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文檔簡介
課題: 25.2 列舉法求概率教學目標:知識與技能目標 學習用列表法、畫樹形圖法計算概率,并通過比較概率大小作出合理的決策。過程與方法目標 經歷實驗、列表、統(tǒng)計、運算、設計等活動,學生在具體情境中分析事件,計算其發(fā)生的概率。滲透數形結合,分類討論,由特殊到一般的思想,提高分析問題和解決問題的能力。情感與態(tài)度目標 通過豐富的數學活動,交流成功的經驗,體驗數學活動充滿著探索和創(chuàng)造,體會數學的應用價值,培養(yǎng)積極思維的學習習慣。教學重點:習運用列表法或樹形圖法計算事件的概率。教學難點:能根據不同情況選擇恰當的方法進行列舉,解決較復雜事件概率的計算問題。教學過程1.創(chuàng)設情景,發(fā)現新知 引例:為活躍聯歡晚會的氣氛,組織者設計了以下轉盤游戲:A、B兩個帶指針的轉盤分別被分成三個面積相等的扇形,轉盤A上的數字分別是1,6,8,轉盤B上的數字分別是4,5,7(兩個轉盤除表面數字不同外,其他完全相同)。每次選擇2名同學分別撥動A、B兩個轉盤上的指針,使之產生旋轉,指針停止后所指數字較大的一方為獲勝者,負者則表演一個節(jié)目(若箭頭恰好停留在分界線上,則重轉一次)。作為游戲者,你會選擇哪個裝置呢?并請說明理由。 【設計意圖】 選用這個引例,是基于以下考慮:以貼近學生生活的聯歡晚會為背景,創(chuàng)設轉盤游戲引入,能在最短時間內激發(fā)學生的興趣,引起學生高度的注意力,進入情境。(2)學生分組討論,探索交流在這個環(huán)節(jié)里,首先要求學生分組討論,探索交流。然后引導學生將實際問題轉化為數學問題,即:“停止轉動后,哪個轉盤指針所指數字較大的可能性更大呢?”由于事件的隨機性,我們必須考慮事件發(fā)生概率的大小。此時我首先引導學生觀看轉盤動畫,同學們會發(fā)現這個游戲涉及A、B兩轉盤, 即涉及2個因素,與前一課所講授單轉盤概率問題(教材P148例2)相比,可能產生的結果數目增多了,列舉時很容易造成重復或遺漏。怎樣避免這個問題呢?實際上,可以將這個游戲分兩步進行。 于是,指導學生構造表格(3)指導學生構造表格A B457168首先考慮轉動A盤:指針可能指向1,6,8三個數字中的任意一個,可能出現的結果就會有3個。接著考慮轉動B盤:當A盤指針指向1時,B盤指針可能指向4、5、7三個數字中的任意一個,這是列舉法的簡單情況。當A盤指針指向6或8時,B盤指針同樣可能指向4、5、7三個數字中的任意一個。一共會產生9種不同的結果。【設計意圖】這樣既分散了難點,又激發(fā)了學生興趣,滲透了轉化的數學思想。(4)學生獨立填寫表格,通過觀察與計算,得出結論(即列表法)A B4571(1,4)(1,5)(1,7)6(6,4)(6,5)(6,7)8(8,4)(8,5)(8,7)從可以發(fā)現:A盤數字大于B盤數字的結果共有5種。P(A數較大)= , P(B數較大)=. P(A數較大) P(B數較大) 選擇A裝置的獲勝可能性較大。在學生填寫表格過程中,注意向學生強調數對的有序性。由于游戲是分兩步進行的,我們也可用其他的方法來列舉。即先轉動盤,可能出現1,6,8三種結果;第二步考慮轉動盤,可能出現4,5,7三種結果。168開始A裝置457457457B裝置(5)解法二: 由圖知:可能的結果為: (1,4),(1,5),(1,7),(6,4),(6,5),(6,7),(8,4),(8,5),(8,7)。共計9種。P(A數較大)= , P(B數較大)=. P(A數較大) P(B數較大) 選擇A裝置的獲勝可能性較大。然后,引導學生對所畫圖形進行觀察:若將圖形倒置,你會聯想到什么?這個圖形很像一棵樹,所以稱為樹形圖(在幻燈片上放映)。列表和樹形圖是列舉法求概率的兩種常用的方法?!驹O計意圖】自然地學生感染了分類計數和分步計數思想。2.自主分析,再探新知例1:同時擲兩個質地均勻的骰子,計算下列事件的概率:(1) 兩個骰子的點數相同;(2) 兩個骰子的點數的和是9;(3) 至少有一個骰子的點數為2。例1是教材上一道“擲骰子”的問題,有了引例作基礎,學生不難發(fā)現:引例涉及兩個轉盤,這里涉及兩個骰子,實質都是涉及兩個因素。于是,學生通過類比列出下列表。 