2016年甘肅省白銀市高考模擬理科數(shù)學(xué)試卷(5月份)含答案解析

第 1 頁（共 24 頁） 2016 年甘肅省白銀市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（ 5 月份） 一、選擇題（本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分在每小題列出的四個選項中，只有一項符合題目要求） 1若集合 A=x|（ x+1）（ 3 x） 0，集合 B=x|1 x 0，則 AB 等于（ ） A（ 1， 3） B（ ， 1） C（ 1， 3） D（ 1， 1） 2 i 為虛數(shù)單位，（ ） 2=（ ） A 1B 1C i 3設(shè)向量 ， ，且 ，則實(shí)數(shù) m 的值為（ ） A 10B 13C 7D 4 4已知 ， a=4， b=4 ， A=30，則 B 等于（ ） A 30B 30或 150C 60D 60或 120 5某苗圃基地為了解基地內(nèi)甲、乙兩塊地種植的同一種樹苗的長勢情況，從兩塊地各隨機(jī)抽取了 10 株樹苗，用莖葉圖表示上述兩組數(shù)據(jù)，對兩塊地抽取樹苗的 高度的平均 甲 、 乙和中位數(shù) y 甲 、 y 乙 進(jìn)行比較，下面結(jié)論正確的是（ ） A 甲 乙 ， y 甲 y 乙 B 甲 乙 ， y 甲 y 乙 C 甲 乙 ， y 甲 y 乙 D 甲 乙 ， y 甲 y 乙 6如圖，是一個幾何體的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）、俯視圖，正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）都是矩形，則該幾何體的體積是（ ） A 24B 12C 8D 4 7閱讀如圖所示 的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序則輸出的 S=（ ） 第 2 頁（共 24 頁） A B C D 8如圖， y=f（ x）是可導(dǎo)函數(shù)，直線 L： y= 是曲線 y=f（ x）在 x=3 處的切線，令 g（ x）=x）， g（ x）是 g（ x）的導(dǎo)函數(shù)，則 g（ 3） =（ ） A 1B 0C 2D 4 9在約束條件 下，當(dāng) 3s5 時，目標(biāo)函數(shù) z=3x+2y 的最大值的變化范圍是（ ） A 6， 15B 7， 15C 6， 8D 7， 8 10已知直線 ax+1=0（ 0）經(jīng)過圓 x2+2x 4y=0 的圓心，則 最小值是（ ） A 9B 8C 6D 4 11已知二面角 l 為 60， ， l， A 為垂足， ， Cl， 35，則異面直線 成角的余弦值為（ ） A B C D 12設(shè)函數(shù) f（ x） =2 g（ x） = ，若函數(shù) g（ x）至 少存在一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） A（ ， B（ 0， C（ ， +D（ ， 二、填空題（本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分） 第 3 頁（共 24 頁） 13若 的展開式中 值為 14函數(shù) f（ x） =x+），（ A， ， 是常數(shù)， A 0， 0）的部分圖象如圖所示，則 f（ 0） = 15在區(qū)間 0， 2上任取兩個實(shí)數(shù) a， b，則函數(shù) f（ x） =x3+b 在區(qū)間 1， 1上有且只有一個零點(diǎn)的概率是 16已知曲線 C： ，（ a0），過點(diǎn)（ a， 0）的直線 L 與曲 線 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，則以 直徑的圓與直線 L： x=a 的關(guān)系 三、解答題（本大題共 5小題，共 70分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 17已知 ， ，其前 n 項和為 滿足 （ ）求證：數(shù)列 是等差數(shù)列； （ ）證明： + 18正方形 梯形 在平面互相垂直， D= ，點(diǎn) M 在線段 且不與 E， C 重合 （ ）當(dāng)點(diǎn) M 是 點(diǎn)時，求證： 平面 （ ）當(dāng)平面 平面 成銳二面角的余弦值為 時，求三棱錐 M 體積 第 4 頁（共 24 頁） 19在一次數(shù)學(xué)測驗后，班級學(xué)委王明對選答題的選題情況進(jìn)行了統(tǒng)計，如下表：（單位：人） 幾何證明選講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 不等式選講 合計 男同學(xué) 12 4 6 22 女同學(xué) 0 8 12 20 合計 12 12 18 42 （ ）在統(tǒng)計結(jié)果中，如果把幾何證明選講和坐標(biāo)系與參數(shù)方程稱為幾何類，把不等式選講稱為代數(shù)類，我們可以得到如下 22 列聯(lián)表：（單位：人） 幾何類 代數(shù)類 總計 男同學(xué) 16 6 22 女同學(xué) 8 12 20 總計 24 18 42 據(jù)此判斷是否有 95%的把握認(rèn)為選做 “幾何類 ”或 “代數(shù)類 ”與性別有關(guān)？ （ ）在原統(tǒng)計結(jié)果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從選做不同選做題的同學(xué)中隨機(jī)選出 7 名同學(xué)進(jìn)行座談已知學(xué)委王明和兩名數(shù)學(xué)科代表三人都在選做不等式選講的同學(xué)中 求在這名班級學(xué)委被選中的條件下，兩名數(shù)學(xué)科代表也被選中的概率； 記抽到數(shù)學(xué)科代表的人數(shù)為 X，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E（ X） 下面臨界值表僅供參考： P（ K2 考公式： 20已知橢圓 + =1（ a b 0）與拋物線 p 0）有一公共點(diǎn)，拋物線 準(zhǔn)線 l 與橢圓 一交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ， 2） （ 1）求橢圓 2 的方程； （ 2）若點(diǎn) P 是直線 l 上的動點(diǎn)，過點(diǎn) P 作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A， B，直線 1分別交于點(diǎn) E， F，求 的取值范圍 21已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = x2+3 （ ）求函數(shù) f（ x）的最小值； （ ）對一切 x（ 0， +）， 2f（ x） g（ x）恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ ）證明：對一切 x（ 0， +），都有 成立 選修 4何證明選講 22如圖所示， 圓 O 的切線， A 為切點(diǎn)， 圓 O 于 B， C 兩點(diǎn)， 0， 0， 角平分線與 圓 O 分別交于點(diǎn) D 和 E （ ）求證 C=C （ ）求 E 的值 第 5 頁（共 24 頁） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系 ，圓 C 的參數(shù)方程 （ 為參數(shù)），以 O 為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建 立極坐標(biāo)系 （ 1）求圓 C 的極坐標(biāo)方程； （ 2）直線 l 的極坐標(biāo)方程是 2+ ） =3 ，射線 = 與圓 C 的交點(diǎn)為 O、 P，與直線 l 的交點(diǎn)為 Q，求線段 長 選修 4等式選講 24已知關(guān)于 x 的不等式 |x 3|+|x 4| m 的解集不是空集 （ ）求參數(shù) m 的取值范圍的集合 M； （ ）設(shè) a， bM，求證： a+b 第 6 頁（共 24 頁） 2016 年甘肅省白銀市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（ 5 月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分在每小題列出的四個選項中，只有一項符合題目要求） 1若集合 A=x|（ x+1）（ 3 x） 0，集合 B=x|1 x 0，則 AB 等于（ ） A（ 1， 3） B（ ， 1） C（ 1， 3） D（ 1， 1） 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求出集合的等價條件，利用集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可 【解答】 解： A=x|（ x+1）（ 3 x） 0=x| 1 x 3， B=x|1 x 0=x|x 1， 則 AB=x| 1 x 1=（ 1， 1） 故選： D 2 i 為虛數(shù)單位，（ ） 2=（ ） A 1B 1C i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 由條件里哦也難怪兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則，虛數(shù)單位 i 的冪運(yùn)算性質(zhì)，計算求得結(jié)果 