2016年湖南省十三校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)二模試卷（文）含答案解析

第 1 頁（共 22 頁） 2016 年湖南省十三校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 一、選擇題 1 i 是虛數(shù)單位，若 =a+a， bR），則 a+b 的值是（ ） A 2B 2C 3D 3 2集合 A=yR|y=x 1， B= 2， 1， 2則下列結(jié)論正確的是（ ） A AB= 2， 1B（ B=（ ， 0） C A B=（ 0， +） D（ B=2， 1 3已知命題 p： x 0， x+ 4：命題 q： +， 2，則下列判斷正確的是（ ） A p 是假命題 B q 是真命題 C p（ q）是真命題 D（ p） q 是真命題 4已知函數(shù) f（ x） =xR， 0）的最小正周期為 ，為了得到函數(shù) g（ x） =x+ ）和圖象，只要將 y=f（ x）的圖象（ ） A向左平移 個單位長度 B向右平移 個單位長度 C向左平移 個單位長度 D向右平移 個單位長度 5下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間 1， 1上單調(diào)遞減的是（ ） A f（ x） =f（ x） = |x+1| C f（ x） = D f（ x） =6已知直線 l 平面 ，直線 m平面 ，有下面四個命題： （ 1） l m，（ 2） l m， （ 3） l m ，（ 4） l m ， 其中正確命題是（ ） A（ 1）與（ 2） B（ 1）與（ 3） C（ 2）與（ 4） D（ 3）與（ 4） 7執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出 ，則輸入 p=（ ） 第 2 頁（共 22 頁） A 6B 7C 8D 9 8如圖，一個簡單幾何體的三視圖其主視圖與俯視圖分別是邊長 2 的正三角形和正方形，則其體積是（ ） A B C D 9若實數(shù) x， y 滿足 |x 2|ya，（ a（ 0， +），且 z=2x+y 的最大值為 10，則 a 的值為（ ） A 1B 2C 3D 4 10 接于以 O 為圓心， 1 為半徑的圓，且 ，則 的值為（ ） A B C D 11已如點 M（ 1， 0）及雙曲線 的右支上兩動點 A， B，當 大時，它的余弦值為（ ） A B C D 12已知函數(shù) f（ x） =1+x 2（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)）， g（ x） =a+3，若存在實數(shù) 得 f（ =g（ =0，且 |1，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A 2， 3B 1， 2C 2， D ， 3 二、填空題 13某小賣部為了了解熱茶銷售量 y（杯）與氣溫 x（ ）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某 4 天賣出的熱茶的杯數(shù)與當天氣溫，并制作了對照表： 氣溫（ ） 18 13 10 1 第 3 頁（共 22 頁） 杯數(shù) 14 24 28 54 由表中數(shù)據(jù)算得線性回歸方程 =bx+a 中的 b 2，預(yù)測當氣溫為 5 時，熱茶銷售量為 杯 14設(shè)函數(shù) f（ x）滿足 ，則 f（ 2） = 15在 ， a、 b、 c 分別為 A、 B、 C 的對邊，三邊 a、 b、 c 成等差數(shù)列，且B= ，則（ 2的值為 16在平面直角坐標系 ，已知圓 C： y 4） 2=4，點 A 是 x 軸上的一個動點，直線 別切圓 C 于 P， Q 兩點，則線段 的取值范圍為 三、解答題 17已知數(shù)列 ， ，前 n 項和 n2， nN*） （ I）求 通項公式； （ ）記 bn=， ，求數(shù)列 前 n 項和 18某單位開展崗前培訓(xùn)期間，甲、乙 2 人參加了 5 次考試，成績統(tǒng)計如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成績 82 82 79 95 87 乙的成績 95 75 80 90 85 （ ）根據(jù)有關(guān)統(tǒng)計知 識，回答問題：若從甲、乙 2 人中選出 1 人上崗，你認為選誰合適，請說明理由； （ ）根據(jù)有關(guān)概率知識，解答以下問題： 從甲、乙 2 人的成績中各隨機抽取一個，設(shè)抽到甲的成績?yōu)?x，抽到乙的成績?yōu)?y用 x y|2 的事件，求事件 A 的概率； 若一次考試兩人成績之差的絕對值不超過 3 分，則稱該次考試兩人 “水平相當 ”由上述 5次成績統(tǒng)計，任意抽查兩次考試，求至少有一次考試兩人 “水平相當 ”的概率 19如圖，在四棱錐 O ，底面 邊長為 1 的菱形， ， 底面 ， M 為 中點 （ ）求異面直線 成角的大??