等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和項(xiàng)和 一 教學(xué)內(nèi)容分析一 教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)課選自 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書 數(shù)學(xué) 5 人教版 第二 章第 5 節(jié)第一課時(shí) 從在教材中的地位與作用來(lái) 看 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容 它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用 如儲(chǔ)蓄 分期付款的有關(guān)計(jì)算等等 而且公式推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類比 化歸 分類討論 整體變換和方程等思想方法 都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù) 學(xué)素養(yǎng) 二 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析二 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析 從學(xué)生的思維特點(diǎn)看 很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和從公式的形成 特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比 這是積極因素 應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo) 不利因素是 本節(jié)公式的 推導(dǎo)與等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同 這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè) 突破 另外 對(duì)于 q 1 這一特殊情況 學(xué)生往往容易忽視 尤其是在后面使 用的過(guò)程中容易出錯(cuò) 教學(xué)對(duì)象是剛進(jìn)入高中的學(xué)生 雖然具有一定的分析問(wèn) 題和解決問(wèn)題的能力 邏輯思維能力也初步形成 但由于年齡的原因 思維盡 管活躍 敏捷 卻缺乏冷靜 深刻 因此片面 不嚴(yán)謹(jǐn) 三 設(shè)計(jì)思想三 設(shè)計(jì)思想 新課程改革綱要 提出 要 改變課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí) 死記硬背 機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀 倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與 樂(lè)于探究 勤于動(dòng)手 培養(yǎng)學(xué)生搜集和 處理信息能力 獲取新知識(shí)的能力 分析和解決問(wèn)題的能力以及交流合作的能 力 對(duì)這一目標(biāo)本人認(rèn)為更加注重培養(yǎng)學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的能動(dòng)性 獨(dú)立性 創(chuàng)造性 發(fā)展性 心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn) 9 22 歲的學(xué)生正處于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)期 高中生正好處于這一關(guān)鍵年齡段 作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)因勢(shì)力導(dǎo) 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新 思維能力 利用問(wèn)題探究式的方法對(duì)新課加以鞏固理解 在生生 師生交流的 過(guò)程中 體現(xiàn)對(duì)弱勢(shì)學(xué)生更多的關(guān)心 四 教學(xué)目標(biāo)四 教學(xué)目標(biāo) 理解并掌握等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程 公式的特點(diǎn) 在此基礎(chǔ)上能 初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問(wèn)題 通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn) 向?qū)W生滲透特殊到一般 類比與轉(zhuǎn)化 分 類討論等數(shù)學(xué)思想 培養(yǎng)學(xué)生觀察 比較 抽象 概括等邏輯思維能力和逆向 思維的能力 通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn) 優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì) 滲透 事物之間等價(jià)轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn) 五 教學(xué)重點(diǎn) 難點(diǎn)五 教學(xué)重點(diǎn) 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)是公式的推導(dǎo) 公式的特點(diǎn)和公式的運(yùn)用 教學(xué)難點(diǎn)是公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運(yùn)用 公式推導(dǎo) 所使用的 錯(cuò)位相減法 是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一 它蘊(yùn) 含了重要的數(shù)學(xué)思想 所以既是重點(diǎn)也是難點(diǎn) 教學(xué)準(zhǔn)備 包括資源的收集 課件的制作 活動(dòng)的準(zhǔn)備等 1 全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書 必修 第一冊(cè) 上 2 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué) 必修 5 及配套光盤 3 兩種教材的主要差異對(duì)比 4 課件 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 改編 六 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 六 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 學(xué)生是認(rèn)知的主體 設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 盡可能地讓學(xué)生去經(jīng)歷知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程 結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn) 我設(shè)計(jì)了 如下的教學(xué)過(guò)程 一 創(chuàng)設(shè)情境 提出問(wèn)題 一 創(chuàng)設(shè)情境 提出問(wèn)題 在古印度 有個(gè)名叫西薩的人 發(fā)明了國(guó)際象棋 