微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用畢業(yè)論文.doc

微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用畢業(yè)論文目 錄標(biāo)題1中文摘要11 引言12 微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用12.1 邊際分析12.2 彈性分析32.2.1 彈性的概念32.2.2 需求彈性32.2.3 需求彈性與總收入的關(guān)系42.3 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用52.3.1 邊際經(jīng)濟(jì)量52.3.2 偏彈性62.3.3 偏導(dǎo)數(shù)求極值82.4 積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用92.4.1 邊際函數(shù)求原函數(shù)92.4.2 消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余92.4.3 收益流的現(xiàn)值與未來(lái)值102.5 實(shí)際問(wèn)題探索122.5.1 經(jīng)濟(jì)批量問(wèn)題122.5.2 凈資產(chǎn)分析132.5.3 核廢料的處理143結(jié)束語(yǔ)16參考文獻(xiàn)17致 謝18外文頁(yè)19微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用武亞南摘 要 本文從邊際分析、彈性分析、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析的應(yīng)用、積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用、實(shí)際問(wèn)題探索五方面來(lái)討論微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用.其中實(shí)際問(wèn)題探索是利用微積分去解決實(shí)際問(wèn)題，為本文討論的重點(diǎn).關(guān)鍵詞 微積分 邊際分析 彈性分析 實(shí)際問(wèn)題1 引言微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)史上偉大的成就，它不僅僅是從社會(huì)生產(chǎn)和理論科技中產(chǎn)生的，反過(guò)來(lái)，它應(yīng)用到我們生活中的社會(huì)和科學(xué)技術(shù)中去.如今，微積分已是廣大科學(xué)工作者和科技人員必不可少的工具.微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱(chēng)，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)期.并且它的產(chǎn)生與科學(xué)地繼承和發(fā)展數(shù)學(xué)上的長(zhǎng)期積累的研究成果是分不開(kāi)的.以我國(guó)古代來(lái)說(shuō)，三國(guó)時(shí)期魏人劉徽（公元263年）總結(jié)了前人的成果，提出了“割圓術(shù)”，他說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣.”用正多邊形逼近圓周.這是極限論思想的成功運(yùn)用.微分是聯(lián)系到對(duì)曲線(xiàn)作切線(xiàn)的問(wèn)題和函數(shù)的極大值、極小值問(wèn)題.積分概念是求某些面積、體積和弧長(zhǎng)而引起的，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在拋物線(xiàn)求積法中用窮竭法求出拋物線(xiàn)弓形的面積.阿基米德的貢獻(xiàn)真正成為積分學(xué)的萌芽.通過(guò)前人的研究成果，十七世紀(jì)末英國(guó)物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家牛頓（Newton，1642-1727）和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz，1646-1716）創(chuàng)立了微積分學(xué).它的產(chǎn)生并不是偶然的.那時(shí)候，建筑工程的盛興、河道堤壩的修建、造船事業(yè)的發(fā)展等提出了很多計(jì)算不同形狀物體的面積、體積、重心、器壁上液體壓力等靜力學(xué)的與流體力學(xué)的問(wèn)題.