浙江省紹興縣楊汛橋鎮(zhèn)八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊期末復(fù)習(xí)五特殊平行四邊形試題新版浙教版.docx

期末復(fù)習(xí)五 特殊平行四邊形復(fù)習(xí)目標(biāo)要求知識(shí)與方法了解矩形、菱形、正方形的概念理解矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)運(yùn)用用矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)解決有關(guān)圖形的論證和計(jì)算等問題必備知識(shí)與防范點(diǎn)一、必備知識(shí)：1 矩形的性質(zhì)及判定：（1）矩形的 個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線 ；矩形既是 對(duì)稱圖形，又是 對(duì)稱圖形，它至少有 條對(duì)稱軸（2）有一個(gè)角是 的 是矩形；有 個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對(duì)角線相等的 是矩形2 菱形的性質(zhì)及判定：（1）菱形的 條邊都相等；菱形的對(duì)角線 ，并且每條對(duì)角線平分 （2）一組 相等的 是菱形；四條邊相等的四邊形是 ；對(duì)角線 的平行四邊形是菱形3 正方形的性質(zhì)及判定：（1）正方形的 個(gè)角都是直角，四條邊都 ；正方形的對(duì)角線 ，并且 ，每條對(duì)角線平分一組 （2）有一組 相等，并且有一個(gè)角是 的平行四邊形是正方形；有一組鄰邊相等的 是正方形；有一個(gè)角是直角的 是正方形二、防范點(diǎn)：1 矩形、菱形、正方形的判定書寫要規(guī)范；2 矩形、菱形、正方形的性質(zhì)可從邊、角、對(duì)角線、整體四個(gè)角度去考慮.例題精析考點(diǎn)一 矩形、菱形的性質(zhì)例1 （1）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，連結(jié)BF、DE交于點(diǎn)M，延長ED到H使DH=BM，連結(jié)AM，AH，則以下四個(gè)結(jié)論：BDFDCE；BMD=120；AMH是等邊三角形；S四邊形ABMD=AM2 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)（2）如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點(diǎn)B恰好落在AD邊的B處，若AE2，DE6，EFB60，則矩形ABCD的面積是 .反思：（1）由已知BMDH聯(lián)想BMADHA，而全等的關(guān)鍵是證ABMADHBED.（2）根據(jù)ADBC得出DEF=EFB=60，故EFB是等邊三角形，由此得出ABE=30，再由直角三角形的性質(zhì)得出AB=AB=2，即可得解.考點(diǎn)二 矩形、菱形的判定例2 已知：線段AB，BC，ABC=90 求作：矩形ABCD以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：甲：以點(diǎn)C為圓心，AB長為半徑畫?。灰渣c(diǎn)A為圓心，BC長為半徑畫??；兩弧在BC上方交于點(diǎn)D，連結(jié)AD，CD，四邊形ABCD即為所求（如圖1）乙：連結(jié)AC，作線段AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)M；連結(jié)BM并延長，在延長線上取一點(diǎn)D，使MD=MB，連結(jié)AD，CD，四邊形ABCD即為所求（如圖2）對(duì)于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（ ）A 甲正確，乙錯(cuò)誤 B 乙正確，甲錯(cuò)誤 C 甲、乙均正確 D 甲、乙均錯(cuò)誤例3 已知，一張矩形紙片ABCD的邊長分別為9cm和3cm，把頂點(diǎn)A和C疊合在一起，得折痕EF（如圖）：（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）求折痕EF的長.反思：熟練掌握矩形、菱形的性質(zhì)及判定，能夠利用矩形、菱形的性質(zhì)求解一些簡單的計(jì)算問題.考點(diǎn)三 矩形、菱形、正方形綜合例4 如圖，在矩形ABCD中，AD6，DC10，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH2，連結(jié)CF，BF.