傅里葉變換與傅里葉級數.doc

傅里葉級數和傅里葉變換的區(qū)別與聯系 以上我們分別討論了傅里葉級數和傅里葉變換的定義及其存在條件，現簡要討論一下二者的區(qū)別。 前已述及，傅里葉級數對應的是周期信號，而傅里葉變換對應的是非周期信號；前者要求信號在一個周期內的能量是有限的，而后者要求信號在整個時間區(qū)間內的能量是有 此外，傅里葉級數的系數X(k2。)是離散的，而傅里葉變換x(jn)是的連續(xù)函數。 由此可見，傅里葉級數與傅里葉變換二者的物理含義不同，因而量綱也不同。X(k。)代表了周期信號x(t)的第k次諧波幅度的大小，而x(js2)是頻譜密度的概念為說明這一點，我們可將一個非周期信號視為周期丁趨于無窮大的周期信號。由。=2/T可知，若T則必有。o，k。，將(313)式兩邊同乘以T，并取T時的極限，可得 該式表明，一個周期信號的傅里葉變換是由頻率軸上間距為。的沖激序列(Drac函數)所組成，這些沖激序列的強度等于相應的傅里葉系數乘以2兀。這樣的離散頻譜又稱為“線譜”。由沖激函數的定義和頻譜密度的物理概念可知，周期信號的頻譜應理解為在無窮小的頻率范圍內取得了一個“無限大”的頻譜密度。無限大是從沖激函數的角度來理解的。沖激函數的強度為2zcX(kf2。)，單純地從X(kf2。)來理解，它無密度的概念，它代表了在kf2。處的諧波的大小。 由此可以看出，本不具備傅里葉變換條件的周期信號，在引入了沖激信號后也可以作傅里葉變換。當然，變換的結果也應從沖激信號的角度來理解。這樣，由(3118)式，我們可以把傅里葉級數和傅里葉變換統一在一個理論框架下來進行討論，并建立起二者的聯系。 由上述的討論，我們不難得出如下的結論：時域連續(xù)的周期信號的傅里葉變換在頻域是離散的、非周期的。 當周期信號的周期T趨于無窮大時，|由(3118)式給出的離散頻譜將變成連續(xù)譜，它對應的是周期信號的一個周期的傅里葉變換，但由于周期為無窮大，因此，它對應的實際上是(317)式的非周期信號的傅里葉變換。由此我們可得出另一個結論：時域連續(xù)的非周期信號的傅里葉變換在頻域上是連續(xù)的、非周期的。 讀者在有關“信號與系統”的教科書(例如，參考文獻E2，8，13)中都可看到有關連續(xù)時間信號傅里葉變換與傅里葉級數的詳述，本書不再對此作進一步的討論。下面僅給出幾個常用周期信號傅里葉變換的例子。 3.2.1 從傅里葉級數到傅里葉變換 從例2-3可知，周期脈沖信號離散頻譜函數為 其隨頻率的變化規(guī)律如圖3.5所示（參看圖2.6）。 圖3.5 周期To增加對離散頻譜的影響 從圖中可見：當振幅值等于為最大；當基頻，各譜線之間的間隔，頻譜包絡線第一個過零點的值按 求得 若不是整數說明過零點的頻率不存在諧波分量。 現設脈沖寬度秒，周期從秒增加到2秒、4秒，則求得相應的離散頻譜分別如圖3.5(a)(b)(c)所示。該圖表示譜線之間（相鄰頻率分量）的間隔，隨著的增加在逐步減少。從到第一個過零點的頻帶寬度，因不變而保持不變，故而從之間所容納的諧波分量隨著的增加而增多，其結果使得譜線越來越密集。如果把非周期信號看作周期信號，當周期趨于無窮的極限情況，則由于，各譜線之間的間隔趨于零，使原為離散的頻譜變成連續(xù)頻譜，雖然這時頻譜的變化規(guī)律仍按包絡線在變化。