第5講守恒定律功和能.doc

第5講 守恒定律功和能第5講：守恒定律功和能內(nèi)容：34，35，361 功和功率的概念 2動(dòng)能和動(dòng)能定理 （30分鐘） 3保守力作功的特點(diǎn)和勢(shì)能的概念 （30分鐘） 4質(zhì)點(diǎn)系的功能原理 5機(jī)械能守恒定律 6能量守恒定律 （40分鐘）要求： 1掌握功的概念，正功和負(fù)功的物理意義； 2了解功率的概念，會(huì)計(jì)算功率； 3掌握動(dòng)能的概念和質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，并會(huì)用來(lái)解題； 4掌握保守力作功的特點(diǎn)和勢(shì)能的概念及其計(jì)算方法； 5了解質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理； 6掌握質(zhì)點(diǎn)系的功能原理及其應(yīng)用； 7掌握機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用； 8理解能量守恒定律。重點(diǎn)與難點(diǎn)： 1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理及其應(yīng)用；2保守力作功的特點(diǎn)與勢(shì)能的概念； 3質(zhì)點(diǎn)系的功能原理及其應(yīng)用；4機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用。作業(yè)：?jiǎn)栴}：P100：9，11，14，15習(xí)題：P103：13，14，17，20預(yù)習(xí)：37，38，39復(fù)習(xí)：1動(dòng)量和沖量的概念2動(dòng)量定理3動(dòng)量守恒定律34 動(dòng)能定理在很多實(shí)際情況中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受的力隨它的位置而改變，而且力和位置的關(guān)系事先可以知道。分析這種情況下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，常常考慮在質(zhì)點(diǎn)的位置發(fā)生一定變化的過(guò)程中，力對(duì)它的作用總起來(lái)會(huì)產(chǎn)生什么效果，也就是要研究力的空間積累效果。力的空間積累用力的功來(lái)表示。本節(jié)將介紹功的概念。力對(duì)物體做功的效果表現(xiàn)為物體動(dòng)能的增量，下面將接著介紹與此相關(guān)的動(dòng)能定理。力學(xué)（Mechanics）與機(jī)械學(xué)（mechanism）是同源詞；在歷史上，推動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的，除了天文學(xué)外，主要是對(duì)機(jī)械裝置原理的研究。人們制造機(jī)械，是為了讓它們做功（Work）。一個(gè)物體具有做功的本領(lǐng)，叫做具有一定的能量（Energy）。動(dòng)能是運(yùn)動(dòng)的物體具有的能量，而勢(shì)能是物體的一種潛在的能量。一、功（Work）功是表示力的空間累積的物理量。功的概念是人們?cè)陂L(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中建立起來(lái)的。1恒力的功定義：一物體在恒力F的作用下，沿直線運(yùn)動(dòng)，位移為S，并且與力F成角，則定義力F對(duì)物體所作的功W為 即力對(duì)物體所作的功等于該力沿運(yùn)動(dòng)方向的分量與物體位移的乘積（標(biāo)積，Scalar Product）。寫成矢量式為 說(shuō)明：1）功是標(biāo)量，沒(méi)有方向，只有大小，但有正負(fù) /2，功W為負(fù)值，即力對(duì)物體作負(fù)功，或物體克服該力作功。2）單位：焦耳(J) 1J=1N.m3）功的另一定義：力對(duì)物體所作的功等于質(zhì)點(diǎn)的位移在力的方向上的分量與力的大小的乘積。2變力的功把物體運(yùn)動(dòng)的軌跡分成許多微小的位移元，在每一個(gè)位移元內(nèi)，力可視為不變，則在在每一個(gè)位移元內(nèi)，力所作的功為 總功為 3合力的功例： F正功 FS N 不作功 f負(fù)功 -fS mg 不作功總功 W=(F-f )S結(jié)論：合力的功等于各個(gè)分力所作的功的代數(shù)和。4功的計(jì)算1）積分方法：從定義式出發(fā)在直角坐標(biāo)系中，若 則 需要弄清楚要求哪一個(gè)力作的功，并要能寫出該力隨位置變化的關(guān)系式，然后積分即可。在自然坐標(biāo)系中， ，則 即力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于力的切線分量對(duì)路徑的線積分。由于法向力與路徑垂直，因而它始終不作功。計(jì)算功的方法：l 析質(zhì)點(diǎn)受力情況，確定力隨位置變化的關(guān)系；l 出元功的表達(dá)式，選定積分變量；l 定積分限進(jìn)行積分，求出總功。2）功的圖示法縱坐標(biāo)表示作用在物體上的力在位移方向上的分量橫坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)的路程。曲線下的面積等于力所作的功。例1設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力F=6t(N)。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動(dòng)，問(wèn)在頭2s時(shí)間內(nèi)，這個(gè)力對(duì)物體所作的功。