圖，已知半徑為2的O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2x4）（1）當(dāng)x=時，求弦PA、PB的長度；（2）當(dāng)x為何值時，PDCD的值最大？最大值是多少？21（2012上海）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，AOB=90，點(diǎn)C是弧AB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分別為D、E（1）當(dāng)BC=1時，求線段OD的長；（2）在DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設(shè)BD=x，DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域22（2012泉州）已知：A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上（1）若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的O上，i）如圖，當(dāng)A=45，R=1時，求BOC的度數(shù)和BC的長；ii）如圖，當(dāng)A為銳角時，求證：sinA=；（2）若定長線段BC的兩個端點(diǎn)分別在MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動，如圖，當(dāng)MAN=60，BC=2時，分別作BPAM，CPAN，交點(diǎn)為P，試探索在整個滑動過程中，P、A兩點(diǎn)間的距離是否保持不變？請說明理由23（2012聊城）如圖，O是ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線交AB的延長線于點(diǎn)D（1）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時，DP是O的切線？請說明理由；（2）當(dāng)DP為O的切線時，求線段DP的長24（2012大慶）已知半徑為1cm的圓，在下面三個圖中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在圖2中ABC=90（l）如圖1，若將圓心由點(diǎn)A沿AC方向運(yùn)動到點(diǎn)C，求圓掃過的區(qū)域面積；（2）如圖2，若將圓心由點(diǎn)A沿ABC方向運(yùn)動到點(diǎn)C，求圓掃過的區(qū)域面積；（3）如圖3，若將圓心由點(diǎn)A沿ABCA方向運(yùn)動回到點(diǎn)A則：I）陰影部分面積為 ；）圓掃過的區(qū)域面積為 25（2012常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知動點(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m0），以點(diǎn)P為圓心，m為半徑的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方）點(diǎn)E為平行四邊形DOPE的頂點(diǎn)（如圖）（1）寫出點(diǎn)B、E的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）連接DB、BE，設(shè)BDE的外接圓交y軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q異于點(diǎn)D），連接EQ、BQ，試問線段BQ與線段EQ的長是否相等？為什么？（3）連接BC，求DBCDBE的度數(shù)專題十三 動點(diǎn)型問題（三）參考答案（函數(shù)引動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題、以圓為載體的動點(diǎn)問題）三、中考考點(diǎn)精講對應(yīng)訓(xùn)練四、中考真題演練一、選擇題3D解：AB是O的直徑，ACB=90；RtABC中，BC=2，ABC=60；AB=2BC=4cm；當(dāng)BFE=90時；RtBEF中，ABC=60，則BE=2BF=2cm；故此時AE=ABBE=2cm；E點(diǎn)運(yùn)動的距離為：2cm或6cm，故t=1s或3s；由于0t3，故t=3s不合題意，舍去；所以當(dāng)BFE=90時，t=1s；當(dāng)BEF=90時；同可求得BE=0.5cm，此時AE=ABBE=3.5cm；E點(diǎn)運(yùn)動的距離為：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s；綜上所述，當(dāng)t的值為1、1.75或2.25s時，BEF是直角三角形故選D二、填空題44解：OCAP，ODPB，由垂徑定理得：AC=PC，PD=BD，CD是APB的中位線，CD=AB=8=4，故答案為：45解：如圖，連接OE，OF，過O點(diǎn)作OHEF，垂足為H，在RtADB中，ABC=45，AB=2，AD=BD=2，即此時圓的直徑為2，由圓周角定理可知EOH=EOF=BAC=60，在RtEOH中，EH=OEsinEOH=1=，由垂徑定理可知EF=2EH=，故答案為：6x解：連接OD，由題意得，OD=1，DOP=45，ODP=90，故可得OP=，即x的極大值為，同理當(dāng)點(diǎn)P在x軸左邊時也有一個極值點(diǎn)，此時x取得極小值，x=，綜上可得x的范圍為：x故答案為：x7（4，）解：矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸的點(diǎn)N處，得到矩形OMNP，P=POM=OGF=90，PON+PNO=90，GOA+PON=90，PNO=GOA，OGANPO；E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），OE=4，OG=2，OP=OG=2，PN=GF=OE=4，OGANPO，OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2，GA=1，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），設(shè)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式為y=，把A（1，2）代入y=得k=12=2，過點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式為y=；把x=4代入y=中得y=，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，）故答案為：（4，）三、解答題8解：（1）CAO+BAE=90，ABE+BAE=90，CAO=ABERtCAORtABE=t=8（2）由RtCAORtABE可知：BE=，AE=2當(dāng)0t8時，S=CDBD=（2+t）（4）=t1=t2=3當(dāng)t8時，S=CDBD=（2+t）（4）=t1=3+5，t2=35（為負(fù)數(shù)，舍去）當(dāng)t=3或3+5時，S=（3）過M作MNx軸于N，則MN=CO=2當(dāng)MBOA時，BE=MN=2，OA=2BE=4拋物線y=ax210ax的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，25a）它的頂點(diǎn)在直線x=5上移動直線x=5交MB于點(diǎn)（5，2），交AB于點(diǎn)（5，1）125a2a9解：（1）當(dāng)y=0時，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，A、B的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0）當(dāng)x=0時，y=3C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1（k10），則，解得，直線AC的解析式為y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4） （2）拋物線上有三個這樣的點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q在Q1位置時，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（2，3）；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q2位置時，點(diǎn)Q2的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q2坐標(biāo)為（1+，3）；當(dāng)點(diǎn)Q在Q3位置時，點(diǎn)Q3的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（1，3）；綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q有三個，分別為：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）點(diǎn)B作BBAC于點(diǎn)F，使BF=BF，則B為點(diǎn)B關(guān)于直線AC 的對稱點(diǎn)連接BD交直線AC與點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，過點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）設(shè)直線BD的解析式為y=k2x+b2（k20），解得，直線BD的解析式為：y=x+，聯(lián)立BD與AC的直線解析式可得：，解得，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）10解：（1）點(diǎn)A（1，0），OA=1，由圖可知，BAC是三角板的60角，ABC是30角，所以，OC=OAtan60=1=，OB=OCcot30=3，所以，點(diǎn)B（3，0），C（0，），設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，則，解得，所以，拋物線的解析式為y=x2+x+；（2）OCEOBC，=，即=，解得OE=1，所以，AE=OA+OE=1+1=2，即x=2時，OCEOBC；存在理由如下：拋物線的對稱軸為x=1，所以，點(diǎn)E為拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)，OA=OE，OCx軸，BAC=60，ACE是等邊三角形，AEC=60，又DEF=60，F(xiàn)EB=60，BAC=FEB，EFAC，由A（1，0），C（0，）可得直線AC的解析式為y=x+，點(diǎn)E（1，0），直線EF的解析式為y=x，聯(lián)立，解得，（舍去），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，），EM=2，分三種情況討論P(yáng)EM是等腰三角形，當(dāng)PE=EM時，PE=2，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）或（1，2），當(dāng)PE=PM時，F(xiàn)EB=60，PEF=9060=30，PE=EMcos30=2=，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），當(dāng)PM=EM時，PE=2EMcos30=22=2，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），綜上所述，拋物線對稱軸上存在點(diǎn)P（1，2）或（1，2）或（1，）或（1，2），使PEM是等腰三角形11解：（1）拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)B（0，4）c=4，頂點(diǎn)在直線x=上，=，b=；所求函數(shù)關(guān)系式為；（2）在RtABO中，OA=3，OB=4，AB=，四邊形ABCD是菱形，BC=CD=DA=AB=5，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），當(dāng)x=5時，y=，當(dāng)x=2時，y=，點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；（3）設(shè)CD與對稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則，解得：，當(dāng)x=時，y=，P（），（4）MNBD，OMNOBD，即得ON=，設(shè)對稱軸交x于點(diǎn)F，則（PF+OM）OF=（+t），SPNF=NFPF=（t）=，S=（），=（0t4），S存在最大值由S=（t）2+，當(dāng)S=時，S取最大值是，此時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）12解：（1）由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a（x3）（x+1）將E（0，3）代入上式，解得：a=1y=x2+2x+3則點(diǎn)B（1，4）（2）證明：如圖1，過點(diǎn)B作BMy于點(diǎn)M，則M（0，4）在RtAOE中，OA=OE=3，1=2=45，AE=3在RtEMB中，EM=OMOE=1=BM，MEB=MBE=45，BE=BEA=1801MEB=90AB是ABE外接圓的直徑在RtABE中，tanBAE=tanCBE，BAE=CBE在RtABE中，BAE+3=90，CBE+3=90CBA=90，即CBABCB是ABE外接圓的切線（3）解：RtABE中，AEB=90，tanBAE=，sinBAE=，cosBAE=；若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與ABE相似，則DEP必為直角三角形；DE為斜邊時，P1在x軸上，此時P1與O重合；由D（1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tanDEO=tanBAE，即DEO=BAE滿足DEOBAE的條件，因此 