當(dāng)時(shí)的印 度國(guó)王大為贊賞 對(duì)他說(shuō) 我可以滿足你的任何要求 西薩說(shuō) 請(qǐng)給我棋盤的 64 個(gè)方格上 第一格放 1 粒小麥 第二格放 2 粒 第三格放 4 粒 往后每一格 都是前一格的兩倍 直至第 64 格 國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算 結(jié)果出來(lái)后 國(guó)王 大吃一驚 為什么呢 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 設(shè)計(jì)這個(gè)情境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué) 生的興趣 調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性 故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn) 此時(shí)我問(wèn) 同學(xué)們 你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎 引 導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù) 帶著這樣的問(wèn)題 學(xué)生會(huì)動(dòng)手算 了起來(lái) 他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值 然后再求和 這時(shí)我對(duì)他們的 這種思路給予肯定 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 在實(shí)際教學(xué)中 由于受課堂時(shí)間限制 教師舍 不得花時(shí)間讓學(xué)生去做所謂的 無(wú)用功 急急忙忙地拋出 錯(cuò)位相減法 這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 求和就想到相加 這是合乎邏輯順理成章的事 教師為什么不相加而馬上相減呢 在整個(gè)教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過(guò)彎來(lái) 因而 在教學(xué)中應(yīng)舍得花時(shí)間營(yíng)造知識(shí)形成過(guò)程的氛圍 突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙 同時(shí) 形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲 迫使學(xué)生急于尋求解決問(wèn)題的新方法 為后面的教學(xué)埋下伏筆 二 師生互動(dòng) 探究問(wèn)題 二 師生互動(dòng) 探究問(wèn)題 在肯定他們的思路后 我接著問(wèn) 是什么數(shù)列 有何 特征 應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢 學(xué)情預(yù)設(shè)學(xué)情預(yù)設(shè) 探討 1 設(shè) 記為 1 式 注意觀察每一項(xiàng)的特征 有何聯(lián)系 學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn) 后一項(xiàng)都是前一 項(xiàng)的 2 倍 探討 2 如果我們把每一項(xiàng)都乘以 2 就變成了它的后一項(xiàng) 1 式兩邊同乘以 2 則有 記為 2 式 比較 1 2 兩式 你有什么發(fā)現(xiàn) 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較 等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變 加 為 減 在教師看來(lái)這是 天經(jīng)地義 的 但在學(xué)生看來(lái)卻是 不可思議 的 因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章 從而抓 住培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力的良好契機(jī) 2363 1 2 2 2 2 2363 1 2 2 2 2 2363 64 S 1 2 2 2 2 236364 64 2S 2 2 2 2 2 2363 1 2 2 2 2 經(jīng)過(guò)比較 研究 學(xué)生發(fā)現(xiàn) 1 2 兩式有許多相同 的項(xiàng) 把兩式相減 相同的項(xiàng)就消去了 得到 老師指出 這就 是錯(cuò)位相減法 并要求學(xué)生縱觀全過(guò)程 反思 為什么 1 式兩邊要同乘以 2 呢 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 經(jīng)過(guò)繁難的計(jì)算之苦后 突然發(fā)現(xiàn)上述解法 不禁驚呼 真 是太簡(jiǎn)潔了 讓學(xué)生在探索過(guò)程中 充分感受到成功的情感體驗(yàn) 從而增強(qiáng)學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心 三 類比聯(lián)想 解決問(wèn)題 三 類比聯(lián)想 解決問(wèn)題 這時(shí)我再順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化 設(shè)等比數(shù)列 首 n a 項(xiàng)為 公比為 如何求前 n 項(xiàng)和 這里 讓學(xué)生自主完成 并喊一名學(xué) 1 aq n S 生上黑板 然后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo) 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 在教師的指導(dǎo)下 讓學(xué)生從特殊到一般 從已 知到未知 步步深入 讓學(xué)生自己探究公式 從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感 學(xué)情預(yù)設(shè)學(xué)情預(yù)設(shè) 在學(xué)生推導(dǎo)完成后 我再問(wèn) 由得 n n11 1 q s a a q 對(duì)不對(duì) 這里的能不能等于 1 等比數(shù)列中的公比能不能為 n 11 n a a q s 1 q q 1 時(shí)是什么數(shù)列 此時(shí) 這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì)進(jìn)行分類討論 得出公1q n S q 式 同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ) 再次追問(wèn) 結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 如何把用 1 1 n n aa q n S 表示出來(lái) 引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式 1 a n aq 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)反問(wèn)精講 一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn) 識(shí) 完善知識(shí)結(jié)構(gòu) 另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受 變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng) 