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文檔簡介
簡化不等式運算的幾種策略在解答不等式問題時,如果方法選擇不當,那么將使解題過程冗長、繁雜,運算量大,直接影響速度與運算結果的準確。因此在解題過程中,若能充分挖掘問題潛在的特殊性,靈活地采用相應的解題策略,則可簡化或避免分類討論等一些不必要的繁雜運算,簡化解題過程。本文就幾類常用的策略歸納如下:1.挖掘隱含條件 充分挖掘不等式成立的必要條件,則可簡化分類,迅速求解。如利用定義域,有界因子或因式等。例.設,且為常數(shù),解不等式分析:注意到不等式的“定義域”,有,即: 。而 ,故。此時,所以不等式恒成立,其解集為: 。2.考查問題的等效性 利用絕對值不等式的性質、等效因子、等價變形等方法將原不等式轉化為另一種形式求解,則可簡化運算過程,迅速求解。例1.對于解不等式。分析:不等式與不等式等價。所以原不等式等價于:即:從而得解集: 。例2.解不等式.分析:由絕對值不等式的性質知:原不等式等價于: 即: 。解之易得。例3.解不等式.分析:原不等式等價于: 。解之,即得。3.數(shù)形結合 從不等式中抽象出函數(shù),將問題轉化為考查函數(shù)圖解的位置關系。例.設,解關于的不等式.xyo分析:由題意知,設, ??疾榉匠蹋航Y合已知: ,易得: 。說明兩曲線的位置關系如圖所示:觀察圖象得,原不等式的解集為:。4.換元引參,合理轉化 對不等式進行代數(shù)換元、三角換元等,將不等式形式簡化或轉化為其它問題。例.若關于的方程有解,試確定實數(shù)的取值范圍。分析:令 ,則原問題轉化為三角問題: 由角的范圍知,實數(shù)的取值范圍為:。5.函數(shù)思想的運用 變更主元,構造函數(shù),利用函數(shù)的相關性質來解題。 例1.解不等式分析:設,則 。原不等式轉化為: 即: 也就是: 由為減函數(shù)知,即: 。解之,即得: 。例2.若不等式對滿足的所有都成立,求實數(shù)的取值范圍。分析:原不等式等價于:則問題轉化為:當時,函數(shù)恒成立。由函數(shù)的性質知,只須: 解得:或 。6.方程思想的運用 構造方程,將不等式問題轉化為考查方程的根的相關性質。例.已知不等式,它的解集為,求的值。分析:利用方程思想,4和是不等式對應的方程的兩根,所以有: 解之,即得: 。7.正難則反 從反面求解,轉化為去求不等式的補集,可起到事半功倍的效果。例.解關于的不等式分析:注意到原不等式與不等式的關系,解不等式: ,即得:解之得: 。在全集中取的補集即得原不等式的解集為: 。8.合理構造,避免或優(yōu)化討論 充分分析給定的條件,確定解題目標,進行合理構造,可避免或優(yōu)化分類討論,精簡運算過程。例1.,且,求證:分析: 構造數(shù)列: 則例2.設,。當時,。證明:當時,。分析:由題意知,構造如下:令 ,則:設 , ,而所以易證。所以: 。9.分離參變量 對涉及的參變量進行分離,轉化為求解函數(shù)的最值
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