所以微積分的產(chǎn)生是由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展、生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步所促使產(chǎn)生的.2 微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用2.1 邊際分析在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，常常會(huì)使用變化率的概念.變化率一般分為平均變化率和即時(shí)或瞬時(shí)率，平均變化率就是函數(shù)的增量與自變量的增量之比，瞬時(shí)變化率就是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也將瞬時(shí)變化率即導(dǎo)函數(shù)稱(chēng)為邊際函數(shù).一般，稱(chēng)為函數(shù)在內(nèi)的平均變化率，它表示函數(shù)在內(nèi)的平均變化速度.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)的變化率，也稱(chēng)為在點(diǎn)處的邊際函數(shù)值，它表示 在點(diǎn)處的變化速度.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際函數(shù)定義如下定義1 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則稱(chēng)導(dǎo)數(shù)為的邊際函數(shù).在處函數(shù)值為邊際函數(shù)值.簡(jiǎn)稱(chēng)為邊際.根據(jù)邊際函數(shù)的定義，可知邊際成本、邊際收入、邊際收益、邊際需求，是成本函數(shù)、收入函數(shù)、需求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).例1 罐頭廠(chǎng)生產(chǎn)的草莓罐頭每瓶售價(jià)5.4元，如果每周銷(xiāo)售量（單位：千瓶）為時(shí)，每周總成本為(元).設(shè)價(jià)格不變，求（1）可以獲得利潤(rùn)的銷(xiāo)售量范圍；（2）每周銷(xiāo)售量為多少瓶時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？解 總收益 總利潤(rùn) 當(dāng)時(shí)，即當(dāng)銷(xiāo)售量在瓶至瓶之間可以獲得利潤(rùn).令，得故時(shí)，取得極大值，因極值唯一，即為最大值，所以當(dāng)銷(xiāo)售量為瓶時(shí)，可獲得最大利潤(rùn).上述結(jié)果表明銷(xiāo)售量為每周瓶時(shí)此時(shí)獲得最大利潤(rùn)，當(dāng)銷(xiāo)售量為每周瓶時(shí)，再增加一瓶，利潤(rùn)將增加，當(dāng)銷(xiāo)售量為每周瓶時(shí)，再增加一瓶，利潤(rùn)將減少.由此亦說(shuō)明，并非生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量越多，利潤(rùn)越高，通過(guò)對(duì)邊際利潤(rùn)的分析，可以減少工廠(chǎng)投資的盲目性，減少投資損失.2.2 彈性分析我們?cè)谶呺H分析中，討論的函數(shù)變化率屬于絕對(duì)數(shù)范圍的討論.在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，僅僅用絕對(duì)數(shù)的概念是不足以深入分析問(wèn)題的.例如：某超市甲商品的單價(jià)是5元，降價(jià)1元；乙商品單價(jià)200元，也降價(jià)1元，結(jié)果，甲商品的需求量變化較大，這是為什么呢？原因是甲降價(jià)幅度即相對(duì)增量比乙降價(jià)的幅度大.為此我們有必要研究一下函數(shù)的相對(duì)改變率.2.2.1 彈性的概念定義2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量之比，稱(chēng)為函數(shù)從到兩點(diǎn)間的平均相對(duì)變化率，或稱(chēng)兩點(diǎn)間的彈性.當(dāng)時(shí)，的極限稱(chēng)為在處的相對(duì)變化率，也就是相對(duì)導(dǎo)數(shù)，或稱(chēng)彈性.