2018年上半年初級數(shù)學(xué)真題答案.docx

2018年上半年中小學(xué)教師資格考試數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力試題（初級中學(xué)）參考答案及解析一、單項(xiàng)選擇題1【答案】D。解析：有理數(shù)與有理數(shù)的乘積仍然是有理數(shù)，所以對于乘法運(yùn)算是封閉的，A項(xiàng)項(xiàng)正確；有理數(shù)可以通過數(shù)軸法、絕絕對值法、差值法等比較大小，B項(xiàng)正確；實(shí)數(shù)集包括無理數(shù)集和有理數(shù)集，有理數(shù)集是實(shí)數(shù)集的子集，C項(xiàng)正確；全體有理數(shù)構(gòu)成的集合是有理數(shù)集，記為Q，任意xQ，都有x1Q，x1Q，所以有理數(shù)集無上界也無下界，是無界集，D項(xiàng)錯誤。故本題選D。2【答案】A。解析：兩個向量的數(shù)量積也稱“點(diǎn)乘”，結(jié)果是一個數(shù)；向量積也稱“叉乘”，結(jié)果是一個向量，其方向滿足右手定則，垂直于原向量的平面。ab為向量積，方向與a，b向量垂直，所以A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯誤；ab為數(shù)量積，結(jié)果是一個數(shù)，無方向可言，所以C項(xiàng)和D項(xiàng)錯誤。故本題選A。3【答案】D。解析：已知fx在a，b上連續(xù)，閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)必有界，則必有最大值，所以A項(xiàng)中命題正確。根據(jù)函數(shù)一致連續(xù)性定理：若函數(shù)fx在a，b上連續(xù)，則函數(shù)fx在a，b上一致連續(xù)。所以B項(xiàng)中命題正確。fx在區(qū)間a，b上連續(xù)，則fx在a，b上可積。所以C項(xiàng)中命題正確。連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，比如y=x連續(xù)，但在x0處由于其左右導(dǎo)數(shù)不相等，所以不可導(dǎo)，D項(xiàng)中命題不正確。故本題選D。4【答案】B。解析：有n個未知量的非齊次線性方程組AXb有解的充要條件是其系數(shù)矩陣A的秩等于其增廣矩陣B的秩。而當(dāng)r（A）r（B）n時，方程組有唯一解；當(dāng)r（A）r（B）n時，方程組有無窮多個解；當(dāng)r（A）r（B）時，方程組無解。本題中，因?yàn)榫€性方程組ax+by=u，cx+y=的系數(shù)矩陣abcd與增廣矩陣abucd的秩均為2，且等于未知量個數(shù)，所以該方程組有唯一解。5【答案】A。解析：先求兩個面被涂成紅色的小正方體個數(shù)。每條棱上有2個小正方體有兩面被涂成紅色，共有12條棱，所以共有24個小正方體恰有兩面被涂成紅色，所求概率是2464=38。6【答案】B。解析：雙曲柱面x2-y2=1和平面2xy20可看作是xOy平面內(nèi)雙曲線x2-y2=1和直線2xy20沿平行z軸方向平移得到。聯(lián)立兩個方程消去y，得3x2-8x+5=0，其中b24ac646040，故在xOy平面內(nèi)雙曲線x2-y2=1和直線2xy20有兩個交點(diǎn)。沿著平行z軸方向平移這兩個點(diǎn)，就得到了兩條平行直線，即雙曲柱面x2-y2=1與平面2xy20的交為平行于z軸的兩條平行直線。7【答案】D。解析：“尺規(guī)作圖三大問題”是指三等分角，即三等分一個任意角；立方倍積問題，即作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的二倍：化圓為方問題，即作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積。故本題選D。8【答案】C。解析：指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)必修1中的內(nèi)容。二、簡答題9【參考答案】A=abcd，A=abcd=ad-bc0，所以A可逆。又A*=d-b-ca，所以A-1=A*A=1ad-bcd-b-ca。10【參考答案】令Fx，y，z=3x2-2y2+z2-20，可得Fxx，y，z=6x，F(xiàn)yx，y，z=-4y，F(xiàn)xx，y，z=2z，所以題中二次曲面的切平面的法向量為（6x，-4y，2z）。將點(diǎn)（1，2，5）代人到F（x，y，z）的偏導(dǎo)數(shù)中，可得過點(diǎn)（1，2，5）的切平面的法向量為（6，-8，10）。11【參考答案】先證滿射。對任意gx=acosx+bsinxV，有g(shù)xdx=acosx+bsinxdx=asinx-bcosx+C，所以存在fx=-bcosx+asinxV，使得Dfx=f（x）=gx，即D是V到V上的滿射。