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圓的面積教學(xué)案例課前談話師：同學(xué)們，離上課還有幾分鐘，咱們先來(lái)猜個(gè)謎語(yǔ)，怎么樣？聽(tīng)好了。謎面是：草地上來(lái)了一群羊(打一水果)生想了一會(huì)兒說(shuō)：草莓。師：你是怎么想的？生：你想，羊是吃草的，羊來(lái)了，草不就沒(méi)有了嗎？所以是草莓。師：再猜一個(gè)，怎么樣？草地上有一群羊，突然來(lái)了一群狼。(打一水果)生齊聲說(shuō)：楊梅。師：為什么第一個(gè)謎語(yǔ)我們要仔細(xì)思考，而第二個(gè)謎語(yǔ)很快就猜到了呢？生：因?yàn)榈诙€(gè)謎語(yǔ)與第一個(gè)很相似。師：說(shuō)得真好，有了解決一種問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，就可以用這種經(jīng)驗(yàn)解決類似的問(wèn)題，生活中是這樣，在我們數(shù)學(xué)探究中也是這樣。師：看來(lái)大家的精神狀態(tài)很不錯(cuò)，那我們開(kāi)始上課，好嗎？教學(xué)過(guò)程：（一）情境引入 起疑導(dǎo)思師：同學(xué)們，十一玩得很愉快吧！去過(guò)公園嗎？來(lái)，讓我們一起去公園走走。（播放公園噴水頭正在給草地澆水的場(chǎng)面）師：到了公園，你看到了什么？生：我看到噴水頭正在澆灌草地。師：你能提出一兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？生1：噴水頭澆灌了多大面積的草地？生2：噴水頭旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)是多少？生3：水撒了有多遠(yuǎn)？設(shè)計(jì)意圖：愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要?！痹诮虒W(xué)中，學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題、探究問(wèn)題的習(xí)慣和能力的培養(yǎng)，是一個(gè)值得關(guān)注的課題。從生活的情境出發(fā)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。師：這些問(wèn)題都很好！求水撒了有多遠(yuǎn)？實(shí)際是求（半徑），我們學(xué)過(guò)。求周長(zhǎng)我們也學(xué)過(guò)。那這節(jié)課我們就來(lái)研究澆灌了多大面積的草地，好嗎？師：剛才有的同學(xué)看到噴水頭旋轉(zhuǎn)一周形成了一個(gè)圓形，求澆灌部分的面積，實(shí)際上就是求（圓的面積）。請(qǐng)大家想一想：什么叫做圓的面積呢？生：比如說(shuō)圖中澆灌的草地占的位置的大小就是圓的面積。師：你的意思是說(shuō)把圓所占平面的大小叫做圓的的面積。說(shuō)得真好！師：繼續(xù)看，你還能發(fā)現(xiàn)什么？生：圓的面積越來(lái)越大。師：這是為什么呢？生：水噴得遠(yuǎn)了，也就是半徑長(zhǎng)了，當(dāng)然面積也就大了。師：看來(lái)圓的面積與它的半徑是有關(guān)的。設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)新課程“強(qiáng)調(diào)從實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型再加以解釋與應(yīng)用的過(guò)程”，結(jié)合解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，應(yīng)該說(shuō)是北師版教材堅(jiān)持新課程理念的一大特點(diǎn)，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)的數(shù)學(xué)化特征。情境使學(xué)生產(chǎn)生“圓的面積與什么有關(guān)系呢？”的疑問(wèn)，學(xué)生平靜的水面泛起浪花，并急于想解決問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題的思索在學(xué)生心中扎下了根，點(diǎn)燃了學(xué)生主動(dòng)參與探索的熱情，為進(jìn)一步尋找解決策略明確了方向。（二）首次探究 自主估算 巧設(shè)玄機(jī)師：圓的面積與它的半徑到底有什么關(guān)系？用什么辦法能找到它們之間的關(guān)系呢？（板書(shū)成：圓的面積？半徑）生：我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)和直徑有什么關(guān)系時(shí)，用圓的周長(zhǎng)除以直徑得到圓周率。