（1）若DG2，求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若AEx，求EBF的面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并判斷是否存在x，使EBF的面積是CGF面積的2倍. 若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；（3）求GCF面積的最小值.反思：（1）證第（1）小題圖形不準(zhǔn)，要抓住GDHHAE（HL），證明GHE90；（2）解第（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)造FNGHAE，F(xiàn)EMHGD；（3）求GCF面積的最小值要抓住GC邊上的高不變，GC最小只要DG最大，DH4，GHHE最大，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，GCF的面積取最小.考點(diǎn)四 特殊平行四邊形拓展探究例5 如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分DAM.【探究展示】（1）證明：AMADMC；（2）AMDEBM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；【拓展延伸】（3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）（2）中的結(jié)論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明.反思：（1）常規(guī)輔助線：“中點(diǎn)平行”構(gòu)造全等，角平分線構(gòu)造全等；（2）證“一條線段兩線段和”類型常用截長補(bǔ)短法；（3）第（1）小題也可過E作EHAM于H，再證HMCM得證.校內(nèi)練習(xí)1如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EPCD于點(diǎn)P，設(shè)Ax，則FPC的度數(shù)為（ ）A B C D2如圖所示，點(diǎn)B，C分別在兩條直線y=2x和y=kx上，點(diǎn)A，D是x軸上兩點(diǎn)，已知四邊形ABCD是正方形，則k的值為 .3（南充中考）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：BE=DG；BEDG；DE2+BG2=2a2+b2，其中正確結(jié)論是 .（填序號(hào)）4 已知：如圖，ABC中，ABAC，ADBC，且ADBC4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個(gè)三角形，在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形，你能拼出所有不同形狀的四邊形嗎？寫出所拼四邊形對(duì)角線的長（不要求寫計(jì)算過程，只需寫出結(jié)果）5 如圖1，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長線上，且PE=PB（1）求證：BCPDCP；（2）求證：DPE=ABC；（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖2），若ABC=58，則DPE= 度6 如圖，在正方形ABCD中，DE與HG相交于點(diǎn)O.（1）如圖1所示，若GOD90，求證：DEGH；連結(jié)EH，求證：GDEHDE；（2）如圖2所示，若GOD45，AB4，HG2，求DE的長.參考答案期末復(fù)習(xí)五 特殊平行四邊形【必備知識(shí)與防范點(diǎn)】1. （1）四 相等 中心 軸 兩 （2）直角 平行四邊形 三 平行四邊形2. （1）四 互相垂直平分 一組對(duì)角 （2）鄰邊 平行四邊形 菱形 互相垂直3. （1）四 相等 相等 互相垂直平分 對(duì)角 （2）鄰邊 直角 矩形 菱形【例題精析】例1 （1）在菱形ABCD中，AB=BD，AB=BD=AD，ABD是等邊三角形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BDF=C=60，BE=CF，BC-BE=CD-CF，即CE=DF，在BDF和DCE中，DF=CE，BDF=C=60，BD=CD，BDFDCE（SAS），故小題正確；DBF=EDC，DMF=DBF+BDE=EDC+BDE=BDC=60，BMD=180-DMF=180-60=120，故小題正確；DEB=EDC+C=EDC+60，ABM=ABD+DBF=DBF+60，DEB=ABM，又ADBC，ADH=DEB，ADH=ABM，在ABM和ADH中，AB=AD，ABM=ADH，BM=DH，ABMADH（SAS），AH=AM，BAM=DAH，MAH=MAD+DAH=MAD+BAM=BAD=60，AMH是等邊三角形，故小題正確；ABMADH，AMH的面積等于四邊形ABMD的面積，又AMH的面積=AMAM=AM2，S四邊形ABMD=AM2，故小題正確，綜上所述，正確的是共4個(gè). 