； （ ）求點 B 到平面 距離 第 4 頁（共 22 頁） 20已知曲線 + =1（ a b 0）所圍成的封閉圖形的面積為 4 ，曲線 記 以曲線 坐標軸的交點為頂點的橢圓 （ 1）求橢圓 （ 2）設(shè) 過橢圓 的任意弦， M 是橢圓上一點，且滿足（ + ） =0，求 面積的最小值 21已知函數(shù) f（ x） = （ I）討論函數(shù) f（ x）單調(diào)性； （ ）當 時，證明：曲線 y=f（ x）與其在點 P（ t， f（ t）處的切線至少有兩個不同的公共點 選修 4何證明選講 22如圖， O 是 外接圓， D 是 的中點， 點 E （ 1）求證： E （ 2）若 長等于 O 的半徑，求 大小 選修 4標系與參數(shù)方程選講 23選修 4 4：坐標系與參數(shù)方程 極坐標系與直角坐標系 相同的長度單位，以原點 為極點，以 x 軸正半軸為極軸，已知曲線 極坐標方程為 =4線 參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)， 0 ），射線 =， =+ ， = 與曲線 包括極點 O）三點 A、 B、 C （ I）求證： | | （ ）當 = 時， B， C 兩點在曲線 ，求 m 與 的值 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f （ x） =|x a|+3x，其中 a0 （ 1）當 a=2 時，求不等式 f（ x） 3x+2 的解集； （ 2）若不等式 f （ x） 0 的解集包含 x|x 1，求 a 的取值范圍 第 5 頁（共 22 頁） 2016 年湖南省十三校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題 1 i 是虛數(shù)單位，若 =a+a， bR），則 a+b 的值是（ ） A 2B 2C 3D 3 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出 【解答】 解： a+= = = 1+3i， a= 1， b=3， a+b=2 故選： A 2集合 A=yR|y=x 1， B= 2， 1， 2則下列結(jié)論正確的是（ ） A AB= 2， 1B（ B=（ ， 0） C A B=（ 0， +） D（ B=2， 1 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 集合 A 為對數(shù)函數(shù)的值域，解出后對照選項逐一驗證 【解答】 解：依題意， A=y|y 0， B= 2， 1， 2， 所以 AB= 2， 1=2， A 錯， A B=（ 0， +） = 2， 1， B 錯， （ B 2， 1， C 錯， 故選 D 3已知命題 p： x 0， x+ 4：命題 q： +， 2，則下列判斷正確的是（ ） A p 是假命題 B q 是真命題 C p（ q）是真命題 D（ p） q 是真命題 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 利用基本不等式求最值判斷命題 p 的真假，由指數(shù)函數(shù)的值域判斷命題 q 的真假，然后結(jié)合復(fù)合命題的真值表加以判斷 【解答】 解：當 x 0， x+ ，當且僅當 x=2 時等號成立， 命題 p 為真命題， P 為假命題； 當 x 0 時， 2x 1， 命題 q： +， 2為假命題，則 q 為真命題 p（ q）是真命題，（ p） q 是假命題 故選： C 第 6 頁（共 22 頁） 4已知函數(shù) f（ x） =xR， 0）的最小正周期為 ，為了得到函數(shù) g（ x） =x+ ）和圖象，只要將 y=f（ x）的圖象（ ） A向左平移 個單位長度 B向右平移 個單位長度 C向左平移 個單位長度 D向右平移 個單位長度 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 