認(rèn)識(shí) 從而進(jìn)一步提高分析 類比和綜合的能力 這一環(huán)節(jié)非常重要 盡管時(shí) 間有時(shí)比較少 甚至僅僅幾句話 然而卻有畫龍點(diǎn)睛之妙用 四 討論交流 延伸拓展 四 討論交流 延伸拓展 在此基礎(chǔ)上 我提出 探究等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式 還有其 它方法嗎 我們知道 那么我們能否利用這個(gè)關(guān)系而求出呢 根據(jù) n 2 1111 a q a a q a q n S 等比數(shù)列的定義又有 能否聯(lián)想到等比定理從而求出 234n 123n 1 aaaa q aaaa 呢 n S 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 以疑導(dǎo)思 激發(fā)學(xué)生的探索欲望 營(yíng)造一個(gè)讓 學(xué)生主動(dòng)觀察 思考 討論的氛圍 以上兩種方法都可以化歸到 這其實(shí)就是關(guān)于的一個(gè)遞推式 遞推數(shù)列有非 11nn SaqS n S 2n 1 n1111 s a a q a q a q 64 64 21S 常重要的研究?jī)r(jià)值 是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源 它源 于課本 又高于課本 對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用 五 變式訓(xùn)練 五 變式訓(xùn)練 深化認(rèn)識(shí)深化認(rèn)識(shí) 例 1 求等比數(shù)列前 8 項(xiàng)和 1 1 1 1 2 4 8 16 變式 1 等比數(shù)列前多少項(xiàng)的和是 1 1 1 1 2 4 8 16 63 64 變式 2 等比數(shù)列求第 5 項(xiàng)到第 10 項(xiàng)的和 1 1 1 1 2 4 8 16 變式 3 等比數(shù)列求前 2n 項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和 1 1 1 1 2 4 8 16 首先 學(xué)生獨(dú)立思考 自主解題 再請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)來(lái)幻燈演示他們的解答 其它同學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià) 然后師生共同進(jìn)行總結(jié) 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 采用變式教學(xué)設(shè)計(jì)題組 深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn) 識(shí)和理解 通過(guò)直接套用公式 變式運(yùn)用公式 研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問(wèn) 題解決 促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成 通過(guò)以上形式 讓全體學(xué)生都參 與教學(xué) 以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí) 六 例題講解 形成技能 六 例題講解 形成技能 例 2 求和 23n 1 1 a a a a 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 解題時(shí) 以學(xué)生分析為主 教師適時(shí)給予點(diǎn)撥 該題有意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)思想 七 總結(jié)歸納 加深理解 七 總結(jié)歸納 加深理解 以問(wèn)題的形式出現(xiàn) 引導(dǎo)學(xué)生回顧公式 推導(dǎo)方法 鼓勵(lì)學(xué) 生積極回答 然后老師再?gòu)闹R(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié) 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力 歸納概括能 力 八 故事結(jié)束 首尾呼應(yīng) 八 故事結(jié)束 首尾呼應(yīng) 最后我們回到故事中的問(wèn)題 我們可以計(jì)算出國(guó)王獎(jiǎng)賞的小 麥約為 1 84 1019 粒 大約 7000 億噸 用這么多小麥能從地球到太陽(yáng)鋪設(shè)一 條寬 10 米 厚 8 米的大道 大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的 459 倍 顯然國(guó)王兌 現(xiàn)不了他的承諾 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 把引入課題時(shí)的懸念給予釋疑 有助于學(xué)生克 服疲倦 繼續(xù)積極思維 九 課后作業(yè) 分層練習(xí) 九 課后作業(yè) 分層練習(xí) 必做 P66 練習(xí) 1 1 2 2 選作 思考題 1 求和 23n x 2x 3x nx 2 遠(yuǎn)望巍巍塔七層 紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增 共燈三百八十一 請(qǐng) 問(wèn)尖頭幾盞燈 這首中國(guó)古詩(shī)的答案是多少 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖 出選作題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教 讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間 七 教學(xué)反思 七 教學(xué)反思 對(duì)公式的教學(xué) 要使學(xué)生掌握與理解公式的來(lái)龍去脈 掌握公式的推導(dǎo)方法 理解公式的成立條件 充分體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系 在教 學(xué)中 我采用 問(wèn)題 探究 的教學(xué)模式 把整個(gè)課堂分為呈現(xiàn)問(wèn)題 探索 規(guī)律 總結(jié)規(guī)律 應(yīng)用規(guī)律四個(gè)階段 點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng) 本節(jié)課開始 設(shè)置了 棋盤上的數(shù)學(xué) 一例 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化 的熏陶 引起學(xué)生的興趣 挑起學(xué)生探索新知識(shí)的欲望 進(jìn)而提出了 等比數(shù)列求和的問(wèn)題 教學(xué)設(shè)計(jì)重視 過(guò)程與方法 符合新課標(biāo)的理念 把重點(diǎn)放在公 式的推導(dǎo)上 在探索公式的過(guò)程中 用到了許多重要的數(shù)學(xué)方法 如 錯(cuò)位相減 變加為減 等價(jià)轉(zhuǎn)化 遞推思想 縱橫聯(lián)系 揭示本質(zhì) 等比 定理 回歸定義 自然樸實(shí) 學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會(huì)到推導(dǎo)過(guò)程中所蘊(yùn) 含的數(shù)學(xué)思想 這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性 敏銳