解：按功的定義式計(jì)算功，必須首先求出力和位移的關(guān)系式。根據(jù)牛頓第二定律F=ma可知物體的加速度為 a=dv/dt=F/m=6t/2=3t所以 dv=3tdt積分得故位移與時(shí)間的關(guān)系為dx=1.5t2dt因而力所作的功為 例2一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿如圖所示的路徑運(yùn)行，求力(SI)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所作的功，（1）沿ODC；（2）沿OBC。解： Fx=4-2y Fy=0（1）OD段：y=0，dy=0，DC段：x=2，F(xiàn)y=0（2）OB段：Fy=0，BC段：x=2結(jié)論：力作功與路徑有關(guān)，即力沿不同的路徑所作的功是不同的。二、功率（Power）1定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成的功，叫做功率。平均功率：瞬時(shí)功率：2物理意義：表示作功的快慢3功率的公式： 即功率等于力與速度的點(diǎn)積。應(yīng)用：1）發(fā)動(dòng)機(jī)的功率一定，要加大牽引力，降低速度；要獲得較大的速度，牽引力就得減小。2）變速自行車的齒輪變速裝置，改變額定功率；3）游泳中的蛙蹼，增大額定功率（Rated Power）。4單位：瓦特(W) 1W=1Js-2，1kW=103W5幾個(gè)功率的數(shù)量級(jí)：睡覺(jué) 7080W(基礎(chǔ)代謝) 閑談 7080W走路 170380W 聽(tīng)課 70140W跑步 7001000W 足球 630840W三、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理（Theorem of Kinetic Energy）1引入： 功是力對(duì)空間的累積作用，力對(duì)物體作了功，則物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)要發(fā)生變化。功與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化之間的關(guān)系就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理。2動(dòng)能：動(dòng)能的概念也是人們?cè)陂L(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中總結(jié)出來(lái)的。運(yùn)動(dòng)的物體可以作功。例如：鐵錘釘釘子，風(fēng)力推動(dòng)帆船，流水推動(dòng)水輪機(jī)。即：運(yùn)動(dòng)著的物體具有能量。定義：物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的能量叫做動(dòng)能，其定義為物體的質(zhì)量與其運(yùn)動(dòng)速度的平方的乘積的一半，即 單位：焦耳 1J=1kg.m2.s-23質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 問(wèn)題：一質(zhì)量為m的物體在合外力F的作用下，由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，其速度的大小由v1變成v2。求合外力對(duì)物體所作的功與物體動(dòng)能之間的關(guān)系。把路徑分成許多位移元dr，則合外力在位移元dr內(nèi)所作的功為 由牛頓第二定律可知合外力為 所以 積分 得 或 其中 為合外力所作的功 為質(zhì)點(diǎn)的末動(dòng)能 為質(zhì)點(diǎn)的初動(dòng)能 即：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。4說(shuō)明：1）W為合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功合外力作正功 W0，Ek2Ek1，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增加；合外力不作功 W=0，Ek2=Ek1， 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能不變；合外力作負(fù)功 W0，Ek20 區(qū)間 x0時(shí)時(shí)，E-E00， W非保守外力0時(shí)時(shí)，E-E00時(shí)，E-E00 W外力0時(shí)，E-E003外力和內(nèi)力的劃分是相對(duì)的。選取的系統(tǒng)不同，其內(nèi)力和外力就不同。因此應(yīng)用功能原理時(shí)，首先要選好系統(tǒng)，并且在計(jì)算功時(shí)要將保守內(nèi)力的功除外；另外，由于功能原理實(shí)際上是從牛頓運(yùn)動(dòng)定律導(dǎo)出的，因此只能適用于慣性系。4功是能量變化與轉(zhuǎn)化的量度，是過(guò)程量，與過(guò)程有關(guān)；能量是代表系統(tǒng)在一定狀態(tài)下所具有的作功的本領(lǐng)，是狀態(tài)量，與狀態(tài)有關(guān)。功能原理與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理不同之處是功能原理將保守內(nèi)力作的功用勢(shì)能差來(lái)代替。因此，在用功能原理解題的過(guò)程中，計(jì)算功時(shí)，要注意將內(nèi)部保守內(nèi)力的功除外。