高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)運算能力的方法探討

1 高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)運算能力的方法探討 一 算法方面的基本要求 1 能透徹理解數(shù)學(xué)概念 并能運用有關(guān)概念進行運算 培養(yǎng)運算能力的首要前提 是讓學(xué)生準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念 在理解的基礎(chǔ)上記憶 運用公式 法則 并在運用過程中加深理解 根據(jù)美國心理學(xué)家奧蘇貝爾的意義學(xué)習(xí)理論 所謂理解 就是 符號所表示的新知識與學(xué)習(xí)者認知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)?shù)闹R建立非人為的和實質(zhì)性的聯(lián)系 具體地說 理解就是在感知的基礎(chǔ)上 通過思維加工 把新學(xué)習(xí)的內(nèi)容同化于已有的認知結(jié)構(gòu) 或者改變原有的認知結(jié)構(gòu) 把新知識納入其中 以獲得對事物本質(zhì)和聯(lián)系的認識 例 已知 A 1 2 3 k B 4 7 a4 a2 3a a N k N x A y B f x y 3x 1 是從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù) 求 a k A B 解析 由對應(yīng)關(guān)系 1 4 2 7 3 10 k 3k 1 a N a4 10 可知 a2 3a 10 得 a 2 或 a 5 舍去 a4 16 又 3k 1 16 k 5 故 A 1 2 3 5 B 4 7 10 16 本題中考查的概念就是集合和函數(shù) 集合中的元素具有確定性 互異性和無序性 而函數(shù) 要求的像的唯一性 決定了 3k 1 16 是本題的關(guān)鍵 加深了對函數(shù)概念的理解 從而能 夠準(zhǔn)確建立方程 提高了運算的有效性 形成了運算能力 2 能深刻理解數(shù)學(xué)公式 運算法則的語法結(jié)構(gòu) 運用公式解決問題 已知 a b c 為不等的正數(shù) 且 abc 1 求證 ba c cba 111 解析 a b c 是不等的正數(shù) 且 abc 1 a bc 1 ba c 2 11 2 11 2 11 111 cacacb abacbc cba 111 本題要求準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)公式 深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)公式 2 a b 是不等的正實數(shù) 及其變形baab a b 是不等的正實數(shù) 2 ba ab 其次要求正確利用題給條件 abc 1 及其變形形式 二 運算技能方面的要求 1 在進行各種運算時 過程要合理 方法要簡捷 結(jié)果要正確 例 求函數(shù) y x R 的最值 x x cos2 cos2 解析 y 2y ycosx 2 cosx x x cos2 cos2 2 cosx 又 1 1 22 y y xcos 1 1 22 y y 122 yy 2y 2 2 y 1 2 3y2 10y 3 0 解得 3 3 1 y ymin ymax 3 3 1 本題對函數(shù)解析式的變形要熟練 函數(shù)的有界性準(zhǔn)確把握 變形過程合理 簡捷 2 能根據(jù)問題的需要靈活自如地變換運算的方法 已知實數(shù) x y 滿足方程 x2 y2 4x 1 0 求的最大值和最小值 x y 求 y x 的最小值 求 x2 y2的最大值和最小值 解析 方程 x2 y2 4x 1 0 表示以點 2 0 為圓心 以為半徑的圓 3 設(shè) k 即 y kx 由圓心 2 0 到直線 y kx y x y 的距離為半徑時直線與圓相切 P 斜率取得最大值 最小值 O c x 由點到直線的距離公式得 解得 k2 33 1 02 2 k k 所以 kmax kmin 33 設(shè) y x b 則 y x b 僅當(dāng)直線 y x b 與圓切于第四象限時 縱軸截距 b 取得最 小值 由點到直線的距離公式 得 即 3 2 02 b 62 b 故 y x min 2 6 x2 y2 是圓上點與原點距離的平方 故連接oc 與圓交于 B 點 本延長交圓于 D 則 x2 y2 max 347 2 OD 3 x2 y2 min 347 2 OB 本題設(shè)變量代入 靈活變形 充分運用數(shù)形結(jié)合的思想方法 解決了問題 3 能簡化運算過程 縮短運算環(huán)節(jié) 較快地進入 跳步 運算階段 例 設(shè)函數(shù) f x lg 2 1 x 1 1 x x 試判斷函數(shù) f x 的單調(diào)性 并給出證明 若函數(shù) f x 的反函數(shù)為 f 1 x 證明方程 f 1 x 0 有唯一解 解析 設(shè) u 1 由 lg可知 x x 1 1 x 1 2 x x 1 1 得 0 解之得 1 x 1 x x 1 1 設(shè) 1 x1 x2 1 U1 u2 1 1 1 1 2 x 21 2 x 2 1 1 2 x 21 2 x 1 1 21 12 xx xx 1 x1 x2 1 0 1 1 21 12 xx xx U1 u2 故 u 在 1 1 上減函數(shù) x x 1 1 而 lg的單調(diào)性與 單調(diào)性相同 故 lg在 1 1 上減函數(shù) x x 1 1 x x 1 1 x x 1 1 顯然 v 是減函數(shù) f x 在 1 1 是減函數(shù) 2 1 x 根據(jù)原函數(shù) f x 與反函數(shù) f 1 x 的關(guān)系可知 f 1 x