如果能找出圓的半徑和它的面積，也許能找出它們之間的關(guān)系。師：這個(gè)辦法好。是??！如果能找出圓的半徑和它的面積，也許就能找出它們之間的關(guān)系。就按你的辦法辦。師：這兒有兩個(gè)圓，一個(gè)半徑是（1厘米），另一個(gè)半徑是（2厘米）。任選一個(gè)你能估出它的面積嗎？生1：半徑1厘米的圓，面積大約是4平方厘米。生2：我估計(jì)半徑1厘米的圓，面積沒(méi)有4平方厘米多。師：你是怎么估的呢？生2：把學(xué)習(xí)紙對(duì)著亮處，后面的方格映過(guò)來(lái)，就看出來(lái)了。師：哦，原來(lái)你是看著正面的圓，還能想到了后面的方格?？礃幼?，方格還很有作用的。有估計(jì)半徑2厘米圓的嗎？生3：我估計(jì)半徑2厘米的圓，面積大約有12平方厘米。師：剛才的一個(gè)同學(xué)認(rèn)為方格很有作用。那請(qǐng)大家翻到學(xué)習(xí)紙的背面，方格紙中有兩個(gè)與正面面積相等的兩個(gè)圓。誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)這里每個(gè)方格的邊長(zhǎng)是（1厘米），那每個(gè)方格的面積就是（1平方厘米）。再來(lái)估一下，你選擇的圓面積大約是多少？你是怎么估的？生4：我選擇的是半徑1厘米的圓，這個(gè)圓正好在4個(gè)方格中，每個(gè)方格1平方厘米，4個(gè)方格也就是4平方厘米，去掉四個(gè)角上的空隙，它的面積比4平方厘米小，大約3平方厘米。師：這個(gè)同學(xué)的想法實(shí)際上是拿圓的面積與誰(shuí)相比？生：和圓外的正方形相比。生5：圓的面積比2平方厘米大。師：你又是怎么估的？生5：我是把1/4圓看小了，看成0.5平方厘米，整個(gè)圓的面積就比2平方厘米大。師：這樣一來(lái)，半徑1厘米的圓的面積就比4平方厘米小，而比2平方厘米大。（借助學(xué)生的回答和幻燈的演示，讓學(xué)生初步了解圓的面積比圓外切正方形的面積小，比圓內(nèi)接的正方形面積大。）師：那半徑為2厘米圓的面積，誰(shuí)估出啦？生：它的面積大約是16平方厘米。正方形的邊長(zhǎng)就是4厘米，面積是16平方厘米，減去四個(gè)角的4平方厘米，結(jié)果大約是12平方厘米。生：我估計(jì)這個(gè)圓的面積大約是13平方厘米。設(shè)計(jì)意圖：在半徑已知的情況下，引導(dǎo)學(xué)生試著估出圓的面積。沒(méi)有方格的幫助，學(xué)生一時(shí)無(wú)從下手，再利用背面方格紙的幫助，體會(huì)用方格估算圓面積的好處。對(duì)于邊長(zhǎng)是1厘米的正方形的面積（面積單位），學(xué)生已經(jīng)有了很深的認(rèn)識(shí)。本次估算，目的是為學(xué)生建立表象，隱含估算圓面積的兩種策略。師：同學(xué)們，剛才我們借助方格和正方形很快估出了圓的面積。我們手中都有一個(gè)圓片，拿出來(lái)，你能估出它的面積是多少嗎？生：我估出圓片的面積大約是80平方厘米，我是把圓片映在方格指上看出來(lái)的。生：我估出圓片的面積比100平方厘米小，因?yàn)閳A片外面的正方形邊長(zhǎng)是10厘米，面積是1010=100（平方厘米）。去掉四個(gè)角，面積大約是70平方厘米。師：剛才我發(fā)現(xiàn)有更奇特的方法：就是對(duì)折再對(duì)折。他們對(duì)折是干什么？生：找直徑。師：再對(duì)折又是在干什么？生：找半徑。師：還是讓用這種方法的同學(xué)說(shuō)說(shuō)吧。生：我對(duì)折再對(duì)折先找出它的半徑，量出它的長(zhǎng)度是5厘米，根據(jù)剛才的方法，算出圓外正方形的邊長(zhǎng)是10厘米，面積是100平方厘米，圓片的面積就比100平方厘米小了。設(shè)計(jì)意圖：由有方格圖的支撐，到?jīng)]有方格，學(xué)生必定無(wú)意識(shí)的從上面的兩次活動(dòng)中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)并加以應(yīng)用。在估圓片面積這一環(huán)節(jié)，承載著太多的意義：一使學(xué)生借助上面活動(dòng)形成的表象，進(jìn)一步強(qiáng)化估算的方法，逐漸幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)模型。二誘發(fā)學(xué)生利用上面活動(dòng)的思維慣性，尋找圓片半徑，進(jìn)而將圓片對(duì)折再對(duì)折，既隱含另一種估的策略，更隱含將圓片等分4等份的玄機(jī)，使學(xué)生主動(dòng)探索（剪成4等份）成為可能。師：我發(fā)現(xiàn)，剛才我們?cè)诠浪銏A的面積時(shí)，都有意無(wú)意的拿圓的面積與圓外的大正方形的面積比。