高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7.5直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課件 .ppt

第五節(jié)直線 平面垂直的判定及其性質(zhì) 知識梳理 1 直線與平面垂直 1 定義 直線l與平面 內(nèi)的 一條直線都垂直 就說直線l與平面 互相垂直 任意 2 判定定理與性質(zhì)定理 兩條相交直線 平行 2 直線和平面所成的角 1 定義 平面的一條斜線和 所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角 2 范圍 它在平面上的射影 3 平面與平面垂直 1 二面角的有關(guān)概念 二面角 從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角 二面角的平面角 在二面角的棱上任取一點(diǎn) 以該點(diǎn)為垂足 在兩個半平面內(nèi)分別作 的兩條射線 這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角 二面角的范圍 兩個半平面 垂直于棱 2 平面和平面垂直的定義 兩個平面相交 如果所成的二面角是 就說這兩個平面互相垂直 3 平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理 直二面角 垂線 交線 考點(diǎn)自測 1 思考 給出下列命題 直線l不可能和兩個相交平面都垂直 當(dāng) 時 直線l過 內(nèi)一點(diǎn)且與交線垂直 則l 異面直線所成的角與二面角的取值范圍均為 二面角是指兩個相交平面構(gòu)成的圖形 若兩個平面垂直 則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面 其中正確的是 a b c d 解析 選d 正確 否則兩個平面應(yīng)平行 錯誤 當(dāng)該點(diǎn)是交線上的點(diǎn)時 l與 不一定垂直 錯誤 異面直線所成角的范圍是而二面角的范圍是 0 錯誤 二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形 錯誤 若平面 平面 則平面 內(nèi)的直線l與 可平行 可相交 也可在平面 內(nèi) 2 下列條件中 能判定直線l 平面 的是 a l與平面 內(nèi)的兩條直線垂直b l與平面 內(nèi)無數(shù)條直線垂直c l與平面 內(nèi)的某一條直線垂直d l與平面 內(nèi)任意一條直線垂直 解析 選d 由直線與平面垂直的定義 可知d正確 3 已知如圖 六棱錐p abcdef的底面是正六邊形 pa 平面abc 則下列結(jié)論不正確的是 a cd 平面pafb df 平面pafc cf 平面pabd cf 平面pad 解析 選d a中 因為cd af af 平面paf cd 平面paf 所以cd 平面paf成立 b中 因為abcdef為正六邊形 所以df af 又因為pa 平面abcdef 所以pa df 又因為pa af a 所以df 平面paf成立 c中 因為cf ab ab 平面pab cf 平面pab 所以cf 平面pab 而d中cf與ad不垂直 故選d 4 直線a 平面 b 則a與b的位置關(guān)系是 解析 由b 可得b平行于 內(nèi)的一條直線 設(shè)為b 因為a 所以a b 從而a b 但a與b可能相交 也可能異面 答案 垂直 相交垂直或異面垂直 5 將正方形abcd沿ac折成直二面角后 dab 解析 如圖 取ac的中點(diǎn)o 連接do bo bd 則do ac bo ac 故 dob為二面角的平面角 從而 dob 90 設(shè)正方形邊長為1 則do bo 所以db 1 故 adb為等邊三角形 所以 dab 60 答案 60 考點(diǎn)1有關(guān)垂直關(guān)系的判斷 典例1 1 2013 新課標(biāo)全國卷 已知m n為異面直線 m 平面 n 平面 直線l滿足l m l n l l 則 a 且l b 且l c 與 相交 且交線垂直于ld 與 相交 且交線平行于l 2 2013 廣東高考 設(shè)m n是兩條不同的直線 是兩個不同的平面 下列命題中正確的是 a 若 m n 則m nb 若 m n 則m nc 若m n m n 則 d 若m m n n 則 解題視點(diǎn) 1 作出與直線m n平行的直線 證明平面 相交 然后可證交線與直線l平行 2 利用面面平行與垂直的判定與性質(zhì)進(jìn)行判斷 規(guī)范解答 1 選d 因為m n為異面直線 m 平面 n 平面 所以 相交 否則m n為平行直線 設(shè) l 則l m l n 過空間一點(diǎn)p作m m n n 則m n 可確定平面 由題意知 l l 所以l l 2 選d 對于選項a 分別在兩個垂直平面內(nèi)的兩條直線平行 相交 異面都可能 但未必垂直 對于選項b 分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線平行 異面都可能 對于選項c 兩個平面分別經(jīng)過兩垂直直線中的一條 不能保證兩個平面垂直 對于選項d m m n 則n 又因為n 則 內(nèi)存在與n平行的直線l 因為n 則l 由于l l 所以 規(guī)律方法 空間垂直關(guān)系的判斷方法 1 借助幾何圖形來說明線面關(guān)系要做到作圖快 準(zhǔn) 甚至無需作圖在頭腦中形成印象來判斷 2 尋找反例 只要存在反例 那么結(jié)論就不正確 3 反復(fù)驗證所有可能的情況 必要時要運(yùn)用判定或性質(zhì)定理進(jìn)行簡單說明 變式訓(xùn)練 2014 衡水模擬 設(shè)l是直線 是兩個不同的平面 a 若l l 則 b 若l l 則 c 若 l 則l d 若 l 則l 解析 選b 對于a 若l l 則 可能相交 對于b 若l 則平面 內(nèi)必存在一直線m與l平行 則m 又m 故 選項c l可能平行于 或l在平面 內(nèi) 選項d l還可能平行于 或在平面 內(nèi) 加固訓(xùn)練 1 如果直線l m與平面 滿足 l l m 且m 那么必有 a 且l mb 且 c 且m d m 且l m 解析 選a m 且m 則 m 且l 則l m 2 2013 杭州模擬 設(shè)a b c是三條不同的直線 是兩個不同的平面 則a b的一個充分條件是 a a c b cb a b c a b d a b 解析 選c 對于選項c 在平面 內(nèi)存在c b 因為a 所以a c 故a b a b選項中 直線a b可能是平行直線 相交直線 也可能是異面直線 d選項中一定推出a b 考點(diǎn)2線面垂直的判定和性質(zhì) 考情 線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用是高考立體幾何的命題熱點(diǎn) 試題以解答題形式出現(xiàn) 主要考查利用判定定理及性質(zhì)定理證明線線垂直 線面垂直等問題 常與線面平行 線線平行問題 體積問題交匯出現(xiàn) 試題難度不大 易得分 高頻考點(diǎn)通關(guān) 典例2 1 已知abcd為矩形 pa 平面abcd 下列判斷中正確的是 a ab pcb ac 平面pbdc bc 平面pabd 平面pbc 平面pdc 2 2013 重慶高考 如圖 四棱錐p abcd中 pa 底面abcd pa 2 bc cd 2 acb acd 求證 bd 平面pac 若側(cè)棱pc上的點(diǎn)f滿足pf 7fc 求三棱錐p bdf的體積 解題視點(diǎn) 1 畫出圖形 結(jié)合圖形判斷選項的正誤 2 由bc cd及 acb acd證明bd ac 再由pa 底面abcd 得pa bd 直接利用線面垂直的判定定理證明 利用vp bcd s bcd pa vf bcd s bcd pa vp bdf vp bcd vf bcd 可求解三棱錐的體積 規(guī)范解答 1 選c 由題意畫出幾何體的圖形 如圖 顯然ab pc不正確 ac不垂直po 所以ac 平面pbd不正確 bc ab pa 平面abcd pa bc pa ab a 所以bc 平面pab 正確 2 因bc cd 即 bcd為等腰三角形 又 acb acd 故bd ac 因為pa 底面abcd 所以pa bd 從而bd與平面pac內(nèi)兩條相交直線pa ac都垂直 所以bd 平面pac 三棱錐p bcd的底面bcd的面積由pa 底面abcd 得由pf 7fc 得三棱錐f bcd的高為故所以 通關(guān)錦囊 特別提醒 在證明線面垂直時 一定要嚴(yán)格按照定理要求 不要忽視 平面中的兩條相交直線 這個條件 