故選D. （2）16例2 C例3 （1）四邊形ABCD為矩形，ABCD，AFE=CEF. 矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)A和C重合，CEF=AEF，AE=CE，AFE=AEF，AE=AF. AF=CE，又AFCE，四邊形AECF為平行四邊形，AE=EC，即四邊形AECF的四邊相等. 四邊形AECF為菱形. （2）AB=9cm，BC=3cm，AC=3cm，AF=CF，在RtBCF中，設(shè)BF=xcm，則CF=（9-x）cm，由勾股定理可得（9-x）2=x2+32，即18x=72，解得x=4，則CF=5，BF=4，由面積可得：ACEF=AFBC，即3EF=53，EF=cm.例4 （1）在HDG和AEH中，四邊形ABCD是矩形，D=A=90，四邊形EFGH是菱形，HG=HE，在RtHDG和RtEAH中，HG=HE，DG=AH，RtHDGRtEAH，DHG=AEH，DHG+AHE=90，GHE=90，菱形EFGH為正方形； （2）過F作FMAB，垂足為M，交DC延長線于點(diǎn)N，連結(jié)GE，F(xiàn)NCD，CDAB，DGE=MEG，GHEF，HGE=FEG，DGH=MEF，在RtHDG和RtFME中，D=M=90，DGH=FEM，HG=FE，RtHDGRtFME，DH=MF，AH=2，DH=MF=4，AE=x，BE=10-x. SEBF=BEFM=2（10-x）=20-2x.同理可證RtAHERtNFG，F(xiàn)N=AH=2，AH=2，AE=x，HE=HG=，DG=，CG=10-，SGCF=CGFN=10-，若EBF的面積是CGF面積的2倍，則20-2x=2（10-），整理得：x2=x2-12，此方程無解，所以不存在x，使EBF的面積是CGF面積的2倍. （3）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，GCF的面積取最小，最小值為10-2.例5（1）證明：延長AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1所示，四邊形ABCD是正方形，ADBC. DAE=ENC. AE平分DAM，DAE=MAE. ENC=MAE. MA=MN. 在ADE和NCE中，DAE=CNE，AED=NEC，DE=CE，ADENCE（AAS）. AD=NC. MA=MN=NC+MC=AD+MC. （2）AM=DE+BM成立.證明：過點(diǎn)A作AFAE，交CB的延長線于點(diǎn)F，如圖2所示. 四邊形ABCD是正方形，BAD=D=ABC=90，AB=AD，ABDC. AFAE，F(xiàn)AE=90. FAB=90-BAE=DAE. 在ABF和ADE中，F(xiàn)AB=EAD，AB=AD，ABF=D，ABFADE（ASA）. BF=DE，F(xiàn)=AED. ABDC，AED=BAE. FAB=EAD=EAM，AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAM. F=FAM. AM=FM. AM=FB+BM=DE+BM. （3）探究展示（1）AMADMC仍成立；（2）AMDEBM不成立.【校內(nèi)練習(xí)】1. D2. 3. 4. 圖1是矩形，兩條對(duì)角線長相等，均為2；圖2是平行四邊形，兩條對(duì)角線長為4和4；圖3是平行四邊形，兩條對(duì)角線長為2和2；圖4是一般的四邊形，兩條對(duì)角線長為2和.5. （1）在正方形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP=45，在BCP和DCP中，BC=DC，BCP=DCP，PC=PC，BCPDCP（SAS）； （2）證明：由（1）知，BCPDCP，CBP=CDP，PE=PB，CBP=E，1=2（對(duì)頂角相等），180-1-CDP=180-2-E，即DPE=DCE，ABCD，DCE=ABC，DPE=ABC； （3）與（2）同理可得：DPE=ABC，ABC=58，DPE=586. （1）作平行四邊形DGHM，則GH=DM，GD=MH，GHDM，GOD=MDE=90，MDC+EDC=90，ADE+EDC=90，MDC=ADE，在ADE和CDM中，ADE=MDC，A=DCM=90，AD=DC，ADECDM，DE=DM，DE=GH； DM=DE，EDM=90，EDM是等腰直角三角形，EM=DM=DE，MH+EHEM，GD=MH，EH+GDEM，GD+EHDE；（2）過點(diǎn)D作DNGH交BC于點(diǎn)N，則四邊形GHND是平行四邊形，DN=HG，GD=HN，C=90，CD=AB=4，HG=DN=