海文考研數(shù)學一?？荚嚲?doc

海文考研數(shù)學一?？荚嚲韰⒖冀獯鹨?、填空題（1）【答案】【分析】由通解的形式可知該方程的特征方程的兩個特征根，從而得知特征方程為=因此，所求微分方程為 （2）【答案】c【分析1】方程兩邊分別對求偏導數(shù)得第一式乘加上第二式乘b得=因此，【分析2】兩邊求全微分得=（3）【答案】【分析】用先后的積分順序，為,=(4)【答案】,其中【分析】=令 則的全體原函數(shù)是 【評注】在，連續(xù)，它一定存在原函數(shù)，因為在無定義，所以我們用不定積分法只是分別求得與上的原函數(shù)，我們只要在處將它們連續(xù)地拼接起來就得到在o,上的原函數(shù)。（5）【答案】-5【分析】A是正交矩陣由于=而 =(1 0 -3)因此，【評注】本題考查矩陣的運算，正交矩陣的概念等，注意區(qū)別與，前者是一個數(shù)，后者是3階矩陣（6）【答案】. 【分析】由題設知X的密度函數(shù)，Y的條件密度函數(shù)=，所以（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)，=由此可知（X，Y）服從二維正態(tài)分布二、選擇題（7）【答案】D【分析】(A),(C)均是2階的。（B）是3階的用泰勒公式 未確定（D）的階。由（D）是4階的。因此應選（D）（8）【答案】B【分析】當或時在（0，1），（3，4）單調(diào)下降，當時在（1，3）單調(diào)上升。又在（0，2）單調(diào)上升在（0，2）是凹的，在（2，4）單調(diào)下降在（2，4）是凸的。因此，應選（B）（9）【答案】B【分析】要逐一分析它們是否正確命題是錯的。函數(shù)圖形如圖所示則是的拐點且是的極小值點。命題是錯的，在極小值點處可以有如是的極小值點。命題是錯的，若加條件：是（）連續(xù)，則該命題正確；若不連續(xù)，則命題不正確，如圖所示，在（）有唯一駐點，是的極小值點，但不是在的最小值。命題是正確的，若是在的最大值且存在，則于是當不可能是在的最大值。因此，選（B）（10）【答案】D【分析】這四個級數(shù)中有兩個是條件收斂的，而另外兩個不是條件收斂的?！痉治?】級數(shù)的一般項取絕對值后是是絕對收斂級數(shù)的一般項收斂，發(fā)散級數(shù)發(fā)散因此，只能有與條件收斂應選（D）【分析2】級數(shù)是條件收斂的單調(diào)下降趨于零發(fā)散發(fā)散級數(shù)條件收斂級數(shù)的一般項單調(diào)下降趨于零交錯級數(shù)收斂，但發(fā)散，級數(shù) 是條件收斂，因此，選（D）【評注】發(fā)散熟悉結(jié)論 才可知級數(shù)條件收斂（11）【答案】D【分析】由是的基礎解系，知的基礎解系由的3個線性無關的解向量所構(gòu)成。由，即必是的解，現(xiàn)在（A）中只有2個解向量，向量個數(shù)不符合要求應舍去。（B）、（C）、（D）均是3個解向量，那一組是線性無關的呢？在（B）中，若令由于三個向量可以由兩個向量線性表出，所以必線性相關，應舍去。對于（C），由行列式而知線性相關，舍去，故應選（D）?！驹u注】本題考查基礎解系的概念及線性無關的判定方法（12）【答案】B【分析】由BC，A（B-C）=0，知齊次方程組有非零解，而有非零解的充分必要條件是。因為當時，但當時，亦可為1，所以是充分而非必要條件。【評注】本題考查若AB=0，則B的列向量是齊次方程組的解，以及有非零解的充分必要條件。（13）【答案】A【分析】直接通過計算協(xié)方差來判斷已知X和Y獨立，故cov(X,Y)=0,cov(X,X+Y)=cov(X,X)+cov(X,Y)=DX0.所以X與X+Y一定相關，選擇（A）。