O點(diǎn)是符合條件的P1點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，0）DE為短直角邊時，P2在x軸上；若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與ABE相似，則DEP2=AEB=90，sinDP2E=sinBAE=；而DE=，則DP2=DEsinDP2E=10，OP2=DP2OD=9即：P2（9，0）；DE為長直角邊時，點(diǎn)P3在y軸上；若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與ABE相似，則EDP3=AEB=90，cosDEP3=cosBAE=；則EP3=DEcosDEP3=，OP3=EP3OE=；綜上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，）（4）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b將A（3，0），B（1，4）代入，得解得y=2x+6過點(diǎn)E作射線EFx軸交AB于點(diǎn)F，當(dāng)y=3時，得x=，F(xiàn)（，3）情況一：如圖2，當(dāng)0t時，設(shè)AOE平移到DNM的位置，MD交AB于點(diǎn)H，MN交AE于點(diǎn)G則ON=AD=t，過點(diǎn)H作LKx軸于點(diǎn)K，交EF于點(diǎn)L由AHDFHM，得，即解得HK=2tS陰=SMNDSGNASHAD=33（3t）2t2t=t2+3t情況二：如圖3，當(dāng)t3時，設(shè)AOE平移到PQR的位置，PQ交AB于點(diǎn)I，交AE于點(diǎn)V由IQAIPF，得即，解得IQ=2（3t）S陰=IVAQ=（3t）2=t23t+綜上所述：s=13解：（1）把x=代入 y=x2，得 y=2，P（，2），OP=PA丄x軸，PAMOtanP0M=tan0PA=設(shè) Q（n，n2），tanQOB=tanPOM，n=Q（，），OQ=當(dāng)OQ=OC時，則C1（0，），C2（0，）；當(dāng)OQ=CQ時，則C3（0，1）；當(dāng)CQ=CO時，OQ為底，則C4（0，）不合題意，舍去綜上所述，所求點(diǎn)C坐標(biāo)為：C1（0，），C2（0，），C3（0，1）；（2）P（m，m2），設(shè) Q（n，n2），APOBOQ，得n=，Q（，）設(shè)直線PQ的解析式為：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：解得b=1，M（0，1），QBO=MOA=90，QBOMOAMAO=QOB，QOMA同理可證：EMOD又EOD=90，四邊形ODME是矩形14解：（1）由題意，得，解得，拋物線的解析式為y=x4；（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)（x，0）時，有BP2=BDBC，令x=0時，則y=4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）PDAC，BPDBAC，BC=，AB=6，BP=x（2）=x+2BD=BP2=BDBC，（x+2）2=，解得x1=，x2=2（2不合題意，舍去），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，0），即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到（，0）時，BP2=BDBC；（3）BPDBAC，SBPC=（x+2）4，當(dāng)x=1時，SBPC有最大值為3即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時，PDC的面積最大15解：（1）依題意，拋物線m的解析式為：y=（x3）2+=（x8）（x+2），A（2，0），B（8，0）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，點(diǎn)D與點(diǎn)M（3，）關(guān)于點(diǎn)B（8，0）成中心對稱，D（13，），拋物線n的解析式為：y=（x13）2（2）拋物線n：y=（x13）2=（x8）（x18），E點(diǎn)坐標(biāo)為（18，0）設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，則有：，解得k=，b=，直線DE的解析式為：y=x如題圖所示，S=PFOF=x（y）=x（x）=（x9）2+；點(diǎn)P是線段ED上一個動點(diǎn)（P不與E、D重合），13x18；S=（x9）2+（13x18），可見該拋物線開口向下，對稱軸為x=9，函數(shù)圖象位于對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而減小，故S在13x18范圍內(nèi)沒有最大值所以S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=（x9）2+，自變量取值范圍是13x18，S沒有最大值（3）結(jié)論：直線CM與G相切理由如下：拋物線n的解析式為：y=（x13）2，令x=0，解得y=4，C（0，4）在RtCOG中，由勾股定理得：CG=5，又G半徑為5，點(diǎn)C在G上如右圖所示，依題意作出G，連接CG、CM、MG，過點(diǎn)C作CHMG于點(diǎn)H，則CH=3，HG=4，MH=4=，CHMG，CHGMHC，MCH=CGH；又HCG+CGH=90，HCG+MCH=90，即GCMC（注：此處亦可用勾股定理的逆定理證明MCG為直角三角形）綜上所述，點(diǎn)C在G上，且滿足GCMC，直線CM與與G相切16解：（1）由題意得，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，3），B（4，4），故可得：，解得：，故二次函數(shù)關(guān)系式為：y=（x+2）（13x20）（2）由（1）所求函數(shù)關(guān)系式可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)D坐標(biāo)為（，0），又點(diǎn)A（4，3），B（4，4），AB=，AC=，BC=，滿足AB2=AC2+BC2，