建筑力學(xué)-第九章概要

第九章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算 9 1概述 9 2虛功原理和單位荷載法 9 3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算 9 4圖乘法 9 5靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移所引起的位移 9 6互等定理 第九章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算 9 1概述 一 結(jié)構(gòu)位移的定義 結(jié)構(gòu)在荷載或其它因素作用下 會(huì)發(fā)生變形 由于變形 結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置將會(huì)移動(dòng) 桿件的橫截面會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng) 這些移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱為結(jié)構(gòu)的位移 Displacement 二 位移的分類 位移 線位移 截面形心的直線移動(dòng)距離 角位移 截面的轉(zhuǎn)角 angleofrotation 移位 絕對(duì)位移 相對(duì)位移 廣義位移 三 剛架的位移舉例 A點(diǎn)的線位移 水平線位移 豎向線位移 截面A的角位移 C D兩點(diǎn)的水平相對(duì)線位移 A B兩個(gè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角 四 引起位移的原因 一般有 荷載 如前兩剛架 溫度改變 如圖a 支座移動(dòng) 如圖b 材料收縮 制造誤差等 五 計(jì)算位移的目的 有以下三個(gè)方面 1 驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度 即驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的位移是否超過(guò)允許的位移限制值 2 為超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算打基礎(chǔ) 在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí) 除利用靜力平衡條件外 還需要考慮變形協(xié)調(diào)條件 因此需計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移 3 在結(jié)構(gòu)的制作 架設(shè) 養(yǎng)護(hù)過(guò)程中 有時(shí)需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況 以便采取一定的施工措施 因而也需要進(jìn)行位移計(jì)算 9 2虛功原理和單位荷載法 一 變形體的虛功原理 ThePrincipleofVirtualWorkforDeformableBodies 功 力對(duì)物體在一段路程上累積效應(yīng)的量度 也是傳遞和轉(zhuǎn)換能量的量度 實(shí)功 力在自身引起的位移上所作的功 當(dāng)靜力加載時(shí) 即 FP1由0增加至FP111由0增加至11 力Fp1在位移11上作的實(shí)功 虛功 力在其他因素引起的位移上作的功其特點(diǎn)是位移與作功的力無(wú)關(guān) 在作功的過(guò)程中 力的大小保持不變 梁彎曲后 再在點(diǎn)2處加靜力荷載FP2 梁產(chǎn)生新的彎曲 位移 12為力FP2引起的FP1的作用點(diǎn)沿方向的位移 力FP1在位移 12上作了功 為虛功 大小為 在小變形條件下 由圖示的原始形狀 尺寸計(jì)算 并稱此狀態(tài)為虛功計(jì)算的位移狀態(tài) 與之相應(yīng) FP1單獨(dú)作用的狀態(tài)為虛功計(jì)算的力狀態(tài) 當(dāng)力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上作外力虛功時(shí) 力狀態(tài)的內(nèi)力也在位移狀態(tài)各微段的變形上作內(nèi)力虛功 根據(jù)功和能的原理可得變形體的虛功原理 虛功原理也可以簡(jiǎn)述為 外力的虛功等于內(nèi)力的虛變形功 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體 當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí) 變形體所受外力在虛位移上所作虛功的總和 等于變形體的內(nèi)力在虛位移的相應(yīng)變形上所作虛功的總和 二 單位荷載法 2 計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般公式 1 定義 應(yīng)用虛功原理 通過(guò)加單位荷載求實(shí)際位移的方法 經(jīng)進(jìn)一步推導(dǎo) 可得 式中 E 彈性模量 G 剪切模量 A 橫截面積 I 截面慣性矩 K 截面形狀系數(shù) 一 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式 如果結(jié)構(gòu)只有荷載作用 因支座移動(dòng)引起的剛體位移Ci 