三、 機(jī)械能守恒定律當(dāng)W外力=0和W非保守外力=0時(shí) E=E0即 機(jī)械能守恒定律：當(dāng)作用在質(zhì)點(diǎn)系的外力和非保守內(nèi)力都不作功時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能是守恒的?；?即 在滿足機(jī)械能守恒定律的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能和勢(shì)能是相互轉(zhuǎn)換的，且轉(zhuǎn)換的量值是相等的，動(dòng)能的增加量等于勢(shì)能的減小量，勢(shì)能的增加量等于動(dòng)能的減小量，二者的轉(zhuǎn)換是通過(guò)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部保守內(nèi)力作功來(lái)實(shí)現(xiàn)的。*討論機(jī)械能守恒定律也可以表示為： 即 上式表明，在滿足機(jī)械能守恒的條件下，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和各種勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)換，但它們的總和（即總機(jī)械能）卻保持不變。解題時(shí)注意事項(xiàng)（1）明確系統(tǒng)中的物體；（2）機(jī)械能守恒的前提：只有保守內(nèi)力做功，其它內(nèi)力和外力不做功，或它們作功的代數(shù)和為零，或可以忽略不計(jì)；（3）只適用于慣性參考系。因?yàn)樵诜菓T性參考系中，即使?jié)M足上述條件，但由于慣性力可能做功，所以機(jī)械能不一定守恒；(4)與慣性參考系的選擇有關(guān)。因?yàn)槲覀冎?，?nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，它們作功的和與參考系的選擇無(wú)關(guān)，但是外力作功卻與參考系有關(guān)，它們作功總和是否為零則決定于參考系的選擇。例1如圖所示用一彈簧把兩塊質(zhì)量分別為m1和m2的板連接起來(lái)。問(wèn)在m1上需要加多大的壓力使力停止作用后，恰能使m1在跳起時(shí)m2稍被提起。彈簧的質(zhì)量忽略不計(jì)。解：取彈簧的原長(zhǎng)處O為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的零點(diǎn)，并以此點(diǎn)為坐標(biāo)軸的原點(diǎn)，如圖(a)。當(dāng)在彈簧上加上m1和外力F后，彈簧被壓縮到y(tǒng)1處，如圖(b)；當(dāng)外力F撤去后，彈簧被推到y(tǒng)2處，如圖(c)。在此過(guò)程中，只有重力和彈性力作功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，則有 整理得 即 (1)由圖(b)得 (2)由圖(c)可知，欲使跳離地面，必須滿足 (3)把(2)和(3)代入(1)，得 所以例2在一截面積變化的彎曲管中，穩(wěn)定流動(dòng)著不可壓縮的密度為的流體，如圖（a）所示。在圖中a處的壓強(qiáng)為p1、截面積為A1；在點(diǎn)b處的壓強(qiáng)為p2、截面積為A2。由于點(diǎn)a和點(diǎn)b之間存在壓力差，流體在管中移動(dòng)。在a和b處的速率分別為v1和v2，求流體的壓強(qiáng)和速率之間的關(guān)系。解：取如圖所示的坐標(biāo)，在點(diǎn)a和點(diǎn)b處的流體因壓力差的緣故而移動(dòng)的距離分別為dx1和dx2，那么由壓力差所作的功為dWp=p1A1dx1-p2A2dx2考慮到流體的不可壓縮性，有A1dx1=A2dx2=dV所以上式為dWp=（p1-p2）dV另外，在流體流動(dòng)過(guò)程中重力所作的功為dWg=-dm g（y2-y1）=-g（y2-y1）dV根據(jù)動(dòng)能定理，外力對(duì)流體所作的功等于流體動(dòng)能的增量，故有得即流體在管中任意點(diǎn)都有下述關(guān)系這就是伯努利方程。如果將流管放置在圖b所示得水平面上，則有y1=y2，則伯努利方程可寫成由此可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：在不可壓縮的、密度均勻的流體中，壓強(qiáng)較小的區(qū)域流速較大，反之亦然。四、宇宙速度（自學(xué)）由地面處發(fā)射使物體繞地球運(yùn)動(dòng)（人造地球衛(wèi)星）所需的最小速度，稱為第一宇宙速度。使物體脫離地球的引力范圍所需的最小速度，稱為第二宇宙速度。使物體脫離太陽(yáng)系所需的最小速度，稱為第三宇宙速度。試計(jì)算這三種宇宙速度。1. 第一宇宙速度地球?qū)πl(wèi)星的引力為：若不計(jì)空氣阻力，引力即為衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：，化簡(jiǎn)得 衛(wèi)星在地面上時(shí)，即。代入（1）式得：這就是衛(wèi)星在半徑為 r 的圓軌道上運(yùn)轉(zhuǎn)所需的速度，稱為環(huán)繞速度。，得第一宇宙速度2. 第二宇宙速度以物體和地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)。忽略空氣阻力，只有保守力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)v為物體離開地面時(shí)的速度，v為物體遠(yuǎn)離地球時(shí)的速度。并選取無(wú)窮遠(yuǎn)處為萬(wàn)有引力勢(shì)能的零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律 .上述速度稱為第二宇宙速度或稱為脫離地球的逃逸速度。3. 第三宇宙速度物