由函數(shù)的周期性求得 =2，可得 f（ x） =根據(jù)根據(jù)函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論 【解答】 解：由于函數(shù) f（ x） =xR， 0）的最小正周期為 ， 故有 =， =2， f（ x） = 根據(jù)函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，為了得到函數(shù) g（ x） =2x+ ） =x+ ）的圖象， 只要將 y=f（ x）的圖象向左平移 個單位長度即可， 故選： A 5下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間 1， 1上單調(diào)遞減的是（ ） A f（ x） =f（ x） = |x+1| C f（ x） = D f（ x） =【考點】 奇偶性與單調(diào)性的綜合 【分析】 分別根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)進行判斷即可得到結(jié)論 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =奇函數(shù)，在 1， 1上單調(diào)遞增，不滿足條件 函數(shù) f（ x） = |x+1|不是奇函數(shù)，不滿足條件， 函數(shù) f（ x） = 是偶函數(shù)，不滿足條件， 故選： D 6已知直線 l 平面 ，直線 m平面 ，有下面四個命題： （ 1） l m，（ 2） l m， （ 3） l m ，（ 4） l m ， 其中正確命題是（ ） A（ 1）與（ 2） B（ 1）與（ 3） C（ 2）與（ 4） D（ 3）與（ 4） 【考點】 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 【分析】 根據(jù)已知直線 l 平面 ，直線 m平面 ，結(jié)合 結(jié)合線面垂直的定義及判定，易判斷（ 1）的真假；結(jié)合 ，結(jié)合空間直線與直線關(guān)系的定義，我們易判斷（ 2）的對錯；結(jié)合 l m，根據(jù)線面垂直的判定方法及面面平行的判定定理，易判斷（ 3）的正誤 ；再根據(jù) l m 結(jié)合空間兩個平面之間的位置關(guān)系，易得到（ 4）的真假，進而得到答案 第 7 頁（共 22 頁） 【解答】 解： 直線 l 平面 ， ， l 平面 ，又 直線 m平面 ， l m，故（ 1）正確； 直線 l 平面 ， ， l 平面 ，或 l平面 ，又 直線 m平面 ， l 與 m 可能平行也可能相交，還可以異面，故（ 2）錯誤； 直線 l 平面 ， l m， m ， 直線 m平面 ， ，故（ 3）正確； 直線 l 平面 ， l m， m 或 m，又 直線 m平面 ，則 與 可能平行也可能相交，故（ 4）錯誤； 故選 B 7執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出 ，則輸入 p=（ ） A 6B 7C 8D 9 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，可得 解得 n 的值為 7，退出循環(huán)的條件為 7 p 不成立，從而可得 p 的值 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 解得： n=7 故當 p=7 時， n=7 p，不成立，退出 循環(huán)，輸出 S 的值為 故選： B 8如圖，一個簡單幾何體的三視圖其主視圖與俯視圖分別是邊長 2 的正三角形和正方形，則其體積是（ ） 第 8 頁（共 22 頁） A B C D 【考點】 由三 視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)主視圖、俯視圖，可得簡單幾何體的直觀圖是底面邊長為 2，高為 的正四棱錐，利用體積公式可得結(jié)論 【解答】 解：由主視圖可知，三棱錐的高為 ，結(jié)合俯視圖可得簡單幾何體的直觀圖是底面邊長為 2，高為 的正四棱錐 體積為 = 故選 C 9若實數(shù) x， y 滿足 |x 2|ya，（ a（ 0， +），且 z=2x+y 的最大值為 10，則 a 的值為（ ） A 1B 2C 3D 4 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件 |x 2|ya 作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)后求得 a 的值 【解答】 解：由 |x 2|ya，作出可行域如圖， 聯(lián)立 ，解得 A（ a+2， a）， 化 z=2x+y 為 y= 2x+z 由圖可知，當直線 y= 2x+z 過 A 時， z 有最大值， 此時 2（ a+2） +a=10，解得： a=2 故選： B 10 接于以 O 為圓心， 1 為半徑的圓，且 ，則 的值為（ ） A B C D 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 第 9 頁（共 22 頁） 【分析】 將已知等式中的 移到等式的一邊，將等式平方求出 ；將 利用向量的運算法則用 ，利用運算法則展開，求出值 【解答】 解： = A， B， C 在圓上 B= = = 故選 A 11已如點 M（ 1， 0）及雙曲線 的右支上兩動點 A， B，當 大時，它的余弦值為（ ） A B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì)；余弦定理 【分析】 根據(jù)題意，當直線 別與雙曲線相切于點 A、 B 時，可得 得最大值因此設(shè)直線 y=k（ x 1），與雙曲線聯(lián)解并利用根的判別式，解出 k= 設(shè)直線 斜角為 ，得 且 ，最后利用二倍角的三角函數(shù)公式，即可算出 到最大值時 余弦值 【解答】 解：根據(jù)題意，當直線 雙曲線相切于點 A，直線 雙曲線相切于點 得最大值 設(shè)直線 程為 y=k（ x 1），與雙曲線消去 y，得 （ 1=0 直線 雙曲線相切于點 A， （ 22 4（ （ 1） =0，解之得 k= （舍負） 因此，直線 程為 y= （ x 1）， 同理直線 程為 y= （ x 1）， 第 10 頁（共 22 頁） 設(shè)直線 斜角為 ，得 ，且 = = ，即為 大時的余弦值 故選： D 12已知函數(shù) f（ x） =1+x 2（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)）， g（ x） =a+3，若存在實數(shù) 得 f（ =g（ =0，且 |1，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A 2， 3B 1， 2C 2， D ， 3 【考點】 函數(shù)的值 【分析】 求出函數(shù) f（ x）的導(dǎo)數(shù)，可得 f（ x）遞增，解得 f（ x） =0 的解為 1，由題意可得a+3=0 在 0x2 有解， 即有 a= =（ x+1） + 2 在 0x2 有解，求得（ x+1） + 2 的范圍，即可得到a 的范圍 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =1+x 2 的導(dǎo)數(shù)為 f（ x） =1+1 0， f（ x）在 R 上遞增，由 f（ 1） =0，可得 f（ =0，解得 ， 存在實數(shù) 得 f（ =g（ =0且 |1， 即為 g（ =0 且 |1 1， 即 a+3=0 在 0x2 有解， 即有 a= =（ x+1） + 2 在 0x2 有解， 令 t=x+1（ 1t3），則 t+ 2 在 1， 2遞減， 2， 3遞增， 可得最小值為 2，最大值為 3， 則 a 的取值范圍是 2， 3 故答案為： 2， 3 二、填空題 13某小賣部為了了解熱茶銷售量 y（杯）與氣溫 x（ ）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某 4 天賣出的熱茶的杯數(shù)與當天氣溫，并制作了對照表： 氣溫（ ） 18 13 10 1 杯數(shù) 14 24 28 54 第 11 頁（共 22 頁） 由表中數(shù)據(jù)算得線性回歸方程 =bx+b 2，預(yù)測當氣溫為 5 時，熱茶銷售量為 60 杯 【考點】 線性回歸方程 【分析】 先計算樣本中心點，再求出線性回歸方程，進而利用方程進行預(yù)測 【解答】 解：由題意， = =10， = =30， 將 b 2 及（ 10， 30）代入線性回歸方程 =bx+a，可得 a=50， x= 5 時， y= 2（ 5） +50=60 故答案為： 60 14設(shè)函數(shù) f（ x）滿足 ，則 f（ 2） = 【考點】 