四邊形的旋轉(zhuǎn)與翻折.doc

（一）正三角形類型在正ABC中，P為ABC內(nèi)一點，將ABP繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)600，使得AB與AC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-1-b）中的一個PCP中，此時PAP也為正三角形。例1. 如圖：（1-1）：設(shè)P是等邊ABC內(nèi)的一點，PA=3， PB=4，PC=5，APB的度數(shù)是_.（二）正方形類型在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點，將ABP繞B點按順時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得BA與BC重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（2-1-b）中的CPP中，此時BPP 為等腰直角三角形。例2.如圖（2-1）：P是正方形ABCD內(nèi)一點，點P到正方形的三個頂點A、B、C的距離分別為PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面積。8（三）等腰直角三角形類型 在等腰直角三角形ABC中， C=Rt , P為ABC內(nèi)一點，將APC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b）中的一個P CP為等腰直角三角形。例3如圖，在ABC中， ACB =900，BC=AC，P為ABC內(nèi)一點，且PA=3，PB=1，PC=2。求 BPC的度數(shù)。平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則，對給定的圖形(或其一部分)施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系這類實體的特點是：結(jié)論開放，注重考查學(xué)生的猜想、探索能力；便于與其它知識相聯(lián)系，解題靈活多變，能夠考察學(xué)生分析問題和解決問題的能力在這一理念的引導(dǎo)下，近幾年中考加大了這方面的考察力度，特別是2006年中考，這一部分的分值比前兩年大幅度提高。為幫助廣大考生把握好平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的特征，巧妙利用平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的知識來解決相關(guān)的問題，下面以近幾年中考題為例說明其解法，供大家參考。一平移、旋轉(zhuǎn)平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移“一定的方向”稱為平移方向，“一定的距離”稱為平移距離。平移特征：圖形平移時，圖形中的每一點的平移方向都相同，平移距離都相等。旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一點旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角。例1如圖，將ABC繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)60后得到ABC，且C為BC的中點，則CD:DB=（ ）A1:2 B1: C1: D1:3點評：本例考查靈活運用旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形是全等的性質(zhì)、等邊三角形的判斷和含30 角的直角三角形的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)ACC是等邊三角形二、翻折翻折：翻折是指把一個圖形按某一直線翻折180后所形成的新的圖形的變化。翻折特征：平面上的兩個圖形，將其中一個圖形沿著一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線就是對稱軸。解這類題抓住翻折前后兩個圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。 翻折在三大圖形運動中是比較重要的，考查得較多另外，從運動變化得圖形得特殊位置探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對我們解決運動變化問題是極為重要的，值得大家留意。例2如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，若BAD30，則AED 等于（ ）A30 B45 C60 D75點評：本例考查靈活運用翻折前后兩個圖形是全等的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)EAD=EAD，AED=AED 點評：圖形沿某條線折疊，這條線就是對稱軸，利用軸對稱的性質(zhì)并借助方程的的知識就能較快得到計算結(jié)果。 由此看出，近幾年中考，重點突出，試題貼近考生，貼近初中數(shù)學(xué)教學(xué)，圖形運動的思想(圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折、平移三大運動)都一一考查到了因此在平時抓住這三種運動的特征和基本解題思路來指導(dǎo)我們的復(fù)習(xí)，將是一種事半功倍的好方法。平移與旋轉(zhuǎn)實際上是一種全等變換，由于具有可操作性，因而是考查同學(xué)們動手能力、觀察能力的好素材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現(xiàn)的內(nèi)容。題型多以填空題、計算題呈現(xiàn)。在解答此類問題時，我們通常將其轉(zhuǎn)換成全等求解。根據(jù)變換的特征，找到對應(yīng)的全等形，通過線段、角的轉(zhuǎn)換達到求解的目的。例1：如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=3，將腰CD以D為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90至ED，連結(jié)AE、CE，則ADE的面積是（ ） A 1 B 2 C 3 D 不能確定點評：明確ADE的邊AD上的高的概念不要誤寫成DE，作梯形高是常見的解題方法之一。變式題1：如圖，已知ABC中AB=AC，BAC =90，直角EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下五個結(jié)論：（1）AE=CF（2）APE=CPF（3）EPF是等腰直角三角形（4）EF=AP（5）S四邊形AEPF= SABC2，當EPF在ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合）上述結(jié)論中始終正確的序號有例2 D、E為AB的中點，將ABC沿線段DE折疊，使點A落在點F處。