記作即由定義可知函數(shù)在點(diǎn)處的彈性反映了的變化幅度對(duì)于變化幅度的大小影響，根據(jù)彈性函數(shù)公式推導(dǎo)可知，兩點(diǎn)之間的彈性有正負(fù)之分.2.2.2 需求彈性在定義2中已介紹過(guò)彈性函數(shù)，由此可知需求彈性反映了當(dāng)商品價(jià)格變動(dòng)時(shí)需求變動(dòng)的強(qiáng)度，由于需求函數(shù)為遞減函數(shù)，所以，從而為負(fù)數(shù).經(jīng)濟(jì)學(xué)家一般用正數(shù)表示需求彈性，因此采用需求函數(shù)相對(duì)變化率的相反數(shù)來(lái)定義需求彈性.定義3 設(shè)某商品的需求函數(shù)為，則稱(chēng)為該商品從到兩點(diǎn)間的需求彈性.若存在，則稱(chēng)為該商品在處的需求彈性.在經(jīng)濟(jì)學(xué)上，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為單位彈性，即商品需求量的相對(duì)變化與價(jià)格的相對(duì)變化基本相等.當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為富有彈性，即商品需求量的相對(duì)變化大于價(jià)格的相對(duì)變化.當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為缺乏彈性，即商品需求量的相對(duì)變化小于價(jià)格的相對(duì)變化.利用同樣的方法，也可以求出供給彈性、收益彈性，但是，這樣我們只是求出了彈性函數(shù)，并且分析出當(dāng)自變量變動(dòng)時(shí)，因變量變化的強(qiáng)度，而在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，企業(yè)經(jīng)營(yíng)者關(guān)心的是商品漲價(jià)或降價(jià)對(duì)企業(yè)的總收入的影響程度.2.2.3 需求彈性與總收入的關(guān)系在經(jīng)濟(jì)學(xué)上總收入 邊際總收入 （1）若時(shí)，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，此時(shí)邊際總收入大于零，即總收入函數(shù)為遞增函數(shù)，也就是當(dāng)價(jià)格上漲，總收入增加，價(jià)格下跌時(shí)，總收入減少；（2）若時(shí)，需求變動(dòng)的幅度等于價(jià)格變動(dòng)的幅度，此時(shí)邊際總收入等于零，即總收入在此時(shí)取得最大值；（3）若時(shí)，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度，此時(shí)邊際總收入小于零，即總收入函數(shù)為遞減函數(shù)，也就是當(dāng)價(jià)格上漲，總收入減少，價(jià)格下跌，總收入增加.通過(guò)分析上述需求彈性與總收入的關(guān)系，可推導(dǎo)出漲價(jià)未必增收，降價(jià)未必減收，從而能夠在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中為企業(yè)或經(jīng)營(yíng)者提供有利的條件，為他們的決策提供了有利的分析方法和新思路.例2 設(shè)某商品的價(jià)格與需求量的函數(shù)關(guān)系為，當(dāng)商品價(jià)格處于哪種價(jià)格時(shí)，廠(chǎng)商可以用適當(dāng)降價(jià)或漲價(jià)的辦法提高總收入.解 由，解出設(shè)需求彈性為，邊際需求由需求彈性定義可知 再由需求彈性與總收入的關(guān)系可知（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，即當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)，總收入增加，價(jià)格下跌，總收入減少.（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)沒(méi)有影響.（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度，即當(dāng)價(jià)格上漲，總收入減少，價(jià)格下跌，總收入增加.由上述分析可知，若企業(yè)對(duì)該商品進(jìn)行價(jià)格調(diào)整時(shí)，參照以上分析法，當(dāng)時(shí)，通過(guò)提升價(jià)格來(lái)提高總收入，當(dāng)時(shí)，通過(guò)降低價(jià)格來(lái)提高總收入.