第2個第1個1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表可以看出,同時擲兩個骰子,可能出現的結果有36個,它們出現的可能性相等。由所列表格可以發(fā)現:(1)滿足兩個骰子的點數相同(記為事件A)的結果有6個,即(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),所以P(A)=。滿足條件的結果在表格的對角線上(2)滿足兩個骰子的點數的和是9(記為事件B)的結果有4個,即(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),所以P(B)=。滿足條件的結果在(3,6)和(6,3)所在的斜線上(3)至少有一個骰子的點數為2(記為事件C)的結果有11個,所以P(C)=。滿足條件的結果在數字2所在行和2所在的列上接著,引導學生進行題后小結:當一個事件要涉及兩個因素并且可能出現的結果數目較多時,通常采用列表法。運用列表法求概率的步驟如下:列表 ; 通過表格計數,確定公式P(A)=中m和n的值;利用公式P(A)=計算事件的概率。分析到這里,我會問學生:“例1題目中的“擲兩個骰子”改為“擲三個骰子”,還可以使用列表法來做嗎?”由此引出下一個例題。例2: 甲口袋中裝有2個相同的球,它們分別寫有字母A和B;乙口袋中3個相同的球,它們分別寫有字母C、D和E;丙口袋中2個相同的球,它們分別寫有字母H和I。從三個口袋中各隨機地取出1個球。(1)取出的三個球上恰好有1個、2個和3個元音字母的概率分別為多少?(2)取出的三個球上全是輔音字母的概率是多少?例2與前面兩題比較,有所不同:要從三個袋子里摸球,即涉及到3個因素。此時同學們會發(fā)現用列表法就不太方便,可以嘗試樹形圖法。本游戲可分三步進行。分步畫圖和分類排列相關的結論是解題的關鍵。從圖形上可以看出所有可能出現的結果共有12個,即:ACHACIADHADIAEHAEIBCHBDHBDIBEHBEIBCI(幻燈片上用顏色區(qū)分)這些結果出現的可能性相等。(1)只有一個元音字母的結果(黃色)有5個,即ACH,ADH,BCI,BDI,BEH,所以;有兩個元音的結果(白色)有4個,即ACI,ADI,AEH,BEI,所以;全部為元音字母的結果(綠色)只有1個,即AEI ,所以。(2)全是輔音字母的結果(紅色)共有2個,即BCH,BDH,所以。通過例2的解答,很容易得出題后小結:當一次試驗要涉及3個或更多的因素時,通常采用“畫樹形圖”。運用樹形圖法求概率的步驟如下:(幻燈片)畫樹形圖 ; 列出結果,確定公式P(A)=中m和n的值;利用公式P(A)=計算事件概率。接著我向學生提問:到現在為止,我們所學過的用列舉法求概率分為哪幾種情況? 列表法和畫樹形圖法求概率有什么優(yōu)越性?什么時候使用“列表法”方便,什么時候使用“樹形圖法”更好呢?【設計意圖】 通過對上述問題的思考,可以加深學生對新方法的理解,更好的認識到列表法和畫樹形圖法求概率的優(yōu)越性在于能夠直觀、快捷、準確地獲取所需信息,有利于學生根據實際情況選擇正確的方法。3.應用新知,深化拓展為了檢驗學生對列表法和畫樹形圖法的掌握情況,提高應用所學知識解決問題的能力,在此我選擇了教材P154課后練習作為隨堂練習。(1)經過某十字路口的汽車,它可能繼續(xù)前行,也可能向左或向右,如果這三種可能性大小相同。三輛汽車經過這個十字路口,求下列事件的概率:三輛車全部繼續(xù)前行;兩輛車向右轉,一輛車向左轉;至少有兩輛車向左轉。隨堂練習(1)是一道與實際生活相關的交通問題,可用樹形圖法來解決。(2)在6張卡片上分別寫有16的整數,隨機地抽取一張后放回,再隨機地抽取一張,那么第二次取出的數字能夠整除第一次取出的數字的概率是多少?通過解答隨堂練習(2),學生會發(fā)現列出的表格和例1的表格完全一樣。不同的是:變換了實際背景,設置的問題也不一樣。這時,我提出:我們是否可以根據這個表格再編一道用列舉法求概率的題目來呢?為了進一步拓展思維,我向學生提出了這樣一個問題,供學生課后思考:在前面的引例中,轉盤的游戲規(guī)則是不公平的,你能把它改成一個公平的游戲嗎?
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