【解答】 解：（ ） 2= = = 1， 故選： B 3設(shè)向量 ， ，且 ，則實(shí)數(shù) m 的值為（ ） A 10B 13C 7D 4 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 根據(jù)向量的加法運(yùn)算，求出 的向量，結(jié)合向量垂直的等價條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】 解： 向量 ， ， = + +（ 1， 4） =（ m+1， 3）， ， =0， 即（ m+1） +34=0， 即 m= 13， 故選： B 4已知 ， a=4， b=4 ， A=30，則 B 等于（ ） 第 7 頁（共 24 頁） A 30B 30或 150C 60D 60或 120 【考點(diǎn)】 正弦定理 【分析】 由條件利用正弦定理求得 值，再根據(jù)及大邊對大角求得 B 的值 【解答】 解： ， a=4， b=4 ， A=30，由正弦定理可得 ，即 = ， 解得 再由 b a，大邊對大角可得 B A， B=60或 120， 故選 D 5某苗圃基地為了解基地內(nèi)甲、乙兩塊地種植的同一種樹苗的長勢情況，從兩塊地各隨機(jī)抽取了 10 株樹苗，用莖葉圖表示上述兩組數(shù)據(jù)，對兩塊地抽取樹苗的高度的平均 甲 、 乙和中位數(shù) y 甲 、 y 乙 進(jìn)行比較，下面結(jié)論正確的是（ ） A 甲 乙 ， y 甲 y 乙 B 甲 乙 ， y 甲 y 乙 C 甲 乙 ， y 甲 y 乙 D 甲 乙 ， y 甲 y 乙 【考點(diǎn)】 莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【分析】 根據(jù)莖葉圖，計算甲、乙的平均數(shù)與中位數(shù)，比較可得答案 【解答】 解：根據(jù)莖葉圖有： 甲地樹苗高度的平均數(shù)為 28 乙地樹苗高度的平均數(shù)為 35 甲地樹苗高度的平均數(shù)小于乙地樹苗的高度的平均數(shù)； 甲地樹苗高度的中位數(shù)為 27地樹苗高度的中位數(shù)為 甲 地樹苗高度的中位數(shù)小于乙地樹苗的高度的中位數(shù)； 故選 B 6如圖，是一個幾何體的正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）、俯視圖，正視圖（主視圖）、側(cè)視圖（左視圖）都是矩形，則該幾何體的體積是（ ） A 24B 12C 8D 4 第 8 頁（共 24 頁） 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知該幾何體是由兩個并排全等的直三棱柱組成如圖所示的幾何體，再根據(jù)數(shù)據(jù)即可計算出答案 【解答】 解：由三視圖可知該幾何體是由兩個并排全等的直三棱柱組成如圖所示的幾何體； V= 故選 B 7閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序則輸出的 S=（ ） A B C D 【考點(diǎn) 】 程序框圖 【分析】 根據(jù)已知中的流程圖，我們模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，看變量 n 的值是否滿足判斷框的條件，當(dāng)判斷框的條件滿足時執(zhí)行循環(huán)，不滿足時退出循環(huán)，即可得到輸出結(jié)果 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 S=0， n=1 滿足條件 n5， S=2， n=3 滿足條件 n5， S=2+ = ， n=5 滿足條件 n5， S= + = ， n=6 不滿足條件 n5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 第 9 頁（共 24 頁） 故選： B 8如圖， y=f（ x）是可導(dǎo)函數(shù)，直線 L： y= 是曲線 y=f（ x）在 x=3 處的切線，令 g（ x）=x）， g（ x）是 g（ x）的導(dǎo)函數(shù)，則 g（ 3） =（ ） A 1B 0C 2D 4 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 先從圖中求出 切線過的點(diǎn)，再求出直線 L 的方程，利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，最后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念求出 g（ 3）的值 【解答】 解： 直線 L： y= 是曲線 y=f（ x）在 x=3 處的切線， f（ 3） =1， 又點(diǎn)（ 3， 1）在直線 