再證單射。對于f1x=a1cosx+b1sinxV和f2x=a2cosx+b2sinxV，如果f1f2，則f1x-f2x=a1-a2cosx+b1-b2sinx=a1-a22+b1-b22sin（x+）0對于任意xR都成立，所以a1=a2和b1=b2不同時成立。Df1x=-a1sinx+b1cosx，Df2x=-a2sinx+b2cosx，則Df1xDf2x。若不然，有Df1x=-a1sinx+b1cosx=-a2sinx+b2cosx=Df2x對任意xR都成立。當(dāng)x=0時，有b1=b2；當(dāng)x=2時，有a1=a2與“f1xf2x時a1=a2和b1=b2不同時成立”相矛盾。即證得D是V到V上的單射。相關(guān)知識點(diǎn)設(shè)f是從集合A到集合B的映射，若fA=B，即B中任一元素b都是A中某元素的像，則稱f為A到B上的滿射；若對A中任意兩個不同元素a1a2，它們的像fa1fa2，則稱f為A到B的單射；若映射f既是單射，又是滿射，則稱映射f為A到B的“雙射”（或“一一映射”）。12【參考答案】教學(xué)方法是教師引導(dǎo)學(xué)生掌握知識技能，獲得身心發(fā)展而共同活動的方法。選擇中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的依據(jù)有：符合教學(xué)規(guī)律和教學(xué)原則；符合教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)；符合教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)；符合學(xué)生的發(fā)展水平；符合教師的特長；符合教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性。13【參考答案】三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半?！疤剿鳌笔沁^程目標(biāo)行為動詞，“證明”是結(jié)果目標(biāo)行為動詞?！疤剿鞑⒆C明三角形中位線定理”這一目標(biāo)的設(shè)置，要求學(xué)生不僅要記住該定理的內(nèi)容，還需要掌握該定理的推導(dǎo)過程，聯(lián)系知識間的內(nèi)在關(guān)系，體會其中的數(shù)學(xué)思想，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。探索并證明三角形中位線定理有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。三角形中位線定理的證明需要運(yùn)用三角形全等的性質(zhì)定理和判定定理、三角形相似的性質(zhì)定理和判定定理、平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理等知識，而三角形中位線定理不僅為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)的平面圖形、立體圖形等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)，并且在圖形證明和計(jì)算中發(fā)揮著重要的作用。學(xué)生經(jīng)歷探索并證明三角形中位線定理的學(xué)習(xí)過程，能夠更好地體會并理解這些知識內(nèi)在的聯(lián)系，對學(xué)生構(gòu)建知識體系，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心也很有幫助。探索并證明三角形中位線定理的過程能夠提高學(xué)生的推理能力。從幾何直觀出發(fā)猜想三角形中位線和第三邊的關(guān)系到運(yùn)用三角形全等和平行四邊形的相關(guān)知識嚴(yán)格地證明猜想的過程，就是從觀察、歸納、猜想到用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程驗(yàn)證猜想的過程，就是學(xué)生學(xué)習(xí)并應(yīng)用合情推理和演繹推理的過程。經(jīng)歷這一過程可以增強(qiáng)學(xué)生綜合應(yīng)用合情推理和演繹推理來發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。三、解答題14【參考答案】（1）令y=lnf（x），則y=f（x）f（x）。（2）由fx-3x2f（x）=0整理得df（x）dx=3x2f（x）.分離變量得df（x）dx=3x2dx，兩邊同時積分得df（x）dx=3x2dx，即lnf（x）=x3+C，故fx=x3+C=C1x3。又因?yàn)閒0=C1=1，所以fx=x3。四、論述題15【參考答案】教學(xué)活動應(yīng)努力使全體學(xué)生達(dá)到課程目標(biāo)的基本要求，同時要關(guān)注學(xué)生的個體差異，促進(jìn)每個學(xué)生在原有基礎(chǔ)上的發(fā)展。