0 位移公式則為 9 3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算 彎矩的影響 剪力的影響 軸力的影響 二 各類桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式 1 梁和剛架 梁式桿的位移中彎矩的影響是主要的 位移計(jì)算公式中取第一項(xiàng)便具有足夠的工程精度 2 桁架 各桿為鏈桿 而且是同材料的等直桿 桿內(nèi)只有軸力 且處處相等 因而只取公式中的第二項(xiàng)并簡(jiǎn)化為實(shí)用的形式 3 組合結(jié)構(gòu) 既有梁式桿 又有鏈桿 取用公式中的前兩項(xiàng) 4 拱 Arch 一般計(jì)軸力 彎矩的影響 剪切變形的影響忽略不計(jì) 三 虛擬狀態(tài)的選取 欲求結(jié)構(gòu)在荷載作用下的指定位移 須取相應(yīng)的虛擬狀態(tài) 即取同一結(jié)構(gòu) 在要求位移的地方 沿著要求位移的方位虛加單位荷載 1 欲求一點(diǎn)的線位移 加一個(gè)單位集中力 2 欲求一處的角位移 加一個(gè)單位集中力偶 3 欲求兩點(diǎn)的相對(duì)線位移 在兩點(diǎn)的連線上加一對(duì)指向相反的單位集中力 4 欲求兩處的相對(duì)角位移 加一對(duì)指向相反的單位集中力偶 5 欲求桁架某桿的角位移在桿的兩端加一對(duì)平行 反向的集中力 兩力形成單位力偶 力偶臂為d 每一力的大小為1 d 力和力偶統(tǒng)稱為廣義力 單位廣義力用表示 線位移和角位移統(tǒng)稱廣義位移 用 表示 單位廣義力有截然相反的兩種設(shè)向 計(jì)算出的廣義位移則有正負(fù)之分 正值表示廣義位移的方向與廣義力所設(shè)的指向相同 負(fù)值表示廣義位移的方向與廣義力所設(shè)的指向相反 四 靜定桁架的位移計(jì)算 計(jì)算步驟為 1 設(shè)虛擬狀態(tài) 2 計(jì)算 3 用桁架的位移計(jì)算公式計(jì)算位移 例9 1圖示桁架各桿的EA相等 求C結(jié)點(diǎn)的豎向位移 解 1 設(shè)虛擬狀態(tài) 如上圖b所示 2 計(jì)算 標(biāo)于圖b a 3 代公式求C點(diǎn)的豎向位移 例9 2圖示鋼桁架 圖中括號(hào)內(nèi)數(shù)值為桿件橫截面面積 單位cm2 許可撓度與跨長(zhǎng)的比值 試校核桁架的剛度 解 對(duì)稱簡(jiǎn)支桁架在對(duì)稱荷載作用下 最大撓度發(fā)生在桁架的對(duì)稱面處 須計(jì)算結(jié)點(diǎn)3的豎向位移 然后進(jìn)行剛度校核 1 建立虛擬狀態(tài) 如圖b所示 2 計(jì)算 N和FNP 并標(biāo)于圖b a上 3 求3點(diǎn)的豎向位移 進(jìn)行剛度校核 計(jì)算半個(gè)桁架的 列表如下 根據(jù)上表 得 所以 桁架滿足剛度條件 五 梁的位移及剛度校核 1 梁的位移 撓度 Deflection 橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移 用w表示 規(guī)定w向下為正 轉(zhuǎn)角 橫截面的角位移 規(guī)定順時(shí)針轉(zhuǎn)為正 在工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中列有常見梁的位移的計(jì)算結(jié)果 如表9 1所示 可供計(jì)算時(shí)查用 表9 1梁的撓度與轉(zhuǎn)角公式 續(xù)表 續(xù)表 2 梁的剛度校核 梁的位移過(guò)大 則不能正常工作 對(duì)于梁的撓度 其許可值以許可的撓度與梁跨長(zhǎng)之比為標(biāo)準(zhǔn) 在工程上 吊車梁的 1 600 鐵路鋼桁梁的 1 900 梁的剛度條件為 例9 3圖示簡(jiǎn)支梁由工字鋼制成 跨度中點(diǎn)處承受集中載荷Fp 已知Fp 40KN 跨度3m 許用應(yīng)力 160MPa 許用撓度 彈性模量E 2 105MPa 試選擇工字鋼的型號(hào) 解 1 按強(qiáng)度條件選擇工字鋼型號(hào) 梁的最大彎矩為 按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件選截面 查型鋼表選用20a工字鋼 其彎曲截面系數(shù)為237cm3 慣性矩I 2370cm4 2 校核梁的剛度 梁的剛度足夠 因此 可選用20a工字鋼 3 提高梁抗彎剛度的措施 梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度EI 梁的跨度L 荷載作用情況有關(guān) 那么 要提高梁的抗彎剛度可以采取以下措施 增大梁的抗彎剛度EI 增大梁的EI值主要是設(shè)法增大梁截面的慣性矩I值 一般不采用增大E值的方法 在截面面積不變的情況下 采用合理的截面形狀 可提高慣性矩I 2 減小梁的跨度L 梁的變形與其跨度的n次冪成正比 設(shè)法減小梁的跨度L 將有效地減小梁的變形 從而提高其剛度 在結(jié)構(gòu)構(gòu)造允許的情況下 可采用兩種辦法減小L值 增加中間支座 而 兩端支座內(nèi)移 如圖所示 將簡(jiǎn)支梁的支座向中間移動(dòng)而變成外伸梁 一方面減小了梁的跨度 從而減小梁跨中的最大撓度 另一方面在梁外伸部分的荷載作用下 使梁跨中產(chǎn)生向上的撓度 圖c 從而使梁中段在荷載作用下產(chǎn)生的向下的撓度被抵消一部分 減小了梁跨中的最大撓度值 3 改善荷載的作用情況 在結(jié)構(gòu)允許的情況下 