關(guān)注題型 通關(guān)題組 1 2014 臺州模擬 如圖 在矩形abcd中 ab 2bc 點(diǎn)m在邊cd上 點(diǎn)f在邊ab上 且df am 垂足為e 若將 adm沿am折起 使點(diǎn)d位于d 位置 連接d b d c得四棱錐d abcm 1 求證 am d f 2 若 d ef 直線d f與平面abcm所成角的大小為 求直線ad 與平面abcm所成角的正弦值 解析 1 因為am d e am ef 又因為d e ef是平面d ef內(nèi)兩條相交直線 所以am 平面d ef 所以am d f 2 由 1 知am 平面d ef 所以平面d ef 平面abcm 且 d ef 所以過d 作平面abcm的垂線 垂足h必在ef上 所以 d fe是d f與平面abcm所成角 因為 d ef 且 d fe 所以 d ef是等邊三角形 因為d e ef即de ef 所以 daf是等腰直角三角形 設(shè)ad 2 所以af 2 且ef 所以四棱錐d abcm的高d h 設(shè)直線ad 與平面abcm所成角為 則sin 所以直線ad 與平面abcm所成角的正弦值為 2 2013 廣東高考 如圖 在邊長為1的等邊 abc中 d e分別是ab ac邊上的點(diǎn) ad ae f是bc的中點(diǎn) af與de交于點(diǎn)g 將 abf沿af折起 得到如圖所示的三棱錐a bcf 其中 1 證明 de 平面bcf 2 證明 cf 平面abf 3 當(dāng)時 求三棱錐f deg的體積vf deg 解析 1 在等邊 abc中 ad ae 所以在折疊后的三棱錐a bcf中也成立 所以de bc 因為de 平面bcf bc 平面bcf 所以de 平面bcf 2 在等邊 abc中 f是bc的中點(diǎn) 所以af fc 因為在三棱錐a bcf中 所以bc2 bf2 cf2 cf bf 因為bf af f 所以cf 平面abf 3 由 1 可知ge cf 結(jié)合 2 可得ge 平面dfg 加固訓(xùn)練 1 2014 韶關(guān)模擬 已知 abc的三邊長分別為ab 5 bc 4 ac 3 m是ab邊上的點(diǎn) p是平面abc外一點(diǎn) 給出下列四個命題 若pa 平面abc 則三棱錐p abc的四個面都是直角三角形 若pm 平面abc 且m是ab邊的中點(diǎn) 則有pa pb pc 若pc 5 pc 平面abc 則 pcm面積的最小值為 若pc 5 p在平面abc上的射影是 abc內(nèi)切圓的圓心 則點(diǎn)p到平面abc的距離為 其中正確命題的序號是 把你認(rèn)為正確命題的序號都填上 解析 由題知ac bc 對于 若pa 平面abc 則pa bc 又知pa ac a 所以bc 平面pac 所以bc pc 因此該三棱錐p abc的四個面均為直角三角形 正確 對于 由已知得m為 abc的外心 所以ma mb mc 因為pm 平面abc 則pm ma pm mb pm mc 由三角形全等可知pa pb pc 故 正確 對于 要使 pcm的面積最小 只需cm最短 在rt abc中 cm min 所以 s pcm min 5 6 故 錯誤 對于 設(shè)p點(diǎn)在平面abc內(nèi)的射影為o 且o為 abc的內(nèi)心 由平面幾何知識得內(nèi)切圓半徑為r 1 且oc 在rt poc中 po 所以點(diǎn)p到平面abc的距離為 故 正確 答案 2 2014 鄭州模擬 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab aa1 cab 1 證明 cb1 ba1 2 已知ab 2 求三棱錐c1 aba1的體積 解析 1 如圖所示 連接ab1 因為三棱柱abc a1b1c1是直三棱柱 cab 所以ac 平面abb1a1 故ac ba1 又因為ab aa1 所以四邊形abb1a1是正方形 所以ba1 ab1 又ca ab1 a 所以ba1 平面cab1 故cb1 ba1 2 因為ab aa1 2 bc 所以ac a1c1 1 由 1 知 a1c1 平面aba1 所以 3 如圖 1 在rt abc中 c 90 d e分別為ac ab的中點(diǎn) 點(diǎn)f為線段cd上的一點(diǎn) 將 ade沿de折起到 a1de的位置 使a1f cd 如圖 2 1 求證 de 平面a1cb 2 求證 a1f be 