（出示圖）師：如果一個(gè)圓的半徑是r，你還能表達(dá)出它的大概面積嗎？生：先計(jì)算圓外正方形的面積是4r，圓的面積小于4r。師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)這里r指的是哪部分的面積呢？生：小正方形的面積。師：我們是不是也可這樣理解，將1/4圓看大一些，就成了正方形，面積為r2，那么圓的面積就會(huì)小于4r。如果將這里的扇形看小一些，就成了（三角形），那圓的面積就會(huì)大于（2r）。得出：2r圓的面積4r師：看樣子，圓的面積還真與半徑有關(guān)系。大膽的猜一猜，圓的面積最有可能是多少？生：大約是r的3倍。生：我認(rèn)為可能是r的倍。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)逐漸抽象概括，從而估算出圓面積的大致范圍。在學(xué)生大膽的猜想下，又孕育著驗(yàn)證的必要性。（三）再次探究 觸發(fā)靈感 體會(huì)“極限”師：現(xiàn)在如果知道圓的半徑，你能求出圓的面積嗎？生：還不能，只能大致確定一下范圍。師：看來(lái)，我們還得繼續(xù)探索下去。設(shè)計(jì)意圖：教師應(yīng)當(dāng)善于設(shè)計(jì)這樣的情境，在其中學(xué)生已有的知識(shí)能力不足以解決所面臨的問(wèn)題，從而產(chǎn)生觀念上的不平衡，使學(xué)生較為清楚地看到自身已有的局限性，并努力通過(guò)新的學(xué)習(xí)活動(dòng)以達(dá)到新的更高水平上的平衡。師：還記得以前，我們研究一個(gè)圖形的面積時(shí)，用到過(guò)哪些好的方法？生：將新的圖形轉(zhuǎn)化成為已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形。師：舉個(gè)例子。生：沿著平行四邊形高剪，拼成學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形。生：還有三角形和梯形，我們把兩個(gè)完全一樣的三角形和梯形拼成學(xué)過(guò)的平行四邊形。師：（借助課件）這兩種思路，都是將新圖形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的圖形。師：我們能不能從中受到啟發(fā)，也來(lái)將圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形？設(shè)計(jì)意圖：開(kāi)放性的設(shè)問(wèn)，促發(fā)學(xué)生從自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中檢索有關(guān)的知識(shí)，去多方面的解決新問(wèn)題。以舊引新，可促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的系統(tǒng)化，可掃除在新知中將要遇到的思維障礙，突出新知的生長(zhǎng)點(diǎn)，將學(xué)生帶入有利于學(xué)習(xí)新知識(shí)的“鄰近發(fā)展區(qū)”。正是有了上面的埋伏和孕伏，才有了下面探索一環(huán)節(jié)的精彩。師：這樣吧，同桌為一個(gè)小組，先討論一下怎么做，再合作試一試。好嗎？開(kāi)始！（四、五分鐘后。）師：同學(xué)們，很多小組已經(jīng)有想法了。來(lái)，聽(tīng)聽(tīng)他們是怎么轉(zhuǎn)化的吧。評(píng)方案一：將一個(gè)圓折成若干等份，每份象一個(gè)三角形，用一個(gè)三角形的面積乘份數(shù)就是圓的面積。生：我是通過(guò)折一折得到一個(gè)扇形。再繼續(xù)折，就得到一個(gè)近似的三角形。師：同學(xué)們，他剛才先將圓片折成了幾份呀！折成了什么圖形？他又發(fā)現(xiàn)問(wèn)題了！扇形我們沒(méi)有學(xué)過(guò)。他就繼續(xù)折，這樣，折出的圖形能像什么圖形？這方法多好呀！師：（貼出4等份、8等份）與4等份相比，確實(shí)更像三角形。師：如果想更像三角形呢？生：就得繼續(xù)折。師：再更像呢？折折看！有困難了。我?guī)湍阍陔娔X上演示一下，好嗎？師：這是將圓片折成8等份，其中的一份有點(diǎn)像三角形；再對(duì)折的話，就平均分成了16等份，你看這其中的一份會(huì)怎么樣？再對(duì)折，32份呢？64份呢？生：折的份數(shù)越多，每一份的形狀越像三角形。師：和大家想的一樣，把圓分的份數(shù)越多，其中的一份越接近三角形。這樣，我們將圓轉(zhuǎn)化成了三角形。這個(gè)三角形的面積怎么算？生：用2r1/16r2。師：那怎么求圓的面積呢？生：還應(yīng)該乘16份。師：這樣圓的面積就是2r1/16r216=r。