2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及答案.docx

2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及參考答案第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.計算（B）（A）（B）1（C）（D）22.滿足等式的所有實數(shù)的和為（A）（A）3（B）4（C）5 （D）63.已知AB是圓O的直徑，C為圓O上一點，的平分線交圓O于點D，若，則AB=（A）（A）2（B）（C）（D）34.不定方程的全部正整數(shù)角（x,y）的組數(shù)為（B）（A）1（B）2（C）3（D）45矩形ABCD的邊長AD=3，AB=2，E為AB的中點，F(xiàn)在線段BC上，且BF：FC=1：2，AF分別與DE，DB交于點M，N，則MN=（C）（A）（B）（C）（D）6.設(shè)n為正整數(shù)，若不超過n的正整數(shù)中質(zhì)數(shù)的個數(shù)等于合個數(shù)，則稱n為“好數(shù)”，那么，所有“好數(shù)”之和為（B）（A）33（B）34（C）2013（D）2014二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1.已知實數(shù)滿足則 4 2.將一個正方體的表面都染成紅色，再切割成個相同的小正方體，若只有一面是紅色的小正方體數(shù)目與任何面都不是紅色的小正方體的數(shù)目相同，則n= 8 3.在中，D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，CA上，則的周長最小值為 4.如果實數(shù)滿足，用A表示的最大值，則A的最大值為 第二試（A）一、（本題滿分20分）已知實數(shù)滿足求的值。解：設(shè)，則因為，即，所以 又因為 由，可得即注：符合條件的實數(shù)存在且不唯一，就是一組。二、（本題滿分25分）已知點C在以AB為直徑的圓O上，過點B、C作圓O的切線，交于點P，連AC，若，求的值。解：連OC，因為PC，PB為圓O的切線，所以POC=POB。又因為OA=OC，所以O(shè)CA=OAC。又因為COB=OCA+OAC，所以2POB=2OAC，所以POB=OAC，所以O(shè)PAC。又POB=OAC，所以，所以。又，AB=2r，OB=r（r為圓O的半徑），代入可求得OP=3r,AC=r.在中，由勾股定理可求得。所以。三、（本題滿分25分）已知是一元二次方程的一個根，若正整數(shù)使得等式成立，求的值。解：因為是一元二次方程的一個根，顯然是無理數(shù)，且。等式即，即，即因為是正整數(shù)，是無理數(shù)，所以于是可得因此，是關(guān)于的一元二次方程的兩個整數(shù)根，該方程的判別式又因為是正整數(shù)，所以，從而可得又因為判別式是一個完全平方數(shù)，驗證可知，只有符合要求。把代入可得第二試（B）一、 （本題滿分20分）已知，若正整數(shù)使得等式成立，求的值。解：因為，所以等式即即，整理得于是可得因此，是關(guān)于的一元二次方程的兩個整數(shù)根，方程的判別式又因為是正整數(shù)，所以，從而可得又因為判別式是一個完全平方數(shù)，驗證可知，只有符合要求，把代入得。二、（本題滿分25分）在中，ABAC，O、I分別是的外心和內(nèi)心，且滿足AB-AC=2OI。求證：（1）OIBC；（2）。證明（1）作OMBC于M，INBC于N。設(shè)BC=，AC=，AB=。易求得CM=，CN=，所以MN=CM-CN=OI，又MN恰好是兩條平行線OM，IN之間的垂線段，所以O(shè)I也是兩條平行線OM，IN之間的垂線段，所以O(shè)IMN，所以O(shè)IBC。（2）由（1）知OMNI是矩形，連接BI，CI，設(shè)OM=IN=（即為的內(nèi)切圓半徑），則三、（本題滿分25分）若正數(shù)滿足，求代數(shù)式的值。解：由于具有輪換對