若B=50，則BDF=點評：幾何變換沒有可套用的模式，關(guān)鍵是同學(xué)們要善于多角度、多層次、多側(cè)面地思考問題，觀察問題、分析問題。變式題2：如圖，矩形紙片ABCD，AB=2，ADB=30，將它沿對角線BD折疊（使ABD和EBD落在同一平面內(nèi)）則A、E兩點間的距離為旋轉(zhuǎn)具有以下特征：（1）圖形中的每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（3）對應(yīng)角、對應(yīng)線段相等；（4）圖形的形狀和大小都不變。 利用旋轉(zhuǎn)的特征，可巧妙解決很多數(shù)學(xué)問題，如一.求線段長.例：如圖，已知長方形ABCD 的周長為20，AB=4，點E在BC上，且 AEEF，AE=EF，求CF的長。二.求角的大小例:如圖，在等邊 ABC中，點E、D分別為AB、BC上的兩點，且BE=CD，AD與CE交于點M，求AME 的大小。三.進行幾何推理例：如圖，點F在正方形ABCD的邊BC上，AE平分DAF ，請說明DE=AF-BF成立的理由。 數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的精髓和重要的指導(dǎo)方法，在平移和旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用也相當?shù)膹V泛，一般可以歸結(jié)為兩種思想對稱的思想和旋轉(zhuǎn)的思想，具體的分析如下：1 、對稱的思想：在平移、旋轉(zhuǎn)、對稱這些概念中，對稱這一概念非常重要.它包括軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱、中心對稱.對稱是一種種要的思想方法，在解題的應(yīng)用非常廣泛.例：觀察圖中所給的圖案，它可以看成由哪個較基本的圖形經(jīng)過哪些運動變換產(chǎn)生的？它是不是軸對稱圖形？旋轉(zhuǎn)對稱圖形？中心對稱圖形？分析： 這是一個涉及軸對稱平移、旋轉(zhuǎn)的綜合性例子。解題思路主要通過直觀觀察取得。這個圖案較基本的圖形是正方形，一個小正方形沿對角線方向平移一個對角線長、兩個對角線長后得一正方形串，然后在串的軸線上找一點O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三個90后得到題目中給出的圖案，整個過程如圖所示。這個圖形是軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱.中心對稱圖形。方法探究：這里的較基本圖形也可以看成線段。一線段經(jīng)平移、旋轉(zhuǎn)后得一正方形，然后重復(fù)上面的過程。2、旋轉(zhuǎn)的思想：旋轉(zhuǎn)也是圖形的一種基本變換，通過圖形旋轉(zhuǎn)變換，從而將一些簡單的平面圖形按要求旋轉(zhuǎn)到適當?shù)奈恢?，使問題獲得簡單的解決，它是一種要的解題方法。例：如圖，正方形ABCD內(nèi)一點P，PADPDA15，連結(jié)PB、PC，請問：PBC是等邊三角形嗎？為什么？ 1如圖，ABC是等腰直角三角形，BC為斜邊，將ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP重合，如果AP=3，請求出PP的長2如圖，在ABC中，BAC=120，以BC為邊向形外作等邊三角形BCD，ABD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)60后得到ECD，若AB=3，AC=2，求BAD的度數(shù)與AD的長3如圖，點O是等邊ABC內(nèi)一點，AOB=110，BOC=將BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得ADC，連接OD（1）試說明：COD是等邊三角形；（2）當=150時，試判斷AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當為多少度時，AOD是等腰三角形？4. 如圖在ABCD中，E、F分別是AD、BC邊上的任意兩點，則S陰影= 。5.如圖，已知在ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，BEDF，點G、H分別在BA和DC的延長線上，且AGCH，連接GE、EH、HF、FG求證：四邊形GEHF是平行四邊形6.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，點E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，則BME=CNE（不需證明）小明的思路是：在圖1中，連接BD，取BD的中點H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而1=2，再利用平行線性質(zhì)，可證得BME=CNE （1）：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF，分別交DC、AB于點M、N，判斷OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論； （2）：如圖3，在ABC中，ACAB，D點在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，若EFC=60，連接GD，判斷AGD的形狀并證明7.如圖，在ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分線，點O位AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE、BE（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）當ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由8. 如圖，平行四邊形中，對角線相交于點，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，分別交于點（1）證明：當旋轉(zhuǎn)角為時，四邊形是平行四邊形；（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與總保持相等；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時繞點順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)ABCDOFE9.在ABC中，AB=AC，BAC=（060），將線段BC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60得到線段BD。（1）如圖1，直接寫出ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?