又由于:故選項（C）、（D）有時成立，有時不成立。（14）【答案】D【分析】這是一道概念性、理論性選擇題，應用已知結(jié)論即可確定正確選項。事實上，由題設知， 相互獨立，且由此可知選擇（D）三、解答題（15）【分析與求解】（）= ()因為常數(shù)=（半徑為1的圓的面積）=16【分析與求解】由復合函數(shù)求導法，建立對的偏導數(shù)與對的導數(shù)的關系，把方程（*）轉(zhuǎn)化為的常微分方程，然后求出。是與的復合函數(shù)將它們相加得于是方程（*）變成 令，降價得 這是可分離變量的方程，分離變量并積分得解出為常數(shù)對 再積分得 （） ()或?qū)懗蔀槌?shù)及 （17）【分析與求解】（）先求冪級數(shù)的收斂半徑，=收斂半徑。再對冪級數(shù)逐項求導求得現(xiàn)按所要證明的等式的提示，將此級數(shù)分解成= （）從等式右端得左端即求和函數(shù)y(x),已知，由題（），求y(x)即求微分方程的初值問題這是一階線性方程，標準化后是兩邊乘得積分得即 （），則由 由 （18）【分析與證明】即證明函數(shù)在存在零點在（）存在零點為了對用羅爾定理，在內(nèi)要找兩點使得。由已知條件知， 存在 使得，在上可導，由羅爾定理，即結(jié)論成立。（19）【分析與求解1】用斯托克斯公式把平面被柱面所截部分記為，其邊界L，按右手法則，取上側(cè)。由斯托克斯公式 =投影到平面上求曲面積分，（），于是代公式得【分析與求解2】投影到平面上。記L到平面上的投影為，也取逆時針方向，圍成的區(qū)域為用 代入得 = =【分析與求解3】寫出L的參數(shù)方程后套公式直接計算L為于是L的參數(shù)方程為 ,于是直接計算=其中 （20）【解】（1）對于實對稱矩陣A，若是矩陣A的重特征值，則矩陣A屬于特征值的特征向量有且只有個是線性無關的，因此必線性相關，那么故（2）由秩r（A）=2，知，又，所以A的另一個特征值是。由題設為A的屬于特征值6的線性無關的特征向量，設A屬于特征值O的特征向量為,于是 即解得此方程組的基礎解系為，那么矩陣A屬于特征值的全部特征向量為 （）（3）設,對（）作初等行變換，有解出 故因為 所以 =【評注】本題考查實對稱矩陣特征值、特性向量的性質(zhì)，如果是矩陣A的重特征值，那么至多個線無關的特征向量，而作為實對稱矩陣，則重特征值必有個線性無關的特征向量，從而保證本題中一定線性相關，可求出；要掌握實對稱矩陣特征值不同特征向量相互正交這一性質(zhì)。本題亦可由，先后求出矩陣A，然后利用AA=而求出。其中再來計算。（21）【證明】（1）因為線性無關，于是有從而 即（2）設 （*）因為與正交，即 用分別左乘（*）得 （* *）由（1），知方程組（* *）的系數(shù)行列式不為O，從而據(jù)克萊姆法則，得=0，同理知，所以線性無關。（22）【分析與解答】（1）依題意都是離散型隨機變量，。并且 = 由于，故 ， ，根據(jù)邊緣分布與聯(lián)合分布的關系，即可求得X與Z的聯(lián)合分布X0123-11/83/8001/21003/81/81/21/83/83/81/8（2）由于又 所以，的相關系數(shù)【評注】如果將樣本空間（一共有個樣點）以及與的取值情況寫出，便可直接求得與的聯(lián)合分布。樣本點正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反X取值3 2 2 2 1 1 1 0Z取值1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 由此即可求得與的聯(lián)合分布。， ， ， 。（23）【分析與解答】（1）依題意的密度函數(shù)