那么該企業(yè)則會(huì)獲得較高的利潤(rùn)，不會(huì)因?yàn)槊つ康慕档蛢r(jià)格而使企業(yè)的總收入降低.2.3 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用在上述的分析中，我們只是對(duì)一元函數(shù)進(jìn)行了探討，但是在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，并不是由一種元決定商品的銷(xiāo)售策略，有時(shí)由多種元素來(lái)決定，這就要我們對(duì)其多元函數(shù)來(lái)進(jìn)行分析.2.3.1 邊際經(jīng)濟(jì)量設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于投資的資本和勞動(dòng)力，一般滿(mǎn)足生產(chǎn)函數(shù)由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，表示在勞動(dòng)力投入保持不變的情況下，資本投入變化時(shí)，產(chǎn)量的變化率稱(chēng)為資本的邊際產(chǎn)量.表示在資本投入保持不變的情況下，勞動(dòng)力投入變化時(shí)，產(chǎn)量的變化率稱(chēng)為勞動(dòng)力的邊際產(chǎn)量.2.3.2 偏彈性由一元函數(shù)的彈性概念可知，為在點(diǎn)的彈性，由此可以推知在多元函數(shù)中的彈性.設(shè)二元函數(shù)，則函數(shù)對(duì)的偏彈性，表示若保持不變，的相對(duì)變化率.對(duì)的偏彈性，表示若保持不變，的相對(duì)變化率.設(shè)有和兩種商品，并且它們的價(jià)格分別為和，它們各自的需求量為和，因此，它們的需求函數(shù)可表示為 需求的自身價(jià)格彈性，即 需求的交叉價(jià)格彈性，即 兩種商品的相互關(guān)系當(dāng)或時(shí)，則表示當(dāng)兩種商品中任意一個(gè)價(jià)格降低，都將使其一個(gè)需求量增加，另一個(gè)需求量減少，此時(shí)這兩種商品就是替代商品，當(dāng)或時(shí)，則表示當(dāng)兩種商品中任意一個(gè)價(jià)格降低，都將使其需求量和增加，則這兩種商品為互補(bǔ)商品，當(dāng)或時(shí)，則稱(chēng)這兩種商品相互獨(dú)立.例3 某一種數(shù)碼相機(jī)的的銷(xiāo)售量，除了與它自身的價(jià)格相關(guān)外，還與彩色噴墨打印機(jī)的價(jià)格有關(guān)，具體相關(guān)函數(shù)為求時(shí)（1）對(duì)的彈性；（2）對(duì)的交叉彈性.解 （1）對(duì)的彈性為 當(dāng)時(shí)，（2）對(duì)的交叉彈性為當(dāng)時(shí)，由上述例子反映了商品之間的相關(guān)性，當(dāng)交叉彈性大于零時(shí)，這時(shí)這兩種商品是替代商品，也就是這兩種商品之間存在著競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系；當(dāng)交叉彈性小于零時(shí)，這時(shí)這兩種商品是互補(bǔ)商品，也就是說(shuō)兩種商品之間存在著互補(bǔ)的關(guān)系，不存在著競(jìng)爭(zhēng)，這兩種商品必須同時(shí)使用才能滿(mǎn)足消費(fèi)者的某種需求，這樣的結(jié)果也為企業(yè)的經(jīng)營(yíng)者提供了有利的決策條件.2.3.3 偏導(dǎo)數(shù)求極值假設(shè)某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品有許多種，那么如何進(jìn)行生產(chǎn)，才能使公司獲得最大利潤(rùn)以及成本最低，這就需要用到偏導(dǎo)數(shù)求極值與最值.例4 某能源公司同時(shí)銷(xiāo)售煤氣和電力，設(shè)每月銷(xiāo)售煤氣為，電力的總成本函數(shù)為其中滿(mǎn)足，試求煤氣和電力的銷(xiāo)售量各為多少時(shí)，總成本最低？解 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解方程組 由可知 再由可知 依題意的最小值存在，所以當(dāng)煤氣和電力的銷(xiāo)售量分別為，時(shí)，可使總成本最低，且最低成本為2.4 積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用積分是微積分學(xué)的重要組成部分，同時(shí)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著重要的作用，而且內(nèi)容非常豐富，我們可以通過(guò)積分來(lái)解決有關(guān)的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題.2.4.1 邊際函數(shù)求原函數(shù)積分是微分的逆運(yùn)算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出原函數(shù).