3 線段a1b上是否存在點(diǎn)q 使a1c 平面deq 說明理由 解析 1 因為d e分別為ac ab的中點(diǎn) 所以de bc 又因為de 平面a1cb bc 平面a1cb 所以de 平面a1cb 2 由已知得ac bc且de bc 所以de ac 所以de a1d de cd a1d cd d 所以de 平面a1dc 而a1f 平面a1dc 所以de a1f 又因為a1f cd 且de cd d 所以a1f 平面bcde 所以a1f be 3 線段a1b上存在點(diǎn)q 使a1c 平面deq 理由如下 如圖 分別取a1c a1b的中點(diǎn)p q 則pq bc 又因為de bc 所以de pq 所以平面deq即為平面dep 由 2 知 de 平面a1dc 所以de a1c 又因為p是等腰三角形da1c底邊a1c的中點(diǎn) 所以a1c dp 又de dp d 所以a1c 平面dep 從而a1c 平面deq 故線段a1b上存在點(diǎn)q 使得a1c 平面deq 考點(diǎn)3面面垂直的判定和性質(zhì) 典例3 2013 山東高考 如圖 四棱錐p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分別為pb ab bc pd pc的中點(diǎn) 1 求證 ce 平面pad 2 求證 平面efg 平面emn 解題視點(diǎn) 1 本題考查線面平行的證法 可利用線線平行 也可利用面面平行來證明線面平行 2 本題考查了面面垂直的判定 在平面emn中找一條直線mn 確定mn 平面efg即可 規(guī)范解答 1 方法一 取pa的中點(diǎn)h 連接eh dh 因為e為pb的中點(diǎn) 所以eh ab eh ab 又ab cd cd ab 所以eh cd eh cd 因此四邊形dceh是平行四邊形 所以ce dh 又dh 平面pad ce 平面pad 因此ce 平面pad 方法二 連接cf 因為f為ab的中點(diǎn) 所以af ab 又cd ab 所以af cd 又af cd 所以四邊形afcd為平行四邊形 因此cf ad 又cf 平面pad ad 平面pad 所以cf 平面pad 因為e f分別為pb ab的中點(diǎn) 所以ef pa 又ef 平面pad ap 平面pad 所以ef 平面pad 因為cf ef f 故平面cef 平面pad 又ce 平面cef 所以ce 平面pad 2 因為e f分別為pb ab的中點(diǎn) 所以ef pa 又ab pa 所以ab ef 同理可證ab fg 又ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 因此ab 平面efg 又m n分別為pd pc的中點(diǎn) 所以mn cd 又ab cd 所以mn ab 因此mn 平面efg 又mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 易錯警示 關(guān)注面面垂直的條件本例中 2 證明平面efg 平面emn 要關(guān)注平面與平面垂直判定定理的兩個條件 即mn 平面efg 又mn 平面emn 避免步驟不全導(dǎo)致失誤 互動探究 若本例條件不變 證明 平面emn 平面pac 證明 因為e f為pb ab的中點(diǎn) 則ef pa 又因為g為bc的中點(diǎn) 則gf ac 而gf ef f pa ca a 所以平面efg 平面pac 因為平面efg 平面emn 所以平面emn 平面pac 規(guī)律方法 面面垂直的證明方法 1 定義法 利用面面垂直的定義 即判定兩平面所成的二面角為直二面角 將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題 2 定理法 利用面面垂直的判定定理 即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線 把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決 提醒 兩平面垂直 在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面 這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù) 運(yùn)用時要注意 