但因幅度頻譜趨于零，以致難以用無限小頻譜函數值來描述非周期信號的頻譜特性。為了避免對的影響，定義一個物理量 該式表示每單位頻帶寬度的復頻譜，故稱為頻譜密度。當，則得 (3.7) 式(3.7)是連續(xù)變量的函數，稱為非周期信號頻譜密度函數。按理，就可以用來表征非周期信號的頻譜特性，但為了與習慣上通用的定義式相一致，又稱式(3.7)乘以常數，即定義頻譜密度為： (3.8)式(3.8)把連續(xù)時間函數變換為頻率的連續(xù)函數，稱這為信號的傅里葉變換或連續(xù)時間傅里葉變換（CTFT）。由于它在頻域反映了信號的基本特征，因而是非周期信號進行頻域分析的理論依據和最基本的公式。3.2.2 頻譜函數與頻譜密度函數的區(qū)別上一頁下一頁 從以上推導過程可見，周期信號離散頻譜函數與非周期信號連續(xù)頻譜密度函數之間有著密切的關系，即 (3.9) 按周期信號的傅里葉級數表示式為 當T0 則 nw0w,wdw, 故得 （3.10） 式(3.10)與式(3.8)相對應，它把連續(xù)頻率函數變換為連續(xù)時間函數，故稱之為頻譜密度x(w)的傅里葉反變換（ICTFT）。該式說明一個非周期信號是由頻率為無限密度，幅度等于無限小，無限多的復指數信號的線性組合而成。它類似周期信 號，通過傅里葉級數把信號分解成由無窮多的復指數或正弦信號的線性組合，藕以在時間域對信號進行分析。但在頻率域它們卻有明顯的不同，這主要表現在周期信 號的頻譜是離散的復頻譜，表示的是每個諧波分量（單一頻率）的復振幅，而非周期信號的頻譜是連續(xù)的頻譜，表示的是每單位帶寬內所有諧波分量合成的復振幅。 所以x(w)是頻譜密度的函數，是個復量，即，有的書用x(jw)表示。由于它反映了x(t)分解成不同頻率正弦分量的幅度和相位的變化規(guī)律，為了方便仍通稱為x(t)的頻譜。其模|x(w)|稱為幅度頻譜，幅角稱為相位頻譜。但應注意它與周期信號的離散頻譜在內涵上有所差異。式(3.8)與式(3.10)構成一對傅里葉變換，通?？捎洖?(3.11) (3.12) 式中符號“F”代表傅里葉變換，“F-1”代表傅里葉反變換。為了簡便也可以采用下列符號表示傅里葉變換對 雙箭頭的含義是x(t)的傅里葉正變換為x(w),x(w)的傅里葉反變換為x(t)。從上列關系式可見，如果采用式(3.7)作為傅里葉正變換的定義式，則其反變換式(3.12)就不出現常數。所以兩種定義式都是可行的，僅僅是在正、反變換式子中的常系數互相對調，有所不同而已。這種情況，在各種數學變換關系式中經常會遇見。 傅里葉變換是一對線性變換，它們之間存在一對一的關系，其中一個積分方程是另一個積分方程的解。式(3.12)從已知x(w)恢復原有信號x(t)稱為合成公式；式(3.11)從已知信號x(t)求它的組成分量x(w)稱為分解公式。通過它們把時域與頻域有機地聯系起來。非周期信號存在傅里葉變換的條件需要滿足下列狄里赫利條件： 1信號x(t)絕對可積，即 按 所以存在傅里葉變換。 2在任意有限區(qū)間內，信號x(t)只有有限個最大值和最小值。 3在任意有限區(qū)間內，信號x(t)，僅有有限個不連續(xù)點，而且在這些點都必須是有限值。 上列第一條是充分條件但不一定必要，第二、三條是必要條件量不充分。按一個絕對可積的信