L 上， 3k+2=1，從而 k= ， f（ 3） =k= ， g（ x） =x）， g（ x） =f（ x） + x） 則 g（ 3） =f（ 3） +3f（ 3） =1+3（ ） =0， 故選： B 9在約束條件 下，當(dāng) 3s5 時，目標(biāo)函數(shù) z=3x+2y 的最大值的變化范圍是（ ） A 6， 15B 7， 15C 6， 8D 7， 8 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由線性約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù) z=3x+2y 為直線方程斜截式，得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案 【解答】 解：由約束條件 作可行域如圖， 第 10 頁（共 24 頁） 聯(lián)立 ，解得： B（ 1， 2） 當(dāng) s=3 時，可行域為四邊形 內(nèi)部區(qū)域， 當(dāng)直線 z=3x+2y 過 B（ 1， 2）時， z 有最大值，等于 31+22=7； 當(dāng) s=5 時，可行域為三角形 內(nèi)部區(qū)域， 當(dāng)直線 z=3x+2y 過 D（ 0， 4）時， z 有最大值，等于 30+24=8 當(dāng) 3s5 時，目標(biāo)函數(shù) z=3x+2y 的最大值的變化范圍是 7， 8 故選： D 10已知直線 ax+1=0（ 0）經(jīng)過圓 x2+2x 4y=0 的圓心，則 最小值是（ ） A 9B 8C 6D 4 【考點(diǎn)】 基本不等式；直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 求得圓的圓心，代入直線方程，可得 a+2b=1（ a， b 0），即有 =（ ） 1=（ ）（ a+2b） =5+ + ，運(yùn)用基本不等式，即可得到最小值 【解答】 解：圓 x2+2x 4y=0 的圓心為（ 1， 2）， 由題意可得 a+2b=1（ a， b 0）， 則 =（ ） 1=（ ）（ a+2b） =5+ + 5+2 =5+4=9 當(dāng)且僅當(dāng) a=b= 時，取得最小值 9 故選： A 11已知二面角 l 為 60， ， l， A 為垂足， ， Cl， 35，則異面直線 成角的余弦值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 異面直線及其所成的角 【分析】 首先作出二面角的平面角，然后再構(gòu)造出異面直線 成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出問題的答案 第 11 頁（共 24 頁） 【解答】 解：如圖，過 A 點(diǎn)做 l，使 ，垂足為 E，過點(diǎn) A 做 點(diǎn) F 接 l 0 35 5 5 在 ，設(shè) AE=a，則 a， a， 在 ，則 EF=a， a， 在 ，則 a， 異面直線 成的角即是 = = 故選： B 12設(shè)函數(shù) f（ x） =2 g（ x） = ，若函數(shù) g（ x）至少存在一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） A（ ， B（ 0， C（ ， +D（ ， 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 由題意先求函數(shù)的定義域，再化簡為方程 2 有解，則m= = ，求導(dǎo)求函數(shù) m= 的值域，從而得 【解答】 解： f（ x） =2定義域為（ 0， +）， 又 g（ x） = ， 函數(shù) g（ x）至少存在一個零點(diǎn)可化為 函數(shù) f（ x） =2少有一個零點(diǎn)； 即方程 2 有解， 則 m= = ， 第 12 頁（共 24 頁） m= 2x+2e+ = 2（ x e） + ； 故當(dāng) x（ 0， e）時 ， m 0， 當(dāng) x（ e， +）時， m 0； 則 m= 在（ 0， e）上單調(diào)遞增， 在（ e， +）上單調(diào)遞減， 故 m ee+ =； 又 當(dāng) x+0 時， m= ， 故 m； 故選 A 二、填空題（本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分） 13若 的展開式中 值為 1 【考點(diǎn)】 定積分；二項式定理 【分析】 利用二項展開式的通項公式求出展開式的第 r+1 項，令 x 的指數(shù)為 9，求出展開式中 系數(shù)，列出方程求出 a，再根據(jù)定積分的定義求出所求即可 【解答】 解：通項 =（ 1） a 3r， 當(dāng) 18 3r=9 時， r=3， 所以系數(shù)為 