設(shè)某個(gè)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用函數(shù) 的邊際函數(shù)為，則有則2.4.2 消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余 在經(jīng)濟(jì)管理中，一般來(lái)說(shuō)，商品的價(jià)格越低，需求量越大；反之，商品的價(jià)格越高，需求量就越低，因此需求函數(shù)是有關(guān)價(jià)格的單調(diào)遞減函數(shù).同時(shí)商品的價(jià)格越低，生產(chǎn)者就不愿意生產(chǎn)，導(dǎo)致供給量也就減少；反之，商品的價(jià)格越高，生產(chǎn)者就愿意生產(chǎn)，導(dǎo)致供給量增加，因此供給函數(shù)是有關(guān)價(jià)格的單調(diào)遞增函數(shù).由于和兩者都是單調(diào)函數(shù)，故兩者都存在反函數(shù)，需求函數(shù)的反函數(shù)也是需求函數(shù)，供給函數(shù)的反函數(shù)也是供給函數(shù).需求函數(shù)和供給函數(shù)的交點(diǎn)稱(chēng)為平衡點(diǎn)，在此點(diǎn)表示生產(chǎn)者愿意賣(mài)、消費(fèi)者愿意買(mǎi)的價(jià)格.若消費(fèi)者因以平衡價(jià)格購(gòu)買(mǎi)了某種商品而沒(méi)有以比他們本來(lái)打算的價(jià)錢(qián)較高的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)這種商品而節(jié)省下來(lái)的錢(qián)的總數(shù)稱(chēng)之為消費(fèi)者剩余.若生產(chǎn)者因以平衡價(jià)格出售了某種商品而沒(méi)有他們本來(lái)打算比較低一些的售價(jià)售出這些商品而獲得的額外收入稱(chēng)之為生產(chǎn)者剩余.假設(shè)所有消費(fèi)者都是以他們打算支付的最終價(jià)格購(gòu)買(mǎi)某種商品，其中包括所有打算以比高的價(jià)格支 付商品的消費(fèi)者確實(shí)支付了他們所情愿支付的，那么，現(xiàn)考慮區(qū)間，如上圖，選取，消費(fèi)者的消費(fèi)量.消費(fèi)者消費(fèi)總量到之間需求曲線(xiàn)下的面積.現(xiàn)在，如果所有商品都以平衡價(jià)格出售，那么消費(fèi)者實(shí)際上的消費(fèi)額為，為兩條坐標(biāo)軸及直線(xiàn)圍成的矩形的面積.于是消費(fèi)者的剩余可以從下面的公式計(jì)算出來(lái).消費(fèi)者剩余需求曲線(xiàn)以下直線(xiàn)以上的面積.同理是生產(chǎn)者實(shí)際售出商品的收入總額， 是生產(chǎn)者愿意售出商品的收入總額，因此，生產(chǎn)者剩余如下：生產(chǎn)者剩余=供給函數(shù)與直線(xiàn)之間區(qū)域的面積.例5 已知某蔬菜市場(chǎng)的需求函數(shù)為，供給函數(shù)為，求消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余.解 先求出市場(chǎng)的均衡價(jià)格和均衡產(chǎn)量：由由消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余公式可知消費(fèi)者剩余生產(chǎn)者剩余2.4.3 收益流的現(xiàn)值與未來(lái)值復(fù)利計(jì)息方式的基本思想：利息收入自動(dòng)計(jì)入下一期的本金，就像常說(shuō)的“利滾利”.定義4 設(shè)初始本金為（元），銀行年利率為，第一年末的利息為，本利和為第二年末的利息為，本利和為 以此類(lèi)推，可知，第年末的本利和為這就是以年為期的復(fù)利計(jì)算公式.定義5 由于資金周轉(zhuǎn)過(guò)程是不斷連續(xù)進(jìn)行的，若一年中分期計(jì)算，年利率仍為，則一年后的本利和為則由此可知年后的本利和為 如果計(jì)息期數(shù)時(shí)，即每時(shí)每刻計(jì)算復(fù)利（稱(chēng)為連續(xù)復(fù)利），則年后的本利和為這就是連續(xù)復(fù)利公式.