函數(shù)的值 【分析】 通過表達式求出 f（ ），然后求出函 數(shù)的解析式，即可求解 f（ 2）的值 【解答】 解：因為 ， 所以 ， = 故答案為： 15在 ， a、 b、 c 分別為 A、 B、 C 的對邊，三邊 a、 b、 c 成等差數(shù)列，且B= ，則（ 2的值為 【考點】 三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值；等差數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 由 a， b 及 c 成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，將關(guān)系式利用正弦定理化簡，得到 值，設(shè) x，根據(jù)題意列出關(guān)于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即可求出所求式子的值 【解答】 解： 三邊 a、 b、 c 成等差數(shù)列，且 B= ， 2b=a+c， A+C= ， 將 2b=a+c 利用正弦定理化簡得： 2 ， 設(shè) x， 可得：（ 2+（ 2=2+ 第 12 頁（共 22 頁） 即 2 2A+C） =2 22+ 則（ 2= 2 故答案為： 16在平面直角坐標系 ，已知圓 C： y 4） 2=4，點 A 是 x 軸上的一個動點，直線 別切圓 C 于 P， Q 兩點，則線段 的取值范圍為 2 ， 4 【考點】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 設(shè) A（ a， 0），則以 直徑的圓為 x2+4y=0，與圓 C 的方程相減，得在直線的方程為 4y+12=0，求出圓心 C（ 0， 4）到直線： 4y+12=0 的距離 d，由 |2 ，能求出線段 的取值范圍 【解答】 解：設(shè) A（ a， 0），則以 直徑的圓的直徑式方程為（ x 0， y 4） （ x a，y 0） =0， 即 x2+4y=0， 與圓 C 的方程 y 4） 2=4，即 x2+8y+12=0 相減，得 4y+12=0， 在直線的方程為 4y+12=0， 設(shè)圓心 C（ 0， 4）到直線： 4y+12=0 的距離為 d， 則 |2 =2 =2 ， a=0，即 A 是原點時， |PQ| ， 當點 A 在 x 軸上無限遠時， 近于直徑 4， 線段 的取值范圍為 2 ， 4） 故答案為： 2 ， 4） 三、解答題 17已知數(shù)列 ， ，前 n 項和 n2， nN*） （ I）求 通項公式； （ ）記 bn=， ，求數(shù)列 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ I）利用 、 n2， nN*）計算可知 過 n1， nN*）與 1= 1（ n2， nN*）作差、整理可知 = ，利用 而可得結(jié)論； （ ）通過（ I）裂項可知 ，進而并項相加即得結(jié)論 第 13 頁（共 22 頁） 【解答】 解：（ I） ， n2， nN*）， a1+， a1+a2+（ a1+= （ 1+3） =6， n1， nN*）， 1= 1（ n2， nN*）， 兩式相減得： 1， 整理得： = ， 1 = （ n2， nN*）， 又 滿足上式， 數(shù)列 通項公式 ； （ ）由（ I）可知 bn= + = ， = = ， + + =1+ = 18某單位開展崗前培訓(xùn)期間，甲、乙 2 人參加了 5 次考試，成績統(tǒng)計如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成績 82 82 79 95 87 乙的成績 95 75 80 90 85 （ ）根據(jù)有關(guān)統(tǒng)計知識，回答問題：若從甲、乙 2 人中選出 1 人上崗，你認為選誰合適，請說明理由； （ ）根據(jù)有關(guān)概率知識，解答以下問題： 從甲、乙 2 人的成績中各隨機抽取一個，設(shè)抽到甲的成績?yōu)?x，抽到乙的成績?yōu)?y用 x y|2 的事件，求事件 A 的概率； 第 14 頁（共 22 頁） 若一次考試兩人成績之 差的絕對值不超過 3 分，則稱該次考試兩人 “水平相當 ”由上述 5次成績統(tǒng)計，任意抽查兩次考試，求至少有一次考試兩人 “水平相當 ”的概率 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【分析】 （ ）先求出甲和乙的平均成績相同，再求出甲和乙的成績的方差，方差較小的發(fā)揮比較穩(wěn)定，應(yīng)該派他去 （ ） 設(shè)抽到甲的成績?yōu)?x，抽到乙的成績?yōu)?y，則所有的（ x， y）共有 55=25 個，用列舉法求得滿足條件 |x y|2 的有 5 個，由此求得所求事件的概率 從 5 此考試的成績中，任意取出 2 此，所有的基本事件 有 =10 個，用列舉法求得滿足條件至少有一次考試兩人 “水平相當 ”的有 7 個，由此求得所求事件的概率 【解答】 解：（ ）甲的平均成績?yōu)?