a 3= ，得 a=2 02 |02=1 答案為： 1 4函數(shù) f（ x） =x+），（ A， ， 是常數(shù)， A 0， 0）的部分圖象如圖所示，則 f（ 0） = 2 【考點(diǎn)】 由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【分析】 由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出 A，由周期求出 ，由五點(diǎn)法作圖求出 的值，可得函數(shù)的解析式，從而求得 f（ 0）的值 第 13 頁（共 24 頁） 【解答】 解：由函數(shù)的圖象可得 A= ， T= = ，求得 =2 再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得 2 +=， = ，故 f（ x） = 2x+ ）， f（ 0） = ， 故答案為： 15在區(qū)間 0， 2上任取兩個實(shí)數(shù) a， b，則函數(shù) f（ x） =x3+b 在區(qū)間 1， 1上有且只有一個零點(diǎn)的概率是 8 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 根據(jù)所給的條件很容易做出試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的面積，而滿足條件的事件是函數(shù) f（ x） =x3+b 在區(qū)間 1， 1上有且僅有一個零點(diǎn)，求出導(dǎo)函數(shù)，看出函數(shù)是一個增函數(shù)，有零點(diǎn)等價于在自變量區(qū)間的兩個端點(diǎn)處函數(shù)值符號相反，得到條件，做出面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果 【解答】 解：由題意知本題是一個幾何概型， a0， 2， f（ x） =3x2+a0， f（ x）是增函數(shù)， 若 f（ x）在 1， 1有且僅有一個零點(diǎn)， 則 f（ 1） f（ 1） 0 （ 1 a b）（ 1+a b） 0， 即（ 1+a+b）（ 1+a b） 0， 由線性規(guī)劃內(nèi)容知全部事件的面積為 22=4，滿足條件的面積 4 = ， P= = ， 故答案為： 第 14 頁（共 24 頁） 16已知曲線 C： ，（ a0），過點(diǎn)（ a， 0）的直線 L 與曲線 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，則以 直徑的圓與直線 L： x=a 的關(guān)系 相切 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 拋物線 4焦點(diǎn)為 C（ a， 0），拋物線 4準(zhǔn)線為 L： x=a，過 M 準(zhǔn)線 L： x=a，交 l 于 M 點(diǎn)，過 B 作 準(zhǔn)線 L： x=a，交 l 于 N 點(diǎn)，則由拋物線的性質(zhì)得 N=此能求 出以 直徑的圓與直線 L： x=a 的位置關(guān)系 【解答】 解： 曲線 C： ，（ a0）， 4 a0）， 拋物線 4焦點(diǎn)為 C（ a， 0），拋物線 4準(zhǔn)線為 L： x=a 過點(diǎn)（ a， 0）的直線 L 與曲線 C 交于 A， B 兩點(diǎn)， 過 A 作 準(zhǔn)線 L： x=a，交 l 于 M 點(diǎn)， 過 B 作 準(zhǔn)線 L： x=a，交 l 于 N 點(diǎn)， 則由拋物線的性質(zhì)得 N= 設(shè) 中點(diǎn)為 O，由梯形中位線定理得 O 到直線 L： x=a 的距離為 | （ N） = 以 直徑的圓與直線 L： x=a 的關(guān)系是相切 故答案為：相切 三、解答題（本大題共 5小題，共 70分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 17已知 ， ，其前 n 項和為 滿足 （ ）求證：數(shù)列 是等差數(shù)列； （ ）證明： + 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定 【分析】 （ ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行化簡結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列 是等差數(shù)列； 第 15 頁（共 24 頁） （ ）求出 通項公式，利用放縮法進(jìn)行證明不等式 【解答】 解：（ ）當(dāng) n2 時， n 1= ， 即 1 1， 則 ， 從而 構(gòu)成以 1 為首項， 2 為公差的等差數(shù)列 （ ） 