合理地調(diào)整荷載的位置及分布情況 以降低彎矩 從而減小梁的變形 提高其剛度 如圖所示 將集中力分散作用 甚至改為分布荷載 則彎矩降低 從而梁的變形減小 剛度提高 一 圖乘法原理 1 圖乘法的適用條件 1 桿段的軸線為直線 2 桿段的彎曲剛度EI為常數(shù) 直梁和剛架的位移公式則為 3 圖和圖中至少有一個(gè)直線圖形 9 4圖乘法 2 圖乘法原理 圖乘法求位移的一般表達(dá)式為 注意 1 應(yīng)取自直線圖中 2 若A與在桿件的同側(cè) 取正值 反之 取負(fù)值 3 如圖形較復(fù)雜 可分解為簡(jiǎn)單圖形 3 圖乘法的步驟 1 設(shè)虛擬狀態(tài) 2 畫圖 圖 3 圖乘求位移 下面介紹幾個(gè)規(guī)則圖形的面積和形心位置 4 圖形的分解 當(dāng)圖形的面積和形心不便確定時(shí) 可以將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形 分別與另一圖形相應(yīng)的縱坐標(biāo)相乘 梯 梯同側(cè)組合 梯 梯同側(cè)組合 曲 折組合 階梯形截面桿 二 圖乘法計(jì)算直梁和剛架的位移 下面舉例應(yīng)用圖乘法求直梁和剛架的位移 例9 4試求圖a所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移 cv 梁的EI 常數(shù) 解 MP 圖分別如圖 b c 所示 BC段的MP圖是標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線 AB段的MP圖較復(fù)雜 但可將其分解為一個(gè)三角形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形 由圖乘法得 代入以上數(shù)據(jù) 于是 例9 5試求圖a所示伸臂梁C點(diǎn)的豎向位移 cv 解 荷載彎矩圖和單位彎矩圖如圖bc所示 在AB段 MP和 圖均是三角形 在BC段 MP圖可看作是由B C兩端的彎矩豎標(biāo)所連成的三角形與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖 即圖b中虛線與曲線之間包含的面積 疊加而成 將上述各部分分別圖乘再疊加 即得 例11 6試求圖 a 所示剛架結(jié)點(diǎn)B的水平位移 BH 設(shè)各桿為矩形截面 截面尺寸為bxh 慣性矩 E為常數(shù) 只考慮彎矩變形的影響 解 先作出MP圖和 圖 分別如圖 b c 所示 應(yīng)用圖乘法求得結(jié)點(diǎn)B的水平位移為 靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)并不產(chǎn)生內(nèi)力也無(wú)變形 只發(fā)生剛體位移 如圖a所示靜定結(jié)構(gòu) 其支座發(fā)生水平位移C1 豎向位移C2和轉(zhuǎn)角C3 現(xiàn)要求由此引起的任一點(diǎn)沿任一方向的位移 例如求k點(diǎn)豎向位移 K 9 5靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移所引起的位移 這種位移仍用虛功原理來(lái)計(jì)算 由位移計(jì)算的一般公式 因?yàn)閺膶?shí)際狀態(tài)中取出的微段ds的變形為d du 于是上式可簡(jiǎn)化為 這就是靜定結(jié)構(gòu)在支座位移時(shí)的位移計(jì)算 公式 式中 為虛擬狀態(tài)圖b的支座反力 Ci為實(shí)際狀態(tài)的支座位移 Ci為反 力虛功 當(dāng) 與實(shí)際支座位移Ci的方向一致時(shí)其乘積取正 相反時(shí)取負(fù) 此外 上式右邊前面還有一個(gè)負(fù)號(hào) 不可漏掉 例9 7 圖 a 所示靜定剛架 若支架A發(fā)生圖示的位移 a 1 0cm b 1 5cm cH 豎向位移 Cv 試求C點(diǎn)的水平位移 解 在C點(diǎn)處分別加一水平和豎向的單位力 求出其支座反力如圖 b c 所示 由公式 得 cH 1 1 0 1 1 5 0 5cm cv 1 5 1 1 5cm 一 功的互等定理 圖示結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài) 分別作用FP1和FP2 稱之為第一狀態(tài)和第二狀態(tài) 9 6互等定理 虛功W12為 虛功W21為 比較 得 W12 W21 即 功的互等定理 第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的外力虛功 等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的外力虛功 二 位移互等定理 條件 在結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)中都只作用一個(gè)荷載 且為單位荷載 單位荷載所引起的位移稱為位移系數(shù) 用 表示 圖a b 根據(jù)功的互等定理 即 位移互等定理 第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移 等于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移 上述定理中 單位力可以是廣義單位力 相應(yīng)的位移系數(shù)亦為廣義位移 可能含義不同 但數(shù)值相等 即 三 反力互等定理 反力互等定理也是功的互等定理的一種應(yīng)用 它反映在