對于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，教師要給予及時的關(guān)注與幫助；鼓勵他們主動參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，并嘗試用自己的方式解決問題、發(fā)表自己的看法；要及時地肯定他們的點(diǎn)滴進(jìn)步；耐心地引導(dǎo)他們分析產(chǎn)生困難或錯誤的原因，并鼓勵他們自己去改正，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。對于學(xué)有余力并對數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生，教師要為他們提供足夠的材料和思維空間，指導(dǎo)他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能。在教學(xué)活動中，要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化，恰當(dāng)評價學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平。問題情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)過程的展開、練習(xí)的安排等要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動參與，提出各自解決問題的策略。引導(dǎo)學(xué)生通過與他人的交流選擇合適的策略，豐富數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，提高思維水平。五、案例分析題16【參考答案】（1）學(xué)生在計(jì)算過程中錯把-1-15算成了-45，應(yīng)該是-65。出現(xiàn)這樣的錯誤，有以下幾個原因：學(xué)生沒有完全理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，沒能將正數(shù)、負(fù)數(shù)和相反數(shù)這些概念聯(lián)系起來。學(xué)生對于符號的認(rèn)識和理解不夠全面，比如數(shù)學(xué)符號“-”，除了當(dāng)作減號進(jìn)行運(yùn)算外，還可以當(dāng)作負(fù)號，表示一個數(shù)的相反數(shù)。學(xué)生對于負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律掌握不扎實(shí)。教師在新課講解過程中，對學(xué)生的預(yù)設(shè)不足，對于學(xué)生難以理解的知識點(diǎn)，沒有進(jìn)行更加細(xì)致和通俗的講解。（2）例1是有理數(shù)的減法。第一步是利用有理數(shù)減法法則，減去一個數(shù)等于加這個數(shù)的相反數(shù)，將減法轉(zhuǎn)化為加法。第二步是同號有理數(shù)加法，取相同的符號，然后把絕對值相加。例2是有理數(shù)的減法。第一步利用有理數(shù)的減法法則，減去一個數(shù)等于加這個數(shù)的相反數(shù)，將減法轉(zhuǎn)化為加法。第二步是兩個異號的絕對值不相等的有理數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。六、教學(xué)設(shè)計(jì)題17【參考答案】（1）某超市出售一種牛奶糖和一種水果糖，牛奶糖單價15元/千克，水果糖單價10元/千克，為了滿足廣大消費(fèi)者的不同需求，超市決定將兩種糖混合銷售，并設(shè)計(jì)了以下五種比例的混合方式：牛奶糖（千克）水果糖（千克）1114233241引導(dǎo)學(xué)生思考：這五種混合糖的平均單價一樣嗎？全部用12.5元/千克的“平均”單價銷售，是否合理？若不一樣，哪一種應(yīng)該最高？哪一種應(yīng)該最低？如何設(shè)置這五種混合糖的單價才最為合理？（2）在計(jì)算加權(quán)平均數(shù)時，權(quán)重可以表示總體中的各種成分所占比例：權(quán)重越大的數(shù)據(jù)在總體中所占的比例越大，它對加權(quán)平均數(shù)的影響也越大。在計(jì)算加權(quán)平均數(shù)時，常用權(quán)重來反映對應(yīng)的數(shù)據(jù)的重要程度：權(quán)重越大的數(shù)據(jù)越重要。（3）某單位欲從內(nèi)部招聘一名管理員，對甲、乙、丙三名候選人進(jìn)行了筆試、面試和民主評議，三人的測試成績?nèi)缦卤硭荆簻y試項(xiàng)目測試成績甲乙丙筆試758090面試937068民主評議508070（1）如果根據(jù)三項(xiàng)測試的平均成績確定錄用人選，那么誰將被錄用？（2）根據(jù)實(shí)際需要，單位將筆試、面試、民