平面內(nèi)的直線 變式訓(xùn)練 在如圖所示的幾何體中 四邊形abcd是正方形 ma 平面abcd pd ma e g f分別為mb pb pc的中點(diǎn) 且ad pd 2ma 1 求證 平面efg 平面pdc 2 求三棱錐p mab與四棱錐p abcd的體積之比 解析 1 由已知ma 平面abcd pd ma 得pd 平面abcd 又bc 平面abcd 所以pd bc 因為四邊形abcd為正方形 所以bc dc 又pd dc d 因此bc 平面pdc 在 pbc中 因為g f分別為pb pc的中點(diǎn) 所以gf bc 因此gf 平面pdc 又gf 平面efg 所以平面efg 平面pdc 2 因為pd 平面abcd 四邊形abcd為正方形 不妨設(shè)ma 1 則pd ad 2 所以由于da 平面mab 且pd ma 所以da即為點(diǎn)p到平面mab的距離 所以vp mab vp abcd 1 4 加固訓(xùn)練 1 如圖所示 在四棱錐p abcd中 平面pad 平面abcd ab ad bad 60 e f分別是ap ad的中點(diǎn) 求證 1 直線ef 平面pcd 2 平面bef 平面pad 證明 1 在 pad中 因為e f分別為ap ad的中點(diǎn) 所以ef pd 又因為ef 平面pcd pd 平面pcd 所以直線ef 平面pcd 2 連接bd 因為ab ad bad 60 所以 abd為正三角形 因為f是ad的中點(diǎn) 所以bf ad 因為平面pad 平面abcd bf 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 所以bf 平面pad 又因為bf 平面bef 所以平面bef 平面pad 2 如圖 在 abc中 abc 45 bac 90 ad是bc上的高 沿ad把 abd折起 使 bdc 90 1 證明 平面adb 平面bdc 2 若bd 1 求三棱錐d abc的表面積 解析 1 因為折起前ad是bc邊上的高 所以當(dāng) abd折起后 ad dc ad db 又db dc d 所以ad 平面bdc 又因為ad 平面adb 所以平面adb 平面bdc 2 由 1 知 da db db dc dc da 因為db da dc 1 所以ab bc ca abc 60 3 如圖 在四棱錐p abcd中 底面abcd為菱形 bad 60 q為ad的中點(diǎn) 1 若pa pd 求證 平面pqb 平面pad 2 點(diǎn)m在線段pc上 pm tpc 試確定t的值 使pa 平面mqb 解析 1 如圖 連接bd 因為四邊形abcd為菱形 bad 60 所以 abd為正三角形 又因為q為ad的中點(diǎn) 所以ad bq 因為pa pd q為ad的中點(diǎn) 所以ad pq 又bq pq q 所以ad 平面pqb 又ad 平面pad 所以平面pqb 平面pad 2 當(dāng)時 pa 平面mqb 連接ac交bq于點(diǎn)n 連接mn 由aq bc可得 anq cnb 所以因為pa 平面mqb pa 平面pac 平面pac 平面mqb mn 所以pa mn 所以即所以 考點(diǎn)4線面角與二面角的求法 典例4 2014 寧波模擬 如圖所示 三棱柱abc a1b1c1的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面 側(cè)棱長是 d是ac的中點(diǎn) 1 求證 b1c 平面a1bd 2 求二面角a1 bd a的大小 3 求直線ab1與平面a1bd所成的角的正弦值 解題視點(diǎn) 1 三棱柱的側(cè)面是矩形 對角線a1b ab1的交點(diǎn)與點(diǎn)d的連線平行于b1c 2 由于三棱柱的底面是正三角形 d為ac的中點(diǎn) 由側(cè)面與底面垂直 可以得到bd 平面acc1a1 bd a1d a1da就是二面角的平面角 3 根據(jù) 2 得平面a1bd 平面a1ad 只要過點(diǎn)a作a1d的垂線即可得到點(diǎn)a在平面a1bd內(nèi)的射影 即得到了線面角 規(guī)范解答 1 設(shè)ab1與a1b相交于點(diǎn)p 連接pd 則p為ab1的中點(diǎn) 因為d為ac的中點(diǎn) 所以pd b1c 又因為pd 平面a1bd b1c 平面a1bd 所以b1c 平面a1bd 2 由題知 