由連續(xù)復(fù)利的公式可知，若以連續(xù)復(fù)利率計(jì)息，一筆元人民幣從現(xiàn)在起存入銀行，則年后的價(jià)值（將來(lái)值）若有一筆收益流的收益流量為（元/年），考慮從現(xiàn)在開(kāi)始（）到年后這一段時(shí)間段.利用元素法，在區(qū)間內(nèi)，任取一小區(qū)間，在內(nèi)將近似看做常數(shù)，則所應(yīng)獲得的金額近似等于（元）.從現(xiàn)在（）算起，這一金額是在年后的將來(lái)而獲得，因此在，收益流的現(xiàn)值從而總現(xiàn)值在計(jì)算將來(lái)值時(shí)，收入在以后的年期間獲息，故在內(nèi)，收益流的將來(lái)值將來(lái)值例6 一位城鎮(zhèn)居民想要購(gòu)買(mǎi)一棟別墅，現(xiàn)在價(jià)值為300萬(wàn)元，假若以分期付款的方式，必須每年付款21萬(wàn)元，并且還必須在20年內(nèi)付清，并且銀行的存款年利率為4%，若按照連續(xù)復(fù)利的方式計(jì)息，請(qǐng)你幫這位購(gòu)房者提供一個(gè)決策：是采用一次付款合算還是分期付款合算？解 將20年分期付款總量的現(xiàn)值與別墅現(xiàn)價(jià)相比較，即可作出選擇. 由于每年分期付款為21萬(wàn)元，所以收益流的變化率，于是分期付款的現(xiàn)值為所以分期付款合算.2.5 實(shí)際問(wèn)題探索在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)分析中，我們經(jīng)常會(huì)解決一些 “產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等等問(wèn)題.除了這些以外，我們經(jīng)常把現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題抽象簡(jiǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決.2.5.1 經(jīng)濟(jì)批量問(wèn)題例7 某商場(chǎng)每年銷(xiāo)售某商品件，分為批采購(gòu)進(jìn)貨.已知每批采購(gòu)費(fèi)用為元，而未售商品的庫(kù)存費(fèi)用為元年件.設(shè)銷(xiāo)售商品是均勻的，問(wèn)分多少批進(jìn)貨時(shí)，才能使以上兩種費(fèi)用的總和為最??？（，為常數(shù)且，）.解 顯然，采購(gòu)進(jìn)貨的費(fèi)用為因?yàn)殇N(xiāo)售商品是均勻的，所以平均庫(kù)存的商品數(shù)應(yīng)為每批進(jìn)貨的商品數(shù)的一半，因而商品的庫(kù)存費(fèi)用總費(fèi)用 令得.又所以為的一個(gè)最小值.從而當(dāng)批數(shù)取一個(gè)接近于的自然數(shù)時(shí)，才能使采購(gòu)與庫(kù)存費(fèi)用之和最省.2.5.2 凈資產(chǎn)分析對(duì)于一個(gè)公司來(lái)說(shuō)，它的資產(chǎn)的運(yùn)營(yíng)，大致簡(jiǎn)單的可以分為兩個(gè)方面.一方面，它的資產(chǎn)可以像銀行的存款一樣獲得利息；另一方面，它的資產(chǎn)用于發(fā)放職工工資.顯然，當(dāng)工資總額超過(guò)利息的盈取時(shí)，公司的經(jīng)營(yíng)狀況將越來(lái)越糟，而當(dāng)利息的盈取超過(guò)付給職工的工資總額時(shí)，公司將維持良好的經(jīng)營(yíng)狀況.若假設(shè)利息是連續(xù)盈取，并且工資也是連續(xù)支付的.例8 假設(shè)某一公司的凈資產(chǎn)在營(yíng)運(yùn)過(guò)程中，像銀行的存款一樣.以年5%的連續(xù)復(fù)利產(chǎn)生利息而使總資產(chǎn)增加，同時(shí)，公司必須每年連續(xù)的支付200百萬(wàn)元人民幣為職工的工資.列出描述公司凈資產(chǎn)的微分方程假設(shè)公司的初始凈資產(chǎn)為，求公司的凈資產(chǎn).描述當(dāng)分別為3000,4000,5000時(shí)公司的情況.解 若存在一個(gè)初值，使公司的凈資產(chǎn)不變，則利息盈取的速率=工資支付的速率即因此，如果凈資產(chǎn)為4000，那么此時(shí)的凈資產(chǎn)不變，此時(shí)達(dá)到一個(gè)平衡，則4000是一個(gè)平衡解.但是若，則利息盈取超過(guò)工資支付，凈資產(chǎn)增加，此時(shí)利息也會(huì)增長(zhǎng)的快，從而凈資產(chǎn)也會(huì)增長(zhǎng)的快；若，則利息盈取低于工資支付，公司的凈資產(chǎn)將減少，利息的盈取也會(huì)減少，從而凈資產(chǎn)減少的速率越來(lái)越快，這樣一來(lái)，在不久的將來(lái)公司將面臨破產(chǎn)的危險(xiǎn).