構(gòu)成以 1 為首項， 2 為 公差的等差數(shù)列， =1+2（ n 1） =2n 1，即 ， 當(dāng) n2 時， = = （ ） 從而 + 1+ （ 1 ） 18正方形 梯形 在平面互相垂直， D= ，點(diǎn) M 在線段 且不與 E， C 重合 （ ）當(dāng)點(diǎn) M 是 點(diǎn)時，求證： 平面 （ ）當(dāng)平面 平面 成銳二面角的余弦值為 時，求三棱錐 M 體積 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定 【分析】 （ I）三角形的中位線定理可得 再利用已知可得 ，即可證明四邊形 平行四邊形再利用線面平行的判定定理即可證明 （ 中點(diǎn) O，過點(diǎn) O 作 接 得四邊形 平行四邊形，由于 得四邊形 矩形由于 方形 梯形 在平面互相垂直， 得 平面 面 平面 平面是 可得出 平面 平面 平面 成銳二第 16 頁（共 24 頁） 面角由于 ，可得 可得 = 而 而 C，同理 M M 為 中點(diǎn)，利用三棱錐的體積計算公式可得 B 【解答】 （ I）證明：取 中點(diǎn) N，連接 又 點(diǎn) M 是 點(diǎn) 而 ， 四邊形 平行四邊形 而 面 面 平面 （ ）取 中點(diǎn) O，過點(diǎn) O 作 接 ， 四邊形 平行四邊形， 四邊形 矩形 正方形 梯形 在平面互相垂直， 平面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 成銳二面角 ， = ，解得 = 而 = C，同理 M M 為 中點(diǎn)， 第 17 頁（共 24 頁） ， 交于 D 平面 三棱錐 B 高 =， B = 19在一次數(shù)學(xué)測驗后，班級學(xué)委王明對選答題的選題情況進(jìn)行了統(tǒng)計，如下表：（單位：人） 幾何證明選講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 不等式選講 合計 男同學(xué) 12 4 6 22 女同學(xué) 0 8 12 20 合計 12 12 18 42 （ ）在統(tǒng)計結(jié)果中，如果把幾何證明選講和坐標(biāo)系與參數(shù)方程稱為幾何類，把不等式選講稱為代數(shù)類，我們可以得到如下 22 列聯(lián)表：（單位：人） 幾何類 代數(shù)類 總計 男同學(xué) 16 6 22 女同學(xué) 8 12 20 總計 24 18 42 據(jù)此判斷是否有 95%的把握認(rèn)為選做 “幾何類 ”或 “代數(shù)類 ”與性別有關(guān)？ （ ）在原統(tǒng)計結(jié)果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從選做不同選做題的同學(xué)中隨機(jī)選出 7 名同學(xué)進(jìn)行座談已知學(xué)委王明和兩名數(shù)學(xué)科代表三人都在選做不 等式選講的同學(xué)中 求在這名班級學(xué)委被選中的條件下，兩名數(shù)學(xué)科代表也被選中的概率； 記抽到數(shù)學(xué)科代表的人數(shù)為 X，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E（ X） 下面臨界值表僅供參考： P（ K2 考公式： 【考點(diǎn)】 線性回歸方程；古典概型及其概率計算公式 【分析】 （ 1）根據(jù)所給的 列聯(lián)表得到求觀測值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測值公式中，做出觀測值，同所給的臨界值表進(jìn)行比較，得到所求的值所處的位置，得到百分?jǐn)?shù) 第 18 頁（共 24 頁） （ 2） 令事件 A 為 “這名學(xué)委被抽取到 ”；事件 B 為 “兩名數(shù)學(xué)科代表被抽到 ”，利用條件概率求得兩名數(shù)學(xué)科代表也被選中的概率，或利用古典概型概率公式求解； 記抽取到數(shù)學(xué)科代表的人數(shù)為 X，由題 X 的可能值有 0， 1， 2依次求出相應(yīng)的概率求分布列，再求期望即可 【解答】 解：（ ）由表中數(shù)據(jù)得 觀測值 k= = 所以，據(jù)此統(tǒng)計有 95%的把握認(rèn)為選做 “幾何類 ”或 “代數(shù)類 ”與性別有關(guān) （ ）由題可知在 “不等式選講 ”的 18 位同學(xué)中，要選取 3 位同學(xué) 方法一：令事件 A 為 “這名班級學(xué)委被抽到 ”；事件 B 為 “兩名數(shù)學(xué)科代表被抽到 ”，則 P（ AB） = ， P（ A） = 所以 P（ B|A） = = = = 方法二：令事件 C 為 “在這名學(xué)委被抽到的條件下，兩名數(shù)學(xué)科代表也被抽到 ”， 則 P（ C） = = = 由題知 X 的可能值為 0， 1， 2 依題意 P（ X=0） = = ； P（ X=1） = = ； P（ X=2） = = 從而 X 的分布列為 X 0 1 2 P 于是 E（ X） =0 +1 +2 = = 20已知橢圓 + =1（ a b 0）與拋物線 p 0）有一公共點(diǎn)，拋物線 準(zhǔn)線 l 與橢圓 一交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ， 2） （ 1）求橢圓 2 的方程； （ 2）若點(diǎn) P 是直線 l 上的動點(diǎn)，過點(diǎn) P 作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A， B，直線 1分別交于點(diǎn) E， F，求 的取值范圍 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）由準(zhǔn)線方 程 y= 2，可得拋物線的方程；再由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得橢圓的 c=2，運(yùn)用橢圓的定義可得 a，求得 b，進(jìn)而得到橢圓方程； 第 19 頁（共 24 頁） （ 2）設(shè)點(diǎn) P（ t， 0）， A（ B（ E（ F（ 求得切線的斜率，得到切線 方程，求得 方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到所求范圍 【解答】 解：（ 1）拋物線 準(zhǔn)線方程是 y= 2， 所以 ，所以拋物線 方程是： y， 橢圓 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ 0， 2），（ 0， 2）， 所以 c=2， ， 所以 ，即橢圓 方程是 + =1； （ 2）設(shè)點(diǎn) P（ t， 0）， A（ B（ E（ F（ 拋物線方程可以化為： ， ， 所以 方程為： ， 所以 ，即 ，同理： ， 所以直線 方程為： ， 將直線 程代入橢圓 方程得到：（ 2） 664=0， 則 =25656（ 2） 0， 且 ， 所以 ， 因為 ， 所以 的取值范圍是（ 8， 2 21已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = x2+3 （ ）求函數(shù) f（ x）的最小值； （ ）對一切 x（ 0， +）， 2f（ x） g（ x）恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ ）證明：對 一切 x（ 0， +），都有 成立 【考點(diǎn)】 函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用 【分析】 （ I）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求出最小值 第 20 頁（共 24 頁） （ 2f（ x） g（ x），則 a2x+ ，構(gòu)造函數(shù) h（ x） =2x+ ，則 ax），進(jìn)而得到實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ ）對一切 x（ 0， +），都有 成立，即 ，結(jié)合（ 1）中結(jié)論可知 x ，構(gòu)造新函數(shù) m（ x） = ，分析其最大值，可得答案 【解答】 解：（ ） f（ x）的定義域為（ 0， +）， f（ x）的導(dǎo)數(shù) f（ x） =1+ 令 f（ x） 0，解得 x ； 令 f（ x） 0，解得 0 x 從而 f（ x）在（ 0， ）單調(diào)遞減，在（ ， +）單調(diào)遞增 所以，當(dāng) x= 時， f（ x）取得最小值 （ 2f（ x） g（ x），則 a2x+ ， 設(shè) h（ x） =2x+ ， 則 h（ x） = +1 = = x（ 0， 1）時， h（ x） 0， h（ x）單調(diào)遞減， x（ 1， +）時， h（ x） 0， h（ x）單調(diào)遞增， h（ x） h（ 1） =4 故 a4 即 實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（ ， 4 證明：（ 則 ， 由（ I）得： x ，當(dāng)且僅當(dāng) x= 時，取最小值； 設(shè) m（ x） = ，則 m（ x） = ， x（ 0， 1）時， m（ x） 0， m（ x）單調(diào)遞增， x（ 1， +）時， m（ x） 0， m（ x）單調(diào)遞減， 故當(dāng) x=1 時， m（ x）取最大值 故對一切 x（ 0， +），都有 成立