平面acc1a1 平面abc 平面acc1a1 平面abc ac 又因為bd ac 則bd 平面acc1a1 所以bd a1d 所以 a1da就是二面角a1 bd a的平面角 因為則即二面角a1 bd a的大小是 3 作am a1d于m 由 2 易知bd 平面acc1a1 因為am 平面acc1a1 所以bd am 因為a1d bd d 所以am 平面a1bd 連接mp 易知 apm就是直線ab1與平面a1bd所成的角 因為aa1 ad 1 所以在rt aa1d中 a1da 所以am 1 sin60 所以sin apm 所以直線ab1與平面a1bd所成的角的正弦值為 規(guī)律方法 1 求空間角的三個步驟 1 找 根據(jù)圖形找出相關(guān)的線面角或二面角 2 證 證明找出的角即為所求的角 3 算 根據(jù)題目中的數(shù)據(jù) 通過解三角形求出所求角 2 空間角的求法 1 線面角的求法 找出斜線在平面上的射影 作出垂線 確定垂足 2 二面角的求法 直接法 根據(jù)概念直接作 如二面角的棱是兩個等腰三角形的公共底邊 就可以取棱的中點(diǎn) 垂線法 如圖 過二面角的一個半平面內(nèi)一點(diǎn)a作另一個半平面的垂線 再從垂足b向二面角的棱作垂線 垂足為c 這樣二面角的棱就垂直于這兩個垂線所確定的平面abc 連接ac 則ac也與二面角的棱垂直 acb就是二面角的平面角或其補(bǔ)角 變式訓(xùn)練 2014 ?？谀M 如圖 在四棱錐p abcd中 ad bc ab ad ab pa bc 2ab 2ad 4be 平面pab 平面abcd 1 求證 平面ped 平面pac 2 若直線pe與平面pac所成的角的正弦值為 求二面角a pc d的平面角的余弦值 解析 1 如圖所示 取ad的中點(diǎn)f 連接bf 則fdbe 所以四邊形fbed是平行四邊形 所以fb ed 因為rt baf和rt cba中 所以rt baf rt cba 易知bf ac 所以ed ac 又因為平面pab 平面abcd 平面pab 平面abcd ab ab pa 所以pa 平面abcd ed 平面abcd 所以pa ed 因為pa ac a 所以ed 平面pac 因為ed 平面ped 所以平面ped 平面pac 2 設(shè)ed交ac于g 連接pg 則 epg是直線pe與平面pac所成的角 設(shè)be 1 由 agd cge 知因為ab ad 2 所以因為sin epg 所以pe 3 ae pa 作gh pc于h 連接hd 由pc de pc 平面hdg 所以pc hd 所以 ghd是二面角a pc d的平面角 因為 pca gch 所以則得cos ghd 即二面角a pc d的平面角的余弦值為 加固訓(xùn)練 1 正方體abcd a1b1c1d1中 bb1與平面acd1所成角的余弦值為 解析 選d bb1與平面acd1所成的角等于dd1與平面acd1所成的角 在三棱錐d acd1中 由三條側(cè)棱兩兩垂直得點(diǎn)d在底面acd1內(nèi)的射影為等邊三角形acd1的中心h 連接d1h dh 則 dd1h為dd1與平面acd1所成的角 設(shè)正方體棱長為a 則cos dd1h 2 在三棱錐p abc中 pc ac bc兩兩垂直 bc pc 1 ac 2 e f g分別是ab ac ap的中點(diǎn) 1 證明 平面gfe 平面pcb 2 求二面角b ap c的正切值 解析 1 因為g e f分別為ap ab ac的中點(diǎn) 所以gf pc ef bc 又gf 平面pbc ef 平面pbc pc 平面pbc bc 平面pbc 所以gf 平面pbc ef 平面pbc 又gf ef f 所以平面gfe 平面pcb 2 過c作ch ap交ap于點(diǎn)h 連接bh 因為pc ac bc兩兩垂直 所以bc 平面apc 所以bc ap 又ch bc c 所以ap 平面bhc 所以ap bh 所以 chb就是二面角b ap c的平面角 在rt pac中 ch 在rt bhc中 tan chb 故二面角b ap c的正切值為 3 2014 哈爾濱模擬 如圖 在四棱錐p abcd中 pa 平面abcd ab cd cd ad ad cd 2ab 2 e f分別為pc cd的中點(diǎn) de ec 1 求證 平面abe 平面bef 2 設(shè)pa a 若平面ebd與平面abcd所成銳二面角 求a的取值范圍 解析 1 因為ab