凈資產(chǎn)的增長(zhǎng)速率=利息盈取的速率-工資支付的速率建立微分方程有 即 兩邊同時(shí)積分，得出 依照題意知，令，得出平衡解.由當(dāng)時(shí)，代入中可得則若，則為平衡解，并且此時(shí)凈資產(chǎn)不變.若，則，此時(shí)凈資產(chǎn)是增加的.若，此時(shí)凈資產(chǎn)是減少的，并且當(dāng)時(shí)，這說(shuō)明，該公司在28年后將破產(chǎn).2.5.3 核廢料的處理若干年以前，美國(guó)原子能委員會(huì)決定將放射性核廢料在密封的圓桶里面扔到水深的的海底（圓桶的質(zhì)量,體積，海水的密度為）.當(dāng)時(shí)的一些科學(xué)家是持反對(duì)意見(jiàn)的.科學(xué)家們用實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論：圓桶下沉所受的阻力與圓桶的方位無(wú)關(guān)，而與圓桶的速度成正比，并且比例系數(shù)為；圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度如果超過(guò)，那么圓桶就會(huì)因碰撞而破裂，進(jìn)而引起核污染.但是美國(guó)原子能委員會(huì)卻不認(rèn)為存在上述可能性，那么圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度為多少呢？這是一個(gè)我們值得探究的問(wèn)題.如果設(shè)海平面為軸，軸的正向沿鉛直向下.設(shè)在時(shí)間圓桶的位置為，速度為，進(jìn)而得知.圓桶在下沉過(guò)程中所受的重力為圓桶所受海水的浮力為海水的阻力為圓桶在下沉過(guò)程中所受的合力為由于加速度為，根據(jù)牛頓第二定律可知，即又由于故分離變量得出兩邊同時(shí)積分可得由，可得此時(shí)可得方程為若假設(shè)此時(shí)速度為臨界速度，則此時(shí)的圓桶的位置由方程可得說(shuō)明此時(shí)還沒(méi)有到達(dá)海底.但是問(wèn)題是海水的阻力會(huì)不會(huì)使其減速呢？由于加速度如果海水的阻力使其減速，那么它的加速度就會(huì)小于零，假設(shè)，那么此時(shí)，即，此時(shí)，也就說(shuō)只能在時(shí)才能減速，那么當(dāng)時(shí)也就說(shuō)圓桶的速度大約每秒提升約，到海底還有約需要近，因此必定會(huì)在左右碰壁而破裂.3結(jié)束語(yǔ)本文前面部分先給出了有關(guān)微積分的發(fā)展歷史，然后介紹了微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用的邊際分析以及彈性分析，再討論了多元微分學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用，之后又給出了積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用，緊接著又利用研究的結(jié)果應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中的生活實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行了探索與研究.使微積分在現(xiàn)實(shí)生活中更有意義，不再是一門(mén)枯燥的學(xué)科，所得的結(jié)論也具有十分重要的理論意義和很高的應(yīng)用價(jià)值，并且為某些企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供了很好的有利決策.參考文獻(xiàn)1 蘇德礦，金蒙偉.微積分M.北京：高等教育出版社，2004.7.2 張琳，馬祥玉主編.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)M.上海：上海交通大學(xué)出版社，2015.3 黎詣遠(yuǎn)主編.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)M.北京：高等教育出版社，1998.7.4 林益，劉國(guó)鈞，徐建豪等.微積分M.武漢：武漢理工大學(xué)出版社，2006.5 吳傳生主編.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分M.北京：高等教育出版社，2003.6.6 賈曉峰.微積分與數(shù)學(xué)模型（上）M.北京：高等教育出版社，1999.8.7 張銀生，安建業(yè).實(shí)用微積分M.北京：中國(guó)人民大學(xué)