數(shù)學(xué)必修一總結(jié).doc

數(shù)學(xué)必修一總結(jié)數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵：數(shù)學(xué)題的已知條件由文字和式子組成，對于文字，重點讀取與基本概念、方程相關(guān)的詞（如單調(diào)增、奇函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、周期函數(shù)、恒成立等），然后把這些詞結(jié)合其他已知條件寫成式子，觀察式子形成思路；對于式子，要弄清式子的含義及適用的定義域，然后結(jié)合已知和所求，對式子進(jìn)行變形，思路在變形過程中形成。必須熟記定義和學(xué)過的各種方法一、說出下列式子的含義？xax2+bx+c=0，xR集合中的元素有2次方程的根、1次方程的根aax2+bx+c=0，xR集合中的元素有b2-4ac0且a0的解集和a=0且b0yax2+bx+c=y，x（1，3）集合中的元素是x（1，3）時函數(shù)的值域，記住討論a(x,y)x2+x+3=y，x（1，3）集合中的元素是x（1，3）時2次函數(shù)上的點xA 表示x是集合A的元素 ABC 集合A是BC的子集，A中的元素在B、C的公共元素中都找得到，但B、C的公共元素不一定都在A里 ABC集合A是BC的子集，A中的元素在B、C和在一起元素中都找得到，但B、C的元素不一定都在A里 ACUB集合A不是CUB的子集，A中有不在CUB中的元素f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) f(-x)-f(x)=0 f(-x)+f(x)=0f(a-x)=f(a+x) f(2a-x)=f(x) f(a+x)=f(x)式中a0 f(a+x)=f(b+x) 式中a0, b0二、各函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式、圖像、規(guī)律分別是什么1、一次函數(shù) y=kx+b （1）k0，叫直線的斜率，是直線與x軸正方向逆時針轉(zhuǎn)角（001800）的正切值,大于0時，圖像過1、3象限，是增函數(shù)；小于0時，圖像過2、4象限，是減函數(shù)（2）b叫直線在y軸上的截距，是直線與y交點的縱坐標(biāo)2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）（1）a決定開口大小和方向。a越大，開口越??；a0開口向上，a0且a1）（1）在可行范圍內(nèi)無論a取任何值，圖像都必過（0，1）點（2）0a1時，為減函數(shù)，越小圖像越靠近y軸；10且a1，x0）（1）在可行范圍內(nèi)無論a取任何值，圖像都必過（1，0）點（2）0a1時，為減函數(shù)，越小圖像越靠近x軸；1 a時，為增函數(shù)，越大圖像越靠近x軸；（3）y=logax與y=-logax 或 y=logax與y=logx 的圖像關(guān)于x軸對稱。它剛好滿足“y= -f(x)的圖像與y=f(x)的圖像肯定關(guān)于x軸對稱”這一普遍規(guī)律；（4）y=logax與 y=ax 當(dāng)a為同一個數(shù)的時候，兩個函數(shù)的圖像關(guān)于y=x直線對稱三、怎樣求定義域？（1）首先記住：定義域是x的取值范圍；法則相同，受體取值范圍相同（2）有表達(dá)式的要列“分母0，偶次根號下0，函數(shù)自身定義域”的不等式組；無表達(dá)式用上面兩句話即可四、怎樣判別函數(shù)單調(diào)性？（1）定義法：在定義域內(nèi)任取x1x2，用做差或做商法（注意要大于0才能用）比較f(x1) 與f(x2)大小，進(jìn)而判定單調(diào)性（2）比值法：在定義域內(nèi)任取x1-1、(12y)/（y1）0,b0,a=b時不等式才取等號）例：y=(x-1)/(x22x+4)解：將原式變形當(dāng)x1時，2，所以y；當(dāng)x=1時，y=0；當(dāng)x1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+).(1)證明：當(dāng)mM時，f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則mM.(2)當(dāng)mM時，求函數(shù)f(x)的最小值.(3)求證：對每個mM,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.(1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3(x2m)2+m+,當(dāng)mM時，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域為R.反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+0,令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m1,故mM.(2)解析：設(shè)u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函數(shù)，當(dāng)u最小時，f(x)最小.而u=(x2m)2+m+,顯然，當(dāng)x=2m時，u取最小值為m+,此時f(2m)=log3(m+)為最小值.(3)證明：當(dāng)mM時，m+=(m1)+ +13,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時等號成立.log3(m+)log33=1.精典題型二：設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為(1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最??？如果要求，那么為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最?。拷猓涸O(shè)畫面高為x cm,寬為x cm,則x2=4840,設(shè)紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160,將x=代入上式得：S=5000+44 (8+),當(dāng)8=,即=1)時S取得最小值.此時高：x=88 cm,寬：x=88=55 cm.如果可設(shè)10,S(1)S(2)0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.解：(1)當(dāng)a=時，f(x)=x+2f(x)在區(qū)間1，+上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1，+上的最小值為f(1)=.(2)在1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立（其含義是這個式子的最小值都比0大，所以不等式恒成立問題就是求最值的問題）設(shè)y=x2+2x+a,x1,+y=x2+2x+a=(x+1)2+a1遞增，當(dāng)x=1時，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3.十、函數(shù)單調(diào)性、奇偶性練習(xí)例1：函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當(dāng)且僅當(dāng)0x1時f(x)0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明： (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減.證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.令0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由題意知f()0，即f(x2)f(x1).f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.f(x)在(1，1)上為減函數(shù).例2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間.解：設(shè)0x1x2,則x2x10，f(x)在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(x2)f(x1),f(x)為偶函數(shù)，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)內(nèi)單調(diào)遞減.由f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a3.又a23a+1=(a)2.函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是，+結(jié)合0a1).(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，+)上為增函數(shù).(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.證明：(1）設(shè)1x1x2+,則x2x10, 1且0,0,又x1+10,x2+100,于是f(x2)f(x1)=+ 0f(x)在(1，+）上為遞增函數(shù).(2）設(shè)存在x00(x01)滿足f(x0)=0,則且由01得01,即x02與x00矛盾，故f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.例4設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱且滿足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1.求證：(1)f(x)是奇函數(shù).(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個周期是4a.證明：(1）不妨令x=x1x2,則f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函數(shù).(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=fx(a)=.f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).例5函數(shù)f(x)的定義域為R，且對m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,當(dāng)x時，f(x)0.(1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個函數(shù)，并加以驗證.證明：設(shè)x1x2,則x2x1,由題意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)0,f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).(2)解：f(x)=2x+1.驗證過程略.例6奇函數(shù)f(x)是定義在(3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+f(x23)0,設(shè)不等式解集為A，B=Ax|1x,求函數(shù)g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值.解：由且x0,故0x,又f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,綜上得2x,即A=x|2x,B=Ax|1x=x|1xf(0)對所有0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由.解：f(x)是R上的奇函數(shù)，且在0，+)上是增函數(shù)，f(x)是R上的增函數(shù).于是不