（試題 試卷 真題）專題54 矩形的性質(zhì)【教師版】

專題54 矩形的性質(zhì)【母題來源】2013年山東青島第21題（8分）【母題原題】已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)（1）求證：ABMDCM（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)AD：AB= _時(shí)，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明）A=90，ABM=AMB=45。同理DMC=45。EMF=180-45-45=90。四邊形MENF是菱形，菱形MENF是正方形。 1. 【2013年四川眉山9分】在矩形ABCD中，DC=2，CFBD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F，連接BF（1）求證：DECFDC；（2）當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí)，求sinFBD的值及BC的長(zhǎng)度【答案】解：（1）證明：DEC=FDC=90，DCE=FCD，DECFDC。（2）F為AD的中點(diǎn)，ADBC，F(xiàn)E：EC=FD：BC=1：2，F(xiàn)B=FC。FE：FC=1：3，。設(shè)EF=x，則FC=3x，DECFDC，即：6x2=12，解得：x=。CF=3。在RtCFD中，。BC=2DF=2?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理?！痉治觥浚?）根據(jù)題意可得DEC=FDC，利用兩角法即可進(jìn)行相似的判定。（2）根據(jù)F為AD的中點(diǎn)，可得FB=FC，根據(jù)ADBC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sinFBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設(shè)EF=x，則EC=2x，利用（1）的結(jié)論求出x，在RtCFD中求出FD，繼而得出BC。2. 【2013年浙江紹興12分】若一個(gè)矩形的一邊是另一邊的兩倍，則稱這個(gè)矩形為方形，如圖1，矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形（1）設(shè)a，b是方形的一組鄰邊長(zhǎng)，寫出a，b的值（一組即可）（2）在ABC中，將AB，AC分別五等分，連結(jié)兩邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn)，以這些連結(jié)為一邊作矩形，使這些矩形的邊B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的對(duì)邊分別在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如圖2所示若BC=25，BC邊上的高為20，判斷以B1C1為一邊的矩形是不是方形？為什么？若以B3C3為一邊的矩形為方形，求BC與BC邊上的高之比【答案】解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4。（2）以B1C1為一邊的矩形不是方形。理由如下：過A作AMBC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，則AMB4C4，AMB3C3，AMB2C2，AMB1C1，由矩形的性質(zhì)得：BCB1C1B2C2B3C3B4C4，ABCAB1C1AB2C2AB3C3AB4C4，。AM=20，BC=25，B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16。MN=GN=GH=HE=4。BQ=B2O=B3Z=B4K=4，即B1C12B1Q，B1Q2B1C1。以B1C1為一邊的矩形不是方形。設(shè)AM=h，以B3C3為一邊的矩形為方形，ABCAB3C3。，。AG=h。MN=GN=GH=HE=h。當(dāng)B3C3=2h，時(shí)，；當(dāng)B3C3=h時(shí)，綜合上述：BC與BC邊上的高之比是或。 3.【2014年大慶市房頂中學(xué)】如圖，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，點(diǎn)P從A開始沿折線ABCD以4cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPBC為矩形？【答案】根據(jù)題意得：CQ=2t，AP=4t，則BP=24-4t.四邊形ABCD是矩形，B=C=90，CDAB.只有CQ=BP時(shí)，四邊形QPBC是矩形,即2t=24-4t，解得：t=4.答：當(dāng)t=4s時(shí)，四邊形QPBC是矩形【考點(diǎn)】矩形的判定和性質(zhì)。【分析】求出CQ=2t，AP=4t，BP=24-4t，由已知推出B=C=90，CDAB，推出CQ=BP時(shí)，四邊形QPBC是矩形，得出方程2t=24-4t，求出即可.4. 【原創(chuàng)題1】如圖1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且AEEF，BE=2，（1）求證：AE=EF；（2）延長(zhǎng)EF交矩形BCD的外角平分線CP于點(diǎn)P（圖2），試求AE與EP的數(shù)量關(guān)系；【答案】（1）AEEF，BEA+CEF=90。四邊形ABCD為矩形，B=C=90。BAE +BEA =90。BA E=CEF。又AB=DC=6，BC=8，BE=2，AB=EC=6。ABEECF（ASA）。AE=EF。（2）如圖，在AB上取一點(diǎn)M，使BM=BE，連接ME。AM=CE。BME=45。AME=135。CP是外角平分線，DCP=45。ECP=135。AME=ECP。由（1）知MA E=CEP，AMEECP。AM=2，EC=3，。AE與EP的數(shù)量關(guān)系是。【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，外角平分線定義，相似三角形的判定和性質(zhì)。 5. 【原創(chuàng)題2】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，M為PQ中點(diǎn)（1）求證：ADPABQ；（2）若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CP=x，BM2=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM的最小值；（3）若AD= a，AB=，DP=8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，求a的取值范圍?！敬鸢浮浚?）QAP=BAD=90，QAB=PAD。又ABQ=ADP=90，ADPABQ。（2）CP =x，CD=AB=20，DP =CDDP=。ADPABQ，即。QB=。如圖，過點(diǎn)M作MNQC于點(diǎn)N，MNQC，CDQC，點(diǎn)M為PQ中點(diǎn)，點(diǎn)N為QC中點(diǎn)，MN為中位線，。在RtBMN中，由勾股定理得，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：（0x20）。 ，當(dāng)x=12即CP=8時(shí)，y取得最小