= =85，乙的平均成績?yōu)? =85， 故甲乙二人的平均水平一樣 甲的成績的方差為 = =31，乙的成績的方差為 =50， ，故應(yīng)派甲合適 （ ） 從甲、乙 2 人 的成績中各隨機抽取一個，設(shè)抽到甲的成績?yōu)?x，抽到乙的成績?yōu)?y，則所有的（ x， y）共有 55=25 個， 其中，滿足條件 |x y|2 的有（ 82， 80）、（ 82， 80）、（ 79， 80）、（ 95， 95）、（ 87， 85），共有 5 個， 故所求事件的概率等于 = 從 5 此考試的成績中，任意取出 2 此，所有的基本事件有 =10 個， 其中，滿足至少有一次考試 兩人 “水平相當 ”的有 7 個：（ 79， 80）和（ 87， 85）、（ 79， 80）和（ 82， 95）、（ 79， 80）和（ 87， 75）、 （ 79， 80）和（ 95， 90）、（ 87， 85）和（ 82， 95）、（ 87， 85）和（ 82， 75）、（ 87， 85）和（ 95，90），共有 7 個， 故所求事件的概率等于 19如圖，在四棱錐 O ，底面 邊長為 1 的菱形， ， 底面 ， M 為 中點 （ ）求異面直線 成角的大?。?（ ）求點 B 到平面 距離 第 15 頁（共 22 頁） 【考點】 異面直線及其所成的角；點、線、面間的距離計算 【分析】 （ ）求異面直線所成的角，可以做適當?shù)钠揭?，把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在相關(guān)的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角平移時主要是根據(jù)中位線和中點條件，或者是特殊的四邊形，三角形等 異面直線 成的角（或其補角） （ ）在立體幾何中，求點到平面的距離是 一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離本題可以先 “轉(zhuǎn)化 ”：當由點向平面引垂線發(fā)生困難時，可利用線面平行或面面平行轉(zhuǎn)化為直線上（平面上）其他點到平面的距離 平面 以點 B 和點 A 到平面 距離相等 連接 點 Q 平面 平面 段 長就是點 A 到平面 距離 【解答】 解（ ） 異面直線 成 的角（或其補角） 作 點 P，連接 平面 ， ， ， 所以，異面直線 成的角為 （ ） 平面 以點 B 和點 A 到平面 距離相等 連接 點 A 作 點 Q 平面 又 平面 段 長就是點 A 到平面 距離 ， ， 所以，點 B 到平面 距離為 第 16 頁（共 22 頁） 20已知曲線 + =1（ a b 0）所圍成的封閉圖形的面積為 4 ，曲線 記 以曲線 坐標軸的交點為頂點的橢圓 （ 1）求橢圓 （ 2）設(shè) 過橢圓 的任意弦， M 是橢圓上一點，且滿足（ + ） =0，求 面積的最小值 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）由題意可得 ， a b 0，解得 a， b 即可得出 （ 2）設(shè)直線 斜率垂直且不為 0，方程為 y=立 ，解得可得| 由于滿足（ + ） =0，可得 得直線 方程為：y= x同理可得 |利用 S |其基本不等式的性質(zhì)即可得出當 k=0時， S 當 k 不存在時， S ，直接得出 【解答】 解：（ 1） 曲線 + =1（ a b 0）所圍成的封閉圖形的面積為 4 ，曲線 內(nèi)切圓半徑為 ， ， a b 0，解得 a= ， b=2 由 1 與坐標軸的交點為頂點的橢圓 第 17 頁（共 22 頁） 橢圓的標準方程為： + =1 （ 2）設(shè)直線 斜率垂直且不為 0，方程為 y=A（ B（ 聯(lián)立，解得 ， | = 滿足（ + ） =0， =0， 得直線 方程 為： y= x 聯(lián)立 ，解得 ， ， | = S | =2020 = ，當且僅當 時取等號 當 k=0 時， S =2 當 k 不存在時， S =2 綜上可得： 面積的最小值是 21已知函數(shù) f（ x） = （ I）討論函數(shù) f（ x）單調(diào)性； （ ）當 時，證明：曲線 y=f（ x）與其在點 P（ t， f（ t）處的切線至少有兩個不同的公共點 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 （ ）對原函數(shù)求導(dǎo)，然后分 a 0 和 a0 兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的符號， a0 時， f（ x） 0 在（ 0， +）恒成立， a 0 時，求導(dǎo)函數(shù)的零點，利用導(dǎo)函數(shù)的零點把定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性； （ ）利用導(dǎo)數(shù)求出曲線 y=f（ x）在點 P（ t， f（ t）處的切線方程，然后構(gòu)造函數(shù) g（ x）=f（ x） f（ t）（ x t） +f（ t） ，因為點 P（ t， f（ t）是曲線 y=f（ x）與切線的公共點，只要再說明函數(shù) g（ x）有除了 t 外的另外零點即可，通過對函數(shù) g（ x）進行求導(dǎo)，利用函第 18 頁（共 22 頁） 數(shù)單調(diào)性得到當 x（ 0， t）或 x（ t， 2時， g（ x） g（ t） =0，利用放縮法，借助與不等式說明當 x 2t+ 時， g（ x） 0，從而說明曲線 y=f（ x）與其在點 P（ t， f（ t）處的切線至少有兩個不同的公共點 【解答】 （ ）解： f（ x）的定義域為（ 0， +）， 由 f（ x） =： f（ x） =2 （ 1）若 a0，則 f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）是減函數(shù)； （ 2）若 a 0，由 ，得： 則當 x（ 0， ）時， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， ）是減函數(shù)； 當 x（ ， +）時， f（ x） 0， f（ x）在（ ， +）是增函數(shù) （ ）證明：曲線 y=f（ x）在 P（ t， f（ t）處的切線方程為 y=f（ t）（ x t） +f（ t）， 且 P 為它們的一個公共點 當 a= 時， ， ， 設(shè) g（ x） =f（ x） f（ t）（ x t） +f（ t） ，則 g（ x） =f（ x） f（ t）， 則有 g（ t） =0，且 g（ t） =0 設(shè) h（ x） =g（ x） = x f（ t），則當 x（ 0， 2）時， h（ x） = + 0， 于是 g（ x）在（ 0， 2）是增函數(shù)，且 g（ t） =0， 所以，當 x（ 0， t）時， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， t）是減函數(shù)； 當 x（ t， 2）時， g（ x） 0， g（ x）在（ t， 2）是增函數(shù) 故當 x（ 0， t）或 x（ t， 2時， g（ x） g（ t） =0 若 x（ 2， +），則 g（ x） = f（ t）（ x t） +f（ t） = t+ ） x 1 t+ ） x 1= x（ x 2t ）1 當 x 2t+ 時， g（ x） 1 0 所以在區(qū)間（ 2， 2t+ ）至少存在一個實數(shù) 2，使 g（ =0 因此曲線 y=f（ x）與其在點 P（ t， f（ t）處的切線至少有兩個不同的公共點 選修 4何證明選講 22如圖， O 是 外接圓， D 是 的中點， 點 E （ 1）求證： E （ 2）若 長等于 O 的半徑，求 大小 第 19 頁（共 22 頁） 【考點】 與圓有關(guān)的比例線段；圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定 【分析】 （ 1）證明 出 E利用 B= E）即可證明結(jié)論成立； （ 2）連接 用等邊 可求出 大小 【解答】 解：（ 1）證明： 又 = ， E 又 B E） =E E=C， E （ 2）如圖所示， 連接 由題意知 等邊三角形， 0， 0， 0 選修 4標系與參數(shù)方程選講 23選修