評(píng)方案二：將圓片沿半徑等分成4等份，拼成一個(gè)近似的平行四邊形或長(zhǎng)方形。師：我們通過(guò)折一折的辦法，將圓轉(zhuǎn)化成三角形，推出了圓的面積公式。這兒還有一種方法，請(qǐng)派代表上臺(tái)說(shuō)明。師：這樣吧。我們來(lái)現(xiàn)場(chǎng)采訪一下，聽(tīng)聽(tīng)他們是怎么想的，好不好！你來(lái)回答，誰(shuí)先發(fā)問(wèn)？生：你是怎么想的？生1：我沿半徑剪，先將圓片平均分成了4份，再考慮怎么拼。生：你將圓轉(zhuǎn)化成了什么圖形？生1：近似的平行四邊形。師：誰(shuí)來(lái)問(wèn)問(wèn)這一組的代表？生：你又將圓片轉(zhuǎn)化成了什么圖形？生2：也是近似的平行四邊形。師：?jiǎn)枂?wèn)他與4等份的比，有什么變化？生：你拼成的圖形與4等份拼成的圖形有什么不同？生2：更像平行四邊形了。師：剛才同學(xué)們提問(wèn)很精彩，回答的也很出色。謝謝同學(xué)們精彩的表現(xiàn)。師：同學(xué)們，要想拼成的圖形更像平行四邊形，應(yīng)該怎么辦？生：繼續(xù)分。師：平均分成16份，拼成的圖形會(huì)有什么變化？如果想讓拼成的圖形更像平行四邊形呢？再繼續(xù)剪，剪多少份？能更像嗎？再怎么辦？如果現(xiàn)在讓你剪64分，有什么感覺(jué)？生：太麻煩了。師：是有點(diǎn)麻煩，還是讓電腦幫幫我們。16等份，拼成的圖形怎么樣？32等份？生：更像平行四邊形。師：想象一下，如果64等份呢？生：開(kāi)始有點(diǎn)像長(zhǎng)方形了。師：繼續(xù)分下去，分得份數(shù)越多，拼成的圖形就簡(jiǎn)直成了什么？生：長(zhǎng)方形。師：我們把圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形，形狀變了，什么沒(méi)有變呢？生：面積。師：要想求出圓的面積，只要求出長(zhǎng)方形的面積就可以了。長(zhǎng)方形的面積怎么求？生：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)寬。師：這里的長(zhǎng)和寬又相當(dāng)于圓的什么？生：長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑。師：那么，圓的面積=圓周長(zhǎng)的一半圓的半徑，也就是rr=r2.師：剛才我們把圓片通過(guò)折一折得到三角形，通過(guò)剪拼得到長(zhǎng)方形。不管哪一種，我們都是將它們轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形。并都推倒出圓的面積公式是：s=r2，真是條條大路同羅馬呀！設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自然而然的將圓片等分成4份，遠(yuǎn)比老師提前準(zhǔn)備的8等份，16等份要有分量，而這樣學(xué)習(xí)的結(jié)果是學(xué)生自己“創(chuàng)造”的，甚至學(xué)生繼續(xù)對(duì)折形成了一個(gè)近似的三角形，其教育價(jià)值遠(yuǎn)比教師“直接告訴”要大得多。當(dāng)份數(shù)越來(lái)越多時(shí)，學(xué)生感受到不可操作性，這時(shí)就有必要借助電腦的優(yōu)勢(shì)，彌補(bǔ)操作和想象的不足。在拼法的對(duì)比和想象中，學(xué)生體會(huì)著“化曲為直”，初步感受極限思想。（四）運(yùn)用公式 鞏固提高師：怎樣計(jì)算圓的面積？圓的面積是r2的pi倍，剛才哪位同學(xué)猜對(duì)了？掌聲祝賀他！師：現(xiàn)在利用這個(gè)公式，你能求出澆灌了多大的面積的草地嗎？生：能。師：那就開(kāi)始吧。生：老師，還需要一個(gè)條件。師：缺什么條件？生：要求出澆灌草地的面積，還需要知道它的半徑是多少？師：告訴你吧，這個(gè)圓的半徑是10米?，F(xiàn)在能嗎？請(qǐng)求出澆灌部分的面積。你是怎樣計(jì)算的？生：3.141010=314（平方米）。師：也可以這樣列：3.14102，先算102=100，再算3.14100，結(jié)果也是314平方米。設(shè)計(jì)意圖：平時(shí)學(xué)生解決的問(wèn)題，往往是條件都告訴了的。在半徑還沒(méi)有給出的情況下，讓學(xué)生去求圓的面積，學(xué)生必定會(huì)進(jìn)行更高層次的思考。建立在需要基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)，才有價(jià)值,才有成效。（五）歸納總結(jié) 課后延伸